陳海浪， 宋志剛， 張 帥(昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650504)

結(jié)構振動響應隨人數(shù)增長的變化規(guī)律，是人群行走激勵下結(jié)構振動響應研究的重要問題，其目的是建立多人作用與單人作用下結(jié)構振動響應之間的倍數(shù)關系，從而為人行橋、大跨度樓板等結(jié)構的設計提供理論依據(jù)。大量文獻從理論分析和數(shù)值模擬的角度指出結(jié)構振動響應隨人數(shù)N的增長，按N0.5倍關系增長。Matsumoto等[1]結(jié)合中心極限定律提出N人作用下結(jié)構的動力響應是單人作用下響應的N0.5倍；錢曉斌等[2-4]，結(jié)合Monte Carlo模擬發(fā)現(xiàn)這個倍數(shù)也在N0.5附近；法國標準[5]則分別給出了低密度人群(<1.0人/m2)和高密度人群(>1.0人/m2)相應倍數(shù)關系，該倍數(shù)也與N0.5成正比。

然而，上述結(jié)論忽略了人人相互作用效應，或者說是在假定人群中個體相互無干擾、步行力不同步，且作用力頻譜結(jié)構與單人自由行走條件下完全一致的前提下獲得的。忽略人人相互作用效應會導致在使用中心極限定律或Monte Carlo模擬過程中，實際隱含了一些與物理背景不符的情況，例如，當后面的行人速度超過前人時，他無需改變自身運動速度，而可以像“鬼魂”一樣自由穿過前人、不受干擾地行走。而事實上，隨著行人密度的提高，人-人相互作用的影響會逐漸顯現(xiàn)，人在行走過程中會因避免碰撞而降低行走速度，這進一步又會導致行人作用力頻譜結(jié)構的變化，從而破壞了N0.5倍關系成立的前提。因此，有必要對人人相互作用影響下結(jié)構振動響應隨人數(shù)增長的變化規(guī)律進行研究。

針對上述問題，本文研究了不同人群密度下結(jié)構振動響應隨人數(shù)增長的變化規(guī)律。首先從隨機振動分析的角度，給出了N0.5倍關系的理論依據(jù)，指出了該關系成立的前提條件；然后，借助交通工程領域相關研究，獲得不同人群密度下的行人速度，進一步結(jié)合行人步行速度與步頻的經(jīng)驗規(guī)律，確定出行人步頻，并依據(jù)已有的荷載板試驗結(jié)果獲得該步頻下對應的頻譜參數(shù)；最后，結(jié)合強迫振動理論提出了人員密度影響系數(shù)的計算方法，研究了多人行走作用下結(jié)構振動響應隨人數(shù)的變化規(guī)律。

1 多人激勵下的振動響應

當有N個人作用于結(jié)構時，結(jié)構在第i階步行力分量作用下的第j模態(tài)的運動方程可寫為[6]

(1)

式中:φj，Mj，Cj，ωj，qij(t)分別為第j階振型、第j階振型的廣義質(zhì)量、廣義阻尼、自振圓頻率和第i階作用力分量下廣義位移;Pijk(t)為位置xk上行人作用力的第i階分量在第j階振型的廣義力，表達為[7]

Pijk(t)=αiGφj(xk)sin(2iπf1t+θi+φk)

(2)

式中:f1為人行走步頻;t為時間;i為步行力分量的階數(shù);初相位角φk反映人作用于結(jié)構上的時間差異;αi,θi分別為第i階步行力分量的動載因子和相位角;G為人靜止時的平均體重。

考慮行人步行力初相位φk及行人在橋面作用位置xk為相互獨立的隨機變量，且分別服從[0,2π]和[0,L]的均勻分布，則在Pijk(t)作用下，第j模態(tài)動力響應qijk(t)是一個均值為0的隨機過程，其標準差(或者振動位移均方根響應)σqijk為

(3)

式中

(4)

為結(jié)構第j振型對第i階作用力分量的動力放大系數(shù)，βij=2iπf1/ωj為第i階步行力分量的圓頻率與第j振型圓頻率之比，ξj為第j振型的結(jié)構阻尼比。

在有N個行人作用時，假定qijk(t)，(k=1,2,3,…,N)是獨立同分布的隨機過程，則由(1)獲得的振動響應qij(t)也是一個0均值隨機過程，其標準差(或均方根響應)為

(5)

式(5)表明，N人作用時，其振動響應是單人作用的N0.5倍。為便于后面討論，假定人員在面積S的橋面上以人員密度ρ均勻分布，則

(6)

即在面積S給定的情況下，振動響應與ρ0.5成正比。需要特別指出的是，式(5)或(6)是在qijk(t) (k=1,2,3,…,N)獨立同分布的前提下獲得的，這個前提意味著兩個基本假定：①每個行人作用力相互獨立，即行人完全不同步；②步行力第i階分量αi和動力放大系數(shù)DLFij為常量，這就意味著式(2)所示的作用力頻譜結(jié)構中步頻f1和αi不隨人數(shù)發(fā)生變化。

對于第(1)個假定，已有研究表明[8-9]，隨著人數(shù)的增加，同步運動的人的比例隨之提高，在完全同步的情況下，N人作用產(chǎn)生的動力響應將是單人作用條件下的N倍。關于獨立性假定被破壞以后可能帶來的問題，已有較多文獻進行研究，這里不再贅述。在本文后面的篇幅中，將要進一步指出隨著人群密度的提高，第(2)個假定也可能不成立。

2 不同人員密度下動力響應分析

隨著人群密度的提高，人群中的個體為了避免行走過程中的碰撞，將會降低行走速度，而行走速度的變化，又會導致步頻f1，步行力各階分量αi發(fā)生變化。因此，有必要在步行速度與人員密度的關系基礎上，進一步研究步行速度與步行力頻譜結(jié)構的關系，從而建立人員密度和步行力頻譜結(jié)構之間的關系。

2.1 不同人員密度下行人步行速度

交通過程領域的研究表明，行人步行速度受人群密度、地域文化、出行目的等因素的影響，結(jié)合實地觀測，文獻[10]綜合給出了步行速度與人群密度的基本關系式

(7)

vF=1.34αGαT

(8)

式中:vρ為人員密度ρ時的行走速度;vF為在無干擾自由行走速度;ρM為人群堵塞(步速趨于0)時的密度，對于歐美人，ρM取7.155人/m2，對于亞洲人，ρM取9.082人/m2;γ為出行目的指數(shù)，αG、αT分別為地域修正系數(shù)和出行目的修正系數(shù)，取值見表1。

表1 γ、αG及αT的取值Tab.1 The value of γ、αG and αT

以亞洲人的參數(shù)為例，在高峰期、通勤期和休閑期條件下，比值vρ/vF隨人員密度的變化規(guī)律見圖1所示。由圖1不難看出，在人員密度低于0.3人/m2范圍時，vρ/vF≈1，人基本以自由行走速度行走，當人員密度超過這個范圍以后，行人行走速度隨人員密度的提高而迅速降低。

圖1 步行速度隨人員密度而降低Fig.1 Walking speed decreased as the increase of crowd density

2.2 不同人員密度下行人步頻

Bertram等[11]開展了大量行人速度v與行人步頻f1之間的試驗觀測，Venuti等[12]根據(jù)上述試驗結(jié)果，給出了一個f1與v的經(jīng)驗關系

f1=0.35v3-1.59v2+2.93v

(9)

仍以亞洲人參數(shù)為例，結(jié)合式(8)和表1獲得的在高峰期、通勤期和休閑期條件下自由行走速度vF分別為1.479 m/s，1.368 m/s和1.036 m/s，對應的自由行走頻率f1F分別為1.988 Hz，1.929 Hz和1.718 Hz。結(jié)合式(7)、(8)、(9)可推算步頻折減系數(shù)R1=f1/f1F隨人員密度ρ的變化規(guī)律，如圖2所示。

顯然，在人員密度低于0.3人/m2范圍時，R1≈1，人基本以自由行走頻率行走，當人員密度超過這個范圍以后，行人步頻隨人員密度的提高而迅速降低。為便于后續(xù)推導，進一步擬合出圖2所示的ρ-R1關系，結(jié)果表明如下形式的三次多項式具有很好的擬合效果

R1=f1/f1F=b1ρ3+b2ρ2+b3ρ+1

(10)

對應亞洲人的特點，在高峰期、通勤期和休閑期條件下的f1F，b1，b2和b3的取值見表2。

圖2 步頻折減系數(shù)隨人員密度而降低Fig.2 Frequency reduction factor vs. crowd destiny

表2 不同條件下步頻參數(shù)值Tab.2 The parameters of frequency in different condition

2.3 不同步頻下各階步行力分量

在過去的近20年間，Kerr等[13-16]做了大量步行力試驗觀測，獲得了較為豐富的步行力荷載模型。這些試驗數(shù)據(jù)一般是在節(jié)拍提示器控制下，通過測力板試驗獲得，因此，可以看做是單人在不同步頻下的步行力數(shù)據(jù)。結(jié)合觀測數(shù)據(jù)，不同的研究人員均以步行力各階分量的形式給出了步行荷載模型。以陳雋等提出的豎向步行荷載模型為例，依據(jù)試驗給出了前5階分量αi(i=1,2,3,4,5)的均值，見式(11)所示

(11)

(12)

Rαi=1(i=2,3,4,5)

(13)

2.4 人員密度影響系數(shù)Kij

(14)

將式(14)除以式(5)，得到考慮步頻和作用力分量變化以后的響應比Rij為

(15)

(16)

參照式(4)，得到

(17)

結(jié)合式(6)和式(17)，得到新的修正關系

(18)

由式(18)知，在給定橋面面積S的前提下，由于人群密度的變化引起的行人步頻和其動載因子的變化，多人響應與單人響應之間的增長關系與行人步行力第i階分量所引起的結(jié)構第j階模態(tài)響應的人員密度影響系數(shù)Kij有關，表達為

(19)

(20)

根據(jù)SRSS振型組合法，第i階步行力分量作用下結(jié)構的總響應為

(21)

根據(jù)人員密度ρ和頻率比βij的取值范圍，可將Kij的取值特征做如下定性判斷：

(1)無影響區(qū)

結(jié)合圖2或式(10)不難發(fā)現(xiàn)，當ρ≤0.3人/m2時，R1≈1.0，人步行的頻率幾乎等于自由行走頻率，因此Rαi≈1.0，RDij≈1.0，因此有在這個人員密度范圍內(nèi)有

Kij=ρ0.5,ρ≤0.3

(22)

即在當ρ≤0.3人/m2時，可以不考慮人人相互作用效應，N人作用下的振動響應是單人作用下振動響應的N0.5倍，或者說，人員密度小于0.3人/m2，是直接Monte Carlo模擬多人振動響應的適用條件。

(2)誘發(fā)共振區(qū)

當ρ>0.3人/m2時，人行步頻會隨著人員密度提高顯著下降，從而導致步行力分量頻率與結(jié)構自振頻率一致而發(fā)生共振現(xiàn)象。由式(16)知，當頻率比滿足

R1βij=1

(23)

會出現(xiàn)共振現(xiàn)象，在發(fā)生共振的條件下，結(jié)構動力放大系數(shù)的修正系數(shù)RDij獲得最大值

(24)

相應的，可獲得人員密度影響系數(shù)的最大值Kijmax

(25)

由于βij=iβ1j，其中，β1j為自由行走步頻與結(jié)構第j模態(tài)頻率的比值，結(jié)合式(23)知，當步行力第i階分量引起結(jié)構共振時

(26)

由于ρ>0.3人/m2以后，總有0

β1j≥i-1

(27)

式(27)表明，當自由行走條件下步行力第i階分量的頻率不小于結(jié)構自振頻率時，提高人員密度，會使步行力第i階分量的頻率回落并靠近結(jié)構自振頻率，導致結(jié)構動力放大系數(shù)增大甚至誘發(fā)共振。在發(fā)生共振時，由于ξj<<1，故由式(24)可知RDijmax>>1，同時由式(12)、(13)知，隨ρ提高，Rαi略小于1(i=1)或保持不變(i=2,3,4,5)，結(jié)合式(19)可以得到，在誘發(fā)共振區(qū)

Kij>ρ0.5, (ρ>0.3,β1j≥i-1)

(28)

(3)非共振區(qū)

當β1j

Kij<ρ0.5, (ρ>0.3,β1j

(29)

依據(jù)上述分析，式(22)、式(28)和式(29)中Kij的取值特征的各個分區(qū)應滿足的條件(β1j≥i-1?βij≥1,β1j

圖3 Kij的取值分區(qū)應滿足的條件Fig.3 The corresponding condition for the subarea of Kij

3 分析示例

考慮到橋梁等多自由度系統(tǒng)的共振響應會在特定的模態(tài)發(fā)生，現(xiàn)以通勤期條件為例，計算前5階步行力分量的人員密度影響系數(shù)Kij(i=1,2,3,4,5)隨人員密度ρ的變化規(guī)律，計算中結(jié)構阻尼比ξj取比較常用的0.05，其它計算條件為

(1)通行條件為通勤期，結(jié)合表2，f1F=1.929 Hz，b1=0.021 43，b2=-0.120 50，b3=0.024 37；

(2)ρ的取值范圍為0.1～2.5人/m2之間；

(3)頻率比βij，考慮到多數(shù)樓板或人行橋設計中，結(jié)構的基頻一般不會小于步頻，因此，β1j一般不超過1，計算中β1j分別取0.15，0.35，0.55等3種情況，當f1F=1.929 Hz時，分別對應了結(jié)構第j模態(tài)頻率分別為12.86 Hz，5.51 Hz，3.50 Hz。依據(jù)非共振區(qū)和誘發(fā)共振區(qū)的判據(jù)，在這些β1j的取值條件下，可能引起共振的情況見表3。

表3 各階分量誘發(fā)共振的條件Tab.3 The condition of each component induced resonance

依據(jù)表3，當β1j取0.15時，0.15×5=0.75<1，前5階分量不會引起共振；當β1j取0.35時，0.35×2=0.7，0.35×3=1.05>1，第3,4,5階分量會引起共振；當β1j取0.55時，0.35×1=0.55，0.55×2=1.1>1，第2,3,4,5階分量會引起共振。

根據(jù)上述條件，依次按式(10)、式(12)、式(17)、式(19)計算獲得Kij，結(jié)果見圖4～圖8，為便于比較，圖中同時給出了ρ0.5倍曲線。

圖4 K1j隨人員密度ρ的變化Fig.4 The change of K1j as the personal density ρ

圖5 K2j隨人員密度ρ的變化Fig.5 The change of K2j as the personal density ρ

圖6 K3j隨人員密度ρ的變化Fig.6 The change of K3j as the personal density ρ

分析圖4～圖8可知：

(1)在ρ≤0.3人/m2時，Kij幾乎與ρ0.5倍曲線重疊，即N人作用下的振動響應是單人作用下振動響應的N0.5倍。

(2)在ρ>0.3人/m2時，所有處于非共振條件下的Kij均低于ρ0.5倍曲線，即N人作用下的振動響應小于單人作用下振動響應的N0.5倍。

圖7 K4j隨人員密度ρ的變化Fig.7 The change of K4j as the personal density ρ

圖8 K5j隨人員密度ρ的變化Fig.8 The change of K5j as the personal density ρ

(3)在ρ>0.3人/m2時，所有處于共振條件下的Kij均大于ρ0.5倍曲線，即N人作用下的振動響應大于單人作用下振動響應的N0.5倍。

(4)步行力的i階分量作用下結(jié)構的各階模態(tài)的振動響應均不再服從N0.5倍關系，結(jié)合式(21)可知，結(jié)構的振動總響應也不再服從N0.5倍關系。

4 結(jié) 論

受人人相互作用效應的影響，人群作用下結(jié)構振動響應隨人數(shù)增長的N0.5倍關系可能不再成立，本文在考慮了行人步頻隨人員密度增大而降低的效應后，在理論推導的基礎上結(jié)合已有的試驗成果，研究了結(jié)構振動響應隨人數(shù)增長的初步規(guī)律，結(jié)果表明：

(1)受人人相互作用影響，人群密度的提高改變了行走速度，從而改變個體步頻和步行力各階分量的大小，并進一步引起結(jié)構動力放大系數(shù)的改變。因此，人員密度超過一定水平以后，N0.5倍增長關系不再成立；

(2)人員密度小于0.3人/m2，可以不考慮人人相互作用效應，N人作用下的振動響應是單人作用下振動響應的N0.5倍；在人員密度大于0.3人/m2時，在非共振條件下，N人作用下的振動響應小于單人作用下振動響應的N0.5倍，在誘發(fā)共振條件下，N人作用下的振動響應大于單人作用下振動響應的N0.5倍。

參 考 文 獻

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