丁知平， 劉 超， 牛培峰(. 清遠職業(yè)技術學院 信息技術與創(chuàng)意設計學院， 廣東 清遠 550； . 貴州航天電器股份有限公司， 貴州 貴陽 550009； . 燕山大學 工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

近年來，隨著我國對環(huán)境污染治理的重視，降低NOx排放量是火力發(fā)電廠生存的客觀需要，因此要建立計算模型預測NOx排放量[1～3]。

神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機[4]等人工智能技術因其良好的處理非線性的能力，可較好地解決NOx建模問題，但神經(jīng)網(wǎng)絡往往出現(xiàn)過擬合和泛化能力弱等不足，支持向量機在NOx排放建模方面受到越來越多的關注。NOx排放預測問題由于具有復雜非線性、多維多模、數(shù)據(jù)樣本少等特征，且需要解決結(jié)構(gòu)風險最小化問題。最小二乘支持向量機(least squares support vector machine，LSSVM)[5]是一種優(yōu)秀的學習方法，LSSVM訓練過程中需要確定模型的“超參數(shù)”以建立有效的預測模型，如何獲得最優(yōu)的超參數(shù)是NOx排放量模型精度的關鍵。事實上，LSSVM超參數(shù)的調(diào)整過程也是參數(shù)優(yōu)化的過程，基于LSSVM與尋優(yōu)技術結(jié)合的燃燒優(yōu)化是降低鍋爐NOx排放的一種有效途徑[6,7]。

引力搜索算法(gravitational search algorithm，GSA)[8]是由Esmat Rashedi等人提出的一種源于對萬有引力定律進行模擬的智能優(yōu)化技術，因其具有概念簡單、易實現(xiàn)等特征而得到廣泛應用[9,10]。然而，GSA在高維多模函數(shù)優(yōu)化中存在優(yōu)化能力弱的問題，為進一步改善算法的優(yōu)化性能，本文提出了一種改進的GSA算法(improved GSA, IGSA)，在IGSA算法基礎上，建立了基于IGSA-LSSVM的NOx排放量軟測量模型。

2 GSA算法基本原理

(1)

在特定的時間t，作用在質(zhì)點j和質(zhì)點i之間的引力定義為：

(2)

式中：Mi和Mj為質(zhì)點的質(zhì)量；ε為一較小的常數(shù)；Rij(t)為質(zhì)點間的距離；G(t)為引力系數(shù)。則作用在第i個質(zhì)點的第d維上的合力為：

(3)

式中：rankj為[0,1]中的一個隨機數(shù)。

根據(jù)運動定律， 在時間t質(zhì)點i的d維加速度為：

(4)

在GSA算法中，按式(5)更新質(zhì)點的速度和位置：

(5)

3 改進的GSA算法

GSA算法雖然有較優(yōu)異的優(yōu)化性能，但在處理部分復雜優(yōu)化問題時，GSA仍然存在早熟收斂、易陷入局部最優(yōu)解的缺點。因此，其尋優(yōu)能力仍需進一步改善。

3.1 基于網(wǎng)格算法的初始化種群

GSA算法的第一步就是初始化種群，一個較好的能夠覆蓋整個解空間的初始種群有助于改善進化速度和提高解的質(zhì)量。如果包含全局最優(yōu)解的局部解空間不在初始群空間，同時質(zhì)點的位置更新算法又不能在有限次數(shù)的進化過程內(nèi)將覆蓋空間擴延到全局最優(yōu)解所在的區(qū)域，那么過早收斂就不可避免，可以看出，初始種群個體的分布狀況直接影響算法的全局收斂性能。針對原始GSA算法的初始種群是隨機分布的，其覆蓋空間具有很大的不確定性，本文采用網(wǎng)格算法初始化質(zhì)點的位置群，使初始個體在海域中均勻分布，其表達式如式(6)所示：

(6)

利用網(wǎng)格初始化種群，可以在保證初始變量隨機性的前提下，提高種群的遍歷性，使算法遍歷所有可能的狀態(tài)，有利于克服一般隨機初始化種群給優(yōu)化算法搜索帶來的局限性。

3.2 基于適應度值的自適應權(quán)值

為進一步提高GSA算法的優(yōu)化性能，避免在復雜高維多模函數(shù)優(yōu)化中出現(xiàn)的早熟現(xiàn)象，提出了線性遞減權(quán)值策略。雖然它在一定程度上有利于改善優(yōu)化性能，但算法沒有考慮到優(yōu)化問題的適應度值，在處理部分復雜非線性優(yōu)化問題時將有可能降低優(yōu)化性能。因此，本文在線性遞減慣性權(quán)值的基礎上結(jié)合適應度提出自適應遞減的慣性權(quán)值位置更新策略：

(7)

式中：ts和te分別為初始值和最終值，且0

將式(7)代入式(5)，得到質(zhì)點的位置更新：

(8)

3.3 IGSA優(yōu)化步驟

(1)初始化參數(shù)：最大迭代次數(shù)imax=1 000,種群數(shù)N=50；

(2)網(wǎng)格算法初始化種群；

(3)計算種群質(zhì)點的適應度值；

(4)更新數(shù)據(jù)G(t),Ab(t),Aw(t)和Mi,i=1,2,…,N；

(5)按式(3)更新質(zhì)點在各個方向上的合力；

(6)按式(5)計算質(zhì)點的速度；

(7)按式(7)、式(8)更新質(zhì)點的位置,ts和te分別設為1和0；

(8)重復步驟(3)～(7)，直到停止條件滿足。

3.4 IGSA性能驗證

選取13個標準函數(shù)用來評價IGSA的優(yōu)化性能，f1～f7為單模態(tài)函數(shù)，只有一個極值點，主要用來考察算法的執(zhí)行能力并測試算法的尋優(yōu)精度；f8～f13為多模態(tài)函數(shù)，具有大量的局部最優(yōu)點，是優(yōu)化領域中公認的較難優(yōu)化的函數(shù)，大部分優(yōu)化算法在對其進行尋優(yōu)的過程中往往會陷入局部最優(yōu)點，主要用來檢驗算法是否具備避免早熟并搜索全局最優(yōu)解的能力。除f8的最小值為-418.982 9×n(n為解的維數(shù))外，其它12個函數(shù)的最小值均為零。文獻[11]描述了標準函數(shù)解的取值范圍，指出原始GSA優(yōu)于PSO、RGA和CFO。本文進行了蜂群算法(ABC)與原GSA以及IGSA的對比，結(jié)果見表1。

為有效減少隨機干擾的影響，每個算法均獨立運行30次。表中，C.I.為平均收斂迭代次數(shù)，Mean為平均最優(yōu)適應度值，SD為標準差。

分析表1給出的13個標準測試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn)：對于單模態(tài)函數(shù)，除f6外，在3種算法中，無論函數(shù)為30維是50維，IGSA的優(yōu)化效果均為最好的，且優(yōu)勢明顯；對于多模態(tài)函數(shù)，除f12外，IGSA的優(yōu)化效果均為最好的。因而相對于ABC和GSA，IGSA的優(yōu)解的精度最高。同時還發(fā)現(xiàn)：當n=50，IGSA的優(yōu)化精度基本上接近n=30的精度，這在某種程度上說明，隨著問題復雜程度的增加，IGSA的優(yōu)化效果并沒有得到減弱；相比較而言，ABC和GSA隨著維數(shù)的增加，絕大部分的優(yōu)化效果都呈現(xiàn)下降趨勢，尤其是ABC算法，隨著問題復雜程度的增加，其優(yōu)化能力下降明顯。

標準差反映了算法的穩(wěn)健性，平均函數(shù)收斂次數(shù)C.I.反映算法的計算收斂速度。由表1可知，ABC和GSA對13個標準函數(shù)不能一直精確地求解，相對來說，GSA優(yōu)化性能較ABC穩(wěn)定，同時可明顯觀察到IGSA的優(yōu)化性能較ABC和GSA更精確，其跳出局部極值的能力也較強；在優(yōu)化速度方面，IGSA的C.I.指標比另外2種算法要少；從標準差可看出ABC和GSA在求解單峰和多峰連續(xù)函數(shù)時數(shù)值計算不穩(wěn)定，相比之下，IGSA是最穩(wěn)定的。

4 NOx排放預測模型

4.1 最小二乘支持向量機

最小二乘支持向量機(LSSVM)是SVM的改進且優(yōu)勢明顯：(1)用等式約束代替SVM算法中的不等式約束；(2)將求解二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為直接求解線性方程組。兩優(yōu)點使LSSVM方法的優(yōu)化問題的求解變?yōu)橥ㄟ^Kuhn-Tucker條件下得到的一組線性方程組的求解，在一定程度上降低了求解難度、提高了求解速度、改善了模型的泛化能力和預測精度，使之更能適應于現(xiàn)場實際應用。LSSVM目標函數(shù)定義為下：

(9)

s.t.yi-(wφ(xi)+b)=ξi,i=1,2,…,N

(10)

y(x) =wT·φ(x)+b

(11)

表1 3種優(yōu)化算法性能比較

4.2 IGSA優(yōu)化的LSSVM模型

基于RBF核的LSSVM建立煤粉鍋爐NOx排放預測模型，模型性能主要由正則化參數(shù)C和核寬度δ決定[12]。由LSSVM的基本理論及算法推導過程可知，正則化參數(shù)和核參數(shù)對于建立有效的LSSVM預測模型至關重要。正則化參數(shù)在于調(diào)節(jié)置信范圍和經(jīng)驗風險的比例，若選擇的正則化參數(shù)值越大，意味著對LSSVM訓練的誤差懲罰也越大，此時訓練數(shù)據(jù)的樣本點和真實值的擬合會越好，但容易使模型陷入“過擬合”;若減小其值則會降低模型的復雜性。核參數(shù)主要影響樣本數(shù)據(jù)在高維特征空間中的分布復雜程度，其值選擇的越大，則模型的復雜度越小，也容易出現(xiàn)“過擬合”現(xiàn)象；核參數(shù)值越小，則模型擬合出的曲線越光滑。事實上，最小二乘支持向量機的超參數(shù)調(diào)整過程也是參數(shù)優(yōu)化的過程，采用群智能優(yōu)化算法優(yōu)化選擇超參數(shù)是LSSVM模型目前常用的參數(shù)選擇方法。本文采用IGSA算法優(yōu)化選擇LSSVM參數(shù)對(C,δ2)。

在模型參數(shù)優(yōu)化過程中，定義適應度函數(shù)：

(12)

式中：Hr為實際值；Hp為模型的預測值。

圖1為采用IGSA算法優(yōu)化LSSVM參數(shù)、建立NOx排放模型的流程圖。主要思路：采用IGSA算法對LSSVM模型的超參數(shù)進行優(yōu)化，以目標函數(shù)適應度值最小為原則，通過判斷是否滿足終止條件，將優(yōu)化得到的參數(shù)代入LSSVM模型，即完成IGSA-LSSVM模型的建立;利用得到的NOx排放模型分析、處理未來數(shù)據(jù)，從而有效地得到研究對象的估計或預測結(jié)論以便做出有價值的決策。

圖1 IGSA-LSSVM預測模型流程圖Fig.1 Flowchart for IGSA-LSSVM prediction model

4.3 IGSA-LSSVM預測NOx排放量

采用IGSA算法優(yōu)化LSSVM模型參數(shù)，預測某330 MW煤粉汽包鍋爐NOx濃度排放量，預測結(jié)果與標準GSA、蜂群算法(ABC)和粒子群算法(PSO)優(yōu)化方法進行比較。在NOx排放量多工況測試中，包含影響鍋爐燃燒特性的各種運行參數(shù)，如發(fā)電負荷、給煤機轉(zhuǎn)速、一次風、二次風等特性參數(shù)，具體數(shù)據(jù)見表2。

采用IGSA優(yōu)化LSSVM中的懲罰系數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)δ2，利用優(yōu)化后的LSSVM模型預測NOx排放量。利用IGSA優(yōu)化LSSVR模型參數(shù)，設定IGSA種群規(guī)模為50，在表2中的19組工況中，選取3～17組數(shù)據(jù)進行訓練優(yōu)化建模，1組、2組作為預測數(shù)據(jù)，以此驗證IGSA的優(yōu)化性能。

圖2 4種算法預測值與實測值之間的誤差曲線Fig.2 Error curve between prediction values and true values of 4 algorithms

IGSA獲得的最優(yōu)模型參數(shù)(C,δ2)的值為(650, 175)，利用此組參數(shù)對1組、 2組預測數(shù)據(jù)和另17組訓練數(shù)據(jù)進行回歸預測，同時與另外3種方法的綜合建模進行實驗對比，預測誤差見圖2。表3為4種預測方法預測NOx排放量的相對誤差RE。由圖2和表3可以看出：利用IGSA優(yōu)化LSSVM模型參數(shù)，然后基于優(yōu)化參數(shù)建立模型的預測精度較ABC、PSO、GSA優(yōu)化模型的預測精度更高，即IGSA能夠比ABC、PSO和GSA找到更好的模型參數(shù)。

表2 鍋爐運行試驗數(shù)據(jù)

表3 4種算法預測結(jié)果精度分析

5 結(jié) 論

燃煤鍋爐NOx排放量特性受到多種因素的影響，且其影響關系復雜，NOx排放量的預測和控制均很困難，本文采用最小二乘支持向量機方法建立NOx排放量軟測量模型。為改善LSSVM的預測精度和泛化能力，采用改進的引力搜索算法優(yōu)化選擇LSSVM的模型參數(shù)。以某電廠330 MW煤粉鍋爐為測試對象，采用IGSA算法優(yōu)化最小二乘支持向量機的超參數(shù)并建立NOx排放的預測模型，通過將DCS采集到的相關數(shù)據(jù)作為訓練樣本、測試樣本，對模型進行訓練和檢驗，仿真實驗表明，基于IGSA-LSSVM的NOx排放預測模型有較好的準確性和較強的泛化能力。

[參考文獻]

[1] Tan P, Xia J. Modeling and optimization of NOxemission in a coal-fired power plant using advanced machine learning methods [J].EnergyProcedia,2014,61:377-380.

[2] 牛培峰, 馬云鵬, 張京.基于相關向量機的電站鍋爐NOx燃燒優(yōu)化[J].計量學報, 2016, 37(2): 191-196.

Niu P F, Ma Y P, Zhang J. Utility boilers NOxcombustion optimization based on relevance vector machine[J].ActaMetrologicaSinica, 2016, 37(2): 191-196.

[3] 牛培峰， 王丘亞， 馬云鵬，等. 基于量子自適應鳥群算法的鍋爐NOx排放特性研究[J]. 計量學報, 2017, 38(6): 770-775.

Niu P F, Wang Q Y, Ma Y P,etal. Study on NOxemission from boiler based on quantum adaptation bird swarm algorithm[J].ActaMetrologicaSinica, 2017, 38(6): 770-775.

[4] 張維平, 趙文蕾, 牛培峰.基于粗糙集與最小二乘支持向量回歸的汽輪機主蒸汽流量預測[J].計量學報, 2015, 36(1): 43-47.

Zhang W P, Zhao W L, Niu P F. Forecasting of turbine main steam flow based on rough sets and least squars support vector machine regression [J].ActaMetrologicaSinica, 2015, 36(1): 43-47.

[5] Liu C, Niu P F. A hybrid heat rate forecasting model using optimized LSSVM based on improved GSA[J].NeuralProcessingLetters,2017,45:299-318.

[6] Li Q, Niu P F, Zhang W P. Model NOxemissions by least squares support vector machine with tuning based on ameliorated teaching-learning-based optimization [J].ChemometricsandIntelligentLaboratorySystems,2013,126:11-20.

[7] 牛培峰, 王培坤, 李國強.基于自由搜索算法和支持向量機的燃煤鍋爐NOx建模與優(yōu)化[J].計量學報, 2014, 35(6): 626-630.

Niu P F, Wang P K, Li G Q. Modeling and optimization of NOxfor coal-fired boilers by free search algorithm and support vector machine [J].ActaMetrologicaSinica, 2014, 35(6): 626-630.

[8] Esmat Rashedi, Hossein Nezanudmdi-pour, Saryazdi Saryazdi. GSA: A Gravitational Search Algorithm[J].InformationSciences,2009,179(13):2232-2248.

[9] Gouthamkumar N, Sharma Veena, Naresh R. Disruption based gravitational search algorithm for short term hydrothermal scheduling[J].ExpertSystemswithApplications,2015,42(20):7000-7011.

[10] Sajjad Yazdani, Hossein Nezamabadi-pour, Shima Kamyab. A gravitational search algorithm for multimodal optimization[J].SwarmandEvolutionaryComputation,2014,14:1-14.

[11] Li G Q, Niu P F, Xiao X J. Development and investigation of efficient artificial bee colony algorithm for numerical function optimization[J].AppliedSoftComputing, 2012, 12(1): 320-332.

[12] 牛培峰, 劉超, 李國強.汽輪機熱耗率多模型建模方法研究[J].計量學報, 2015, 36(3): 251-255.

Niu P F, Liu C, Li G Q. Investigation on multi-model modeling method of steam turbine heat rate[J].ActaMetrologicaSinica, 2015, 36(3): 251-255.