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(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 南京 211106)

瑞利波于1885年由英國(guó)物理學(xué)家Rayleigh首先發(fā)現(xiàn)并證明[1]，其是在以真空或氣體為界的自由固體表面上傳播的彈性表面波[2]。瑞利波具有低頻、低速、強(qiáng)振幅的特點(diǎn)，振幅隨著波的傳播深度的增大呈指數(shù)迅速衰減[3]，在層狀介質(zhì)中具有頻散特性，即波速隨波長(zhǎng)的變化而變化[4]。瑞利波檢測(cè)正是利用這些特性，在地質(zhì)勘探、無(wú)損檢測(cè)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。目前國(guó)內(nèi)外有三種主要的瑞利波地質(zhì)勘探法，分別是微動(dòng)法、穩(wěn)態(tài)法和瞬態(tài)法[5]。

地質(zhì)勘探中，攜帶了地下不同深度處介質(zhì)信息的瑞利波的頻散特性可以幫助人們探測(cè)地下介質(zhì)結(jié)構(gòu)。因此，如何準(zhǔn)確可靠地提取頻散曲線是瑞利波勘探技術(shù)的關(guān)鍵問(wèn)題之一。為此，前人做了大量研究，其中TATHAM[6]等人提出利用τ-p變換進(jìn)行波場(chǎng)分離的思想；陳淑珍，劉懷林[7]證實(shí)了τ-p變換法求瞬態(tài)瑞利波的頻散曲線具有失真小等特點(diǎn)；劉云禎[8]等通過(guò)多道分析選擇最佳觀測(cè)時(shí)窗，利用f-k變換法提取瑞利波頻散曲線，具有運(yùn)算簡(jiǎn)便、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。

筆者首先通過(guò)理論研究，對(duì)τ-p變換法和f-k變換法在瑞利波數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用做了分析；然后針對(duì)道面脫空檢測(cè)設(shè)計(jì)了試驗(yàn)，分別使用τ-p變換法和f-k變換法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取出頻散曲線，并對(duì)兩種變換法的處理效果進(jìn)行對(duì)比。

1 瑞利波頻散曲線及其提取

1.1 頻散曲線及其提取方法

頻散曲線指的是頻散波的頻率與波速間的對(duì)應(yīng)關(guān)系曲線。瑞利波在不均勻的介質(zhì)中傳播時(shí)會(huì)發(fā)生頻散現(xiàn)象，即傳播速度與傳播介質(zhì)的物理性質(zhì)相關(guān)。常用的瑞利波頻散曲線提取方法有f-k變換法以及τ-p變換法[9]。

1.2 頻散曲線提取的τ-p變換法

1.2.1τ-p變換原理

τ-p變換是將t-x域的信號(hào)變換到截距(τ)斜率(p)域的變換方法。瑞利波和其他的規(guī)則波具有不同的視速度v*(即p值不同，p=1/v*),所以其處于不同的p值區(qū)間。因此，將數(shù)據(jù)經(jīng)τ-p變換后，再濾掉噪聲保留瑞利波，然后反變換回t-x域，這樣就提純了瑞利波。由t-x域變換到τ-p域，從數(shù)學(xué)上相當(dāng)于做了一次坐標(biāo)變換

t=τ+px

(1)

式中：t為波的傳播時(shí)間；x為波在水平方向的傳播距離。

對(duì)瑞利波而言，其時(shí)距曲線方程如下式

t=x/νR

(2)

p=dt/dx=1/νR

(3)

式中:νR為瑞利波的相速度。

因此，在t-x域內(nèi)為直線的瑞利波，在τ-p域內(nèi)變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)。同理，在t-x域內(nèi)為直線的直達(dá)波、折射波在τ-p域內(nèi)也為一個(gè)點(diǎn)，但p值不相同。對(duì)于反射波而言，其時(shí)距曲線方程為

(4)

式中：h為波在豎直方向的傳播深度。

則

(5)

(6)

式中：k為波數(shù)。

可見(jiàn)在t-x域內(nèi)為雙曲線的反射波，在τ-p域內(nèi)變?yōu)闄E圓。瑞利波、直達(dá)波和聲波都從震源出發(fā)，其時(shí)距曲線在t軸的截距為零，因此，其都在τ=0的p軸上。由于直達(dá)波時(shí)距曲線在無(wú)限遠(yuǎn)處與同一界面的反射波時(shí)距曲線相切，即在該處具有相同的p值，所以直達(dá)波與反射波在p軸上共點(diǎn)。而瑞利波時(shí)距曲線因斜率大于直達(dá)波時(shí)距曲線，故p值大，它的點(diǎn)位于橢圓之外。折射波時(shí)距曲線由于與同一界面的反射波時(shí)距曲線相切，它的點(diǎn)位于橢圓上與臨界角對(duì)應(yīng)的p值處。

τ-p變換的實(shí)現(xiàn)歸結(jié)于傾斜疊加，在t-x域中的信號(hào)φ(t,x)經(jīng)過(guò)τ-p變換后的輸出φ(τ,p)為：

(7)

圖1 t-x域和τ-p域各個(gè)位置的示意

1.2.2 利用τ-p變換提取頻散曲線的步驟

(1) 將數(shù)據(jù)信號(hào)記錄的(t,x)域，利用τ-p變換可以變成(τ,p)域。

(2) 對(duì)(τ,p)域記錄的每一個(gè)p道進(jìn)行一維傅里葉變換可以得到f-p域記錄。

(3) 令νRi=1/pi，可以得到f-νR域記錄。

(4) 取f-νR域記錄中的極值點(diǎn)可以得到(fi,νRi)，將其連成線就得到了f-νR曲線。

(5)Hi=νRi/(2fi)，將(Hi,νRi)點(diǎn)連成線就可得到速度關(guān)于半波長(zhǎng)的曲線。

1.3 頻散曲線提取的f-k變換法

1.3.1 瑞利波信號(hào)增強(qiáng)

雖然瑞利波在地震波中具有能量高的特點(diǎn)，但要滿足檢測(cè)需求，還須進(jìn)行信號(hào)增強(qiáng)，提高信噪比。由于瑞利波的面波特點(diǎn)，瑞利波能量主要聚集于自由表面，也就是地表淺表面。由于其強(qiáng)度在豎直深度方向呈指數(shù)遞減，所以可增大深層信號(hào)的放大倍數(shù)，減小淺地表信號(hào)的放大倍數(shù)。

1.3.2f-k濾波

f-k濾波是根據(jù)f-k變換法的二維傅里葉變換原理來(lái)實(shí)現(xiàn)的。將波的傳播時(shí)間t及空間距離x表示的函數(shù)f(t,x)中的一個(gè)記錄d(t,x)沿t軸做傅里葉變換，將t-x域信號(hào)變換到f-x域，然后對(duì)得到的D(f,x)信號(hào)沿x軸做傅里葉變換，轉(zhuǎn)換為以頻率f和波數(shù)k所表示的函數(shù)F(f,k),如下式所示。

(8)

圖2 頻率波數(shù)譜F的示意

圖2為頻率波數(shù)譜F的示意圖。由圖2可發(fā)現(xiàn)，通過(guò)原點(diǎn)的直線上的每一個(gè)f/k都是一個(gè)常數(shù)，這說(shuō)明在t-x域上該直線就是一個(gè)確定的速度。利用這一性質(zhì)，可在頻率波數(shù)譜上設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器,表示為

(9)

式中：D集合為圖2中標(biāo)出的有效信號(hào)區(qū)和規(guī)則干擾區(qū)。

因此可得

F(f,k)×H(f,k)=F′(f,k)

(10)

至此，濾波工作完成。

1.3.3 二維傅里葉變換

瑞利波數(shù)據(jù)的時(shí)間-空間域可看作為時(shí)間t和空間距離x的二維函數(shù)f(x,t)，在道面脫空檢測(cè)中，需在道面上鋪設(shè)若干道傳感器節(jié)點(diǎn)，在道數(shù)N和每道的采集點(diǎn)數(shù)M已經(jīng)確定之后，則得到下式。

f(m,n)=f(x0+mΔx,t+nΔt)

(11)

式中：m=0,1,…，N-1;n=0,1,…，M-1;Δx為道間距；Δt為采樣間隔。

對(duì)f(m,n)作二維傅里葉變換

(12)

式中：W=e-2π;f為頻率，f=0,1,…,M-1;k為波數(shù),k=0,1,…,N-1。

由于經(jīng)過(guò)傅里葉變換和濾波后的函數(shù)F(f,k)具有對(duì)稱(chēng)性，因此得到的(N/2,M/2)是一系列對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，同時(shí)F(f,k)和F(N-k,M-f)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，它們所對(duì)應(yīng)的是同一波譜。因此只需要對(duì)(0～N/2,0～M/2)的1/4區(qū)域分析就能夠得到全波譜的信息。因?yàn)樵诘卣鸩ㄖ?，瑞利波所占的能量比重很高，達(dá)到67%[10]，故通過(guò)F(k,f)振幅能量譜，標(biāo)出能量最大線上的各點(diǎn)，再根據(jù)半波長(zhǎng)理論就可以繪制瑞利波的頻散曲線。

1.3.4 頻散曲線的獲得

取頻率-波數(shù)(f-k)能量譜中值最大的一點(diǎn)ki(0≤ki

則得到，在能量譜上的ki點(diǎn)處的相速度與波長(zhǎng)的關(guān)系為

(13)

λRi=N·Δt/ki

(14)

依據(jù)半波長(zhǎng)理論，可得

(15)

根據(jù)式(14)可得到瑞利波的頻散曲線。

由于τ-p變換是線性變換，具有良好的保真性，可以將反射波和折射波進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，將無(wú)用的噪聲波也作為利于檢測(cè)的波形；f-k變換解決了一維數(shù)字處理技術(shù)存在的不足，同時(shí)充分利用了多道瞬態(tài)瑞利波數(shù)據(jù)信息的優(yōu)勢(shì)。

但τ-p變換算法是通過(guò)對(duì)原信號(hào)進(jìn)行采樣、求導(dǎo)后取得的，因此也存在一些弊端，如會(huì)出現(xiàn)假頻現(xiàn)象和端點(diǎn)效應(yīng)[11]。這對(duì)道面檢測(cè)中頻散曲線反映出的地下脫空結(jié)果的準(zhǔn)確性會(huì)造成影響，所以τ-p變換需要經(jīng)過(guò)一定的優(yōu)化才能夠獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果。加之，考慮到程序設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，認(rèn)為f-k變換更加符合檢測(cè)需求，因此在道面檢測(cè)中更適合用f-k變換法來(lái)提取頻散曲線。

2 模擬道面脫空檢測(cè)試驗(yàn)及頻散曲線提取

2.1 試驗(yàn)方案

文章通過(guò)以下的道面脫空檢測(cè)模擬試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證頻散曲線提取的理論分析結(jié)果。

試驗(yàn)對(duì)象為帶有圓形空洞的混凝土板(長(zhǎng)×寬×高為1 750 mm×1 500 mm×80 mm)，空洞圓心位置距離上表面深度約350 mm，震源采用錘擊生成瑞利波，試驗(yàn)裝置布置示意及混凝土板實(shí)物如圖3所示。

采用3道加速度傳感器采集信號(hào)，每道采集1 024個(gè)點(diǎn)，采集頻率為1 000 Hz，道間距為100 mm，布線采用線性等間距排列方式；用激勵(lì)錘正面垂直敲擊水泥板。每個(gè)測(cè)試點(diǎn)均分別采用100，200mm偏移距做了測(cè)試，每個(gè)激發(fā)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)次激發(fā)，選取瑞利波能量強(qiáng)、干擾小、信噪比高的記錄作為瑞利波數(shù)據(jù)并加以處理。

圖3 脫空檢測(cè)模擬試驗(yàn)裝置布置示意及混凝土板實(shí)物

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

首先使用τ-p變換法對(duì)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取出的頻散曲線如圖4所示。

圖4 采用τ-p變換獲得的頻散曲線

從圖4中可看出，頻散曲線在0.35～0.40 m的深度處出現(xiàn)了明顯的頻散曲線的突變——波速瞬間下降后回折。這說(shuō)明瑞利波傳播經(jīng)過(guò)的介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生了改變——即混凝土板上設(shè)置的空洞。該曲線整體特征鮮明，反映出了樣本的特征。

然后采用f-k變換法對(duì)該試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取出的頻散曲線如圖5所示。

圖5 采用f-k變換獲得的頻散曲線

從特征上看，該曲線上的突變位置與τ-p變換法所得曲線上的突變位置比較，相差不大，但由于弱化了其他的突變曲線，使得空洞造成的頻散曲線特征更加突出，從而更加利于對(duì)樣本空洞屬性的分析，因此針對(duì)道面檢測(cè)，選用f-k變換法來(lái)提取頻散曲線更合適。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)闡述τ-p變換法和f-k變換法的原理與步驟，對(duì)兩種方法在瑞利波數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用特點(diǎn)做了對(duì)比，得出道面脫空檢測(cè)中f-k變換法提取頻散曲線要優(yōu)于τ-p變換法的結(jié)論；然后設(shè)計(jì)了模擬道面脫空檢測(cè)試驗(yàn)，分別使用τ-p變換法和f-k變換法對(duì)混凝土構(gòu)件模型測(cè)試波形數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取出頻散曲線，驗(yàn)證了f-k變換法在道面檢測(cè)提取瞬態(tài)瑞利波頻散曲線中的效果更好。實(shí)際檢測(cè)中，當(dāng)各種轉(zhuǎn)換波與面波嚴(yán)重耦合在一起時(shí)，f-k變換法也存在難以選擇最佳觀測(cè)窗口的問(wèn)題，要想改進(jìn)f-k變換法尚需要進(jìn)一步的深入研究。

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