許朝陽，林耀海，張 萍

1.莆田學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 莆田 351100

2.福建農(nóng)林大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，福州 350002

1 引言

近年，密度峰值聚類方法（Density Peaks Clustering，DPC）[1]得到了廣泛的研究和應(yīng)用，例如，在電力消費行為的聚類[2]，文本聚類[3]，無監(jiān)督的聲學(xué)單詞發(fā)現(xiàn)計算[4]，批處理建模和在線監(jiān)測[5]，醫(yī)療數(shù)據(jù)[6]，城市出租車熱點區(qū)域發(fā)現(xiàn)[7]，異常值檢測[8]和超光譜段選擇[9]等領(lǐng)域。密度峰值聚類方法以它不需要迭代、不需要太多參數(shù)等優(yōu)點，備受歡迎。

學(xué)者們也對密度峰值聚類方法本身做了一些改進(jìn)，以適應(yīng)應(yīng)用領(lǐng)域中的新情況，包括在聚類中心的判斷，截斷距離dc的選擇，密度計算方法的修改等。如Ma等在文獻(xiàn)[10]中設(shè)定，并按照從大到小排列，取前m個最大值作為聚類中心，Mehmood等提出了一種模糊CFSFDP方法[11]，用于有效地自適應(yīng)地選擇聚類中心；Wang和Xu[12]引入了一種基于熵的截斷距離dc的選擇方法；Wang等[13]使用多變量的核密度估計方法自動選擇截斷距離dc。Mehmood等[14]，基于熱方程，使用另一個非參數(shù)密度估計器進(jìn)行密度估計；Yan等[15]提出了基于點與其第k個最近鄰點之間的距離（稱為半徑）來估計每個點的局部密度。Du等[16]在高維數(shù)據(jù)點情況下使用PCA降維，然后在降維后的空間中使用KNN計算每個點的密度。高詩瑩等[17]通過計算數(shù)據(jù)樣本中的密度比，以避免低密度的類在決策圖上被遺漏，從而提高聚類準(zhǔn)確率。李建勛等[18]充分利用屬性數(shù)據(jù)提高聚類質(zhì)量。

密度峰值聚類方法基于這樣的假設(shè)：聚類中心被鄰近地區(qū)密度較低的鄰居所圍繞，并且與具有更高局部密度的任何點具有相對較大的距離。但密度峰值聚類方法確實存在一些缺點。作為聚類中心的數(shù)據(jù)點密度的差異程度，是影響密度峰值聚類方法聚類效果的一個關(guān)鍵原因。包含兩個方面：不同類的數(shù)據(jù)點密度差異過大，同一類中多個密度聚類中心密度值差異過小。已有的方法，有的沒考慮到這些問題，有的只處理了一種情況，而本文方法能夠較好地兼顧兩種情況的處理。

在上述問題中，數(shù)據(jù)點的密度不均衡是個關(guān)鍵，因此，本文提出了基于數(shù)據(jù)點密度二分法的密度峰值聚類方法。首先，將聚類過程視作兩部分：聚類中心的確定、其他數(shù)據(jù)點歸并到相應(yīng)聚類中心。相應(yīng)的，在本文算法中將數(shù)據(jù)分為高密度點和低密度點。一方面，對高密度的點進(jìn)行聚類，根據(jù)決策圖識別出聚類中心；另一方面，根據(jù)本文提出的分配策略，使高密度點和低密度點都?xì)w并到合適的聚類中心，從而實現(xiàn)聚類。

2 相關(guān)研究與問題分析

2.1 基于k-近鄰與聚合策略的自適應(yīng)密度峰聚類

基于k-近鄰與聚合策略的自適應(yīng)密度峰聚類（ADPC-KNN）[19]所針對的問題是，密度峰值聚類方法所提出的dc的確定方案，難以適應(yīng)眾多類型的待聚類數(shù)據(jù)；該文章指出，dc的確定需要考慮到每個數(shù)據(jù)點的k近鄰距離，并與所有數(shù)據(jù)點的k近鄰距離、k近鄰距離的標(biāo)準(zhǔn)差都正向相關(guān)。其具體的公式描述如下：

其中N是數(shù)據(jù)點的數(shù)量，是點i和k最近鄰居之間的距離，定義如下，=maxj∈KNNi(dij)，μk是其中定義的所有點均值：

文獻(xiàn)[19]提出了新的dc確定方案，然后基本沿用密度峰值聚類方法計算δi和ρi。為了克服由于同一個類中存在多個峰值點，而被劃分為多個類，該文獻(xiàn)還提出了數(shù)據(jù)歸并算法。它拓寬了聚類間的密度核心類和類之間的邊界（異常值）。在聚類中心的判斷上，它將δi大于平均值的點作為初始的聚類中心之后，利用密度可達(dá)作為條件判斷，將滿足該條件的合并為一個類。它的不足是，對于類與類之間距離較小但有明顯邊界的類，也常被誤判為同一類。同時，由于該歸并算法將所有密度大于密度均值的點都作為可能的密度中心，然后進(jìn)行迭代歸并、判斷，因此，算法復(fù)雜度較高。

2.2 基于密度歸一化的密度峰值聚類

基于密度歸一化的密度峰值聚類（DNDPC）[20]所針對的問題是，當(dāng)不同類的數(shù)據(jù)的密度差異過大時，低密度的聚類中心難以通過密度峰值聚類方法的決策圖識別出來。該文的解決思路是，用當(dāng)前點的最近30個鄰居的密度均值進(jìn)行密度歸一化后，代替當(dāng)前點的密度值ρi，用ρ'i在決策圖中輔助判斷聚類中心點。其歸一化公式描述如下：

其中，ρi表示點i的密度，定義如公式（3）；Dinn表示當(dāng)前點i的30個最近鄰。歸一化密度僅用于選擇聚類中心。其他非中心數(shù)據(jù)的處理，仍以原始密度的決策圖上的關(guān)系為基礎(chǔ)。這種歸一化密度的思路，使得低密度的中心點能有比原來密度峰值聚類方法更多的機會，從決策圖中被識別出來。但是，同一類數(shù)據(jù)點中存在多個密度峰值而被誤判的情況仍然是文獻(xiàn)[20]沒有解決的一個問題。

2.3 關(guān)鍵問題分析

當(dāng)密度峰值聚類方法對同一批待聚類數(shù)據(jù)中各個類的密度差異過大，或者不同批次待聚類的數(shù)據(jù)密度差異過大，通過密度峰值聚類方法的決策圖難以得到聚類中心，或者同一個類中產(chǎn)生多個聚類中心。這是影響密度峰值聚類方法得出準(zhǔn)確聚類結(jié)果的一種常見情況。

如果這個問題沒有得到有效處理，往往可能產(chǎn)生諸多的錯誤聚類。例如，密度較大的類可能被劃分為多個類，或密度較大的類與其他類合并，或同一個聚類中包含多個密度中心。如圖1（a），來自于Compound數(shù)據(jù)集，內(nèi)圓和外圓應(yīng)該屬于不同類，但是由于外圓具有多個高密度點，并且比內(nèi)圓的密度高，導(dǎo)致內(nèi)圓被錯誤歸類到外圓的類上如圖1（c）。如圖1（b），來自于Jain數(shù)據(jù)集，上面的圓弧和下面的圓弧也應(yīng)該屬于不同類，但是由于密度不同，導(dǎo)致錯誤的聚類結(jié)果，如圖1（d）。

針對這種情況，學(xué)者們給出的方法[19-20]能夠某種程度上解決這個問題，但仍有所不足（如2.1、2.2節(jié)的分析）。本文基于這兩個工作給出的工作結(jié)果和分析角度，既要使dc根據(jù)數(shù)據(jù)的特征而作相應(yīng)變化[19]，也要使得密度峰值聚類方法能夠兼顧到低密度數(shù)據(jù)在聚類過程中容易被忽視的情況[20]。

圖1 密度不均衡數(shù)據(jù)集的聚類情況

因此，本文將聚類過程視為兩個步驟：產(chǎn)生聚類中心、將數(shù)據(jù)點聚類到最為合適的聚類中心。相應(yīng)的，求出所有數(shù)據(jù)點的密度平均值后，將數(shù)據(jù)點分為高密度數(shù)據(jù)點和低密度數(shù)據(jù)點。正因如此，本文所提方法稱為“基于數(shù)據(jù)點密度二分法的密度峰值聚類”。在聚類之前去除低密度的點。然后對高密度的點進(jìn)行聚類，使用一維高斯離散點檢測，識別出聚類中心。分別對高密度點和低密度點提出了兩個新的分配策略。

除了將數(shù)據(jù)分為高密度、低密度以便得到更好的聚類結(jié)果以外，本文的另外一個創(chuàng)新點是，本文認(rèn)為在使用密度峰值聚類方法得到聚類結(jié)果后，要有相應(yīng)的歸并策略。如圖2所示，上圖被正確識別為兩類，下圖由于存在一條稀疏的數(shù)據(jù)帶，在實際應(yīng)用中很可能需要被識別為同一類。而到達(dá)到這個效果，就需要對密度峰值聚類方法的識別結(jié)果進(jìn)行歸并。

3 基于數(shù)據(jù)點密度二分法的密度峰值聚類方法

本文所提的基于數(shù)據(jù)點密度二分法的密度峰值聚類方法，包含以下內(nèi)容：（1）基于k個最近鄰居提出了截止距離dc的定義及計算；（2）基于一維離散點檢測算法，能夠有效和正確地發(fā)現(xiàn)密度峰值（聚類中心）；（3）介紹了高密度點和低密度點的聚類分配新策略。這些新策略是連續(xù)應(yīng)用的。

圖2 兩類數(shù)據(jù)需要歸并的情況

3.1 截斷距離和數(shù)據(jù)點二分法

為了使得dc能夠根據(jù)數(shù)據(jù)集的不同形態(tài)而作相應(yīng)修改，本文所提方法中dc的計算，參考了文獻(xiàn)[19]。由于本文所提方法的dc主要用于對高密度數(shù)據(jù)點計算聚類中心，數(shù)據(jù)集更少，數(shù)據(jù)密度更高（相對于還未將數(shù)據(jù)分為高密度和低密度時的數(shù)據(jù)集），所以本文的dc在公式（1）的基礎(chǔ)上乘以一個系數(shù)a。經(jīng)過多次實驗對比，系數(shù)a為0.25時效果最好。

然后在密度峰值聚類方法的框架下，利用公式（3）計算 ρi。

本文高密度和低密度的分界值為全體數(shù)據(jù)點的密度值的均值，計算公式如公式（5）：

然后，將點的密度值大于密度分界值ρˉ的點為高密度點，點密度值小于密度分界值ρˉ的點為低密度點。

3.2 聚類中心的計算

先對高密度數(shù)據(jù)點進(jìn)行處理，計算出它們的聚類中心。

密度峰值聚類方法本質(zhì)是一個二維度量的聚類算法，除了計算每個點的密度峰值之外，還需要計算每個點的距離，距離的定義如下：

根據(jù)密度和距離的值，計算γi的值

DPC算法的提出者[1]給出的選擇聚類密度中心的方法是，通過人機交互的方式；也有眾多學(xué)者對如何選擇合適的聚類中心給出了自己的方案[10-11]，由于這個不是本文的研究重心，這里選擇的方案是在正態(tài)分布的假設(shè)下，如果i對應(yīng)γi的值大于所有數(shù)據(jù)點的γ方差的3倍，那么i就可以被認(rèn)為是一個聚類中心點[21]。聚類中心點構(gòu)成一個集合，用C表示。

3.3 數(shù)據(jù)點分配策略

本文所謂的分配策略是指，在確定完聚類中心點以后，將每個點與最合適它的聚類中心點聯(lián)系起來。從而，實現(xiàn)最終的聚類過程。

數(shù)據(jù)點的分配策略有兩種，分別適用于高密度點和低密度點。

總體上來說，對高密度數(shù)據(jù)點的分配策略仍用原密度峰值聚類方法算法的方式。根據(jù)高密度點得到的決策圖，會求出一系列的聚類中心點。整個數(shù)據(jù)集的聚類中心，也將在這一系列聚類中心中產(chǎn)生。為了后續(xù)將其他非聚類中心點歸并中相應(yīng)的聚類中心上，將上述這一系列聚類中心進(jìn)行編號。對于密度最高的點，設(shè)置分配編號值為0；從密度第二大的點開始，設(shè)置分配編號值為密度比它大并且距離最小的點的編號。該分配策略優(yōu)先考慮密度比較大的點，而后再尋找距離小的點。

與高密度點的分配策略不同，對于低密度點的分配策略需要同時考慮密度和距離兩個因素。所以，定義了歸屬概率，用來表示，如公式（9）。低密度點i的分配策略是，分配到歸屬概率比i大的相鄰點。

其中wij定義為代表點i和 j之間的相似度wij，這意味著點i和 j之間的距離越小，它們越相似。并將它們歸一化。

除此以外，還作了密度中心合并策略，以避免同一個類中，由于存在多個峰值，而被錯誤劃分。首先，定義了兩個點的dc可達(dá)，即這兩個點在所有的高密度點間存在一條路徑，該路徑上的點的兩兩之間的距離都小于dc。然后，在所有的高密度聚類中心點兩兩之間計算是否dc可達(dá)，如果可達(dá)則合并。

如圖3，針對高密度點，如圖3（b）中藍(lán)色的點，對高密度點進(jìn)行聚類，如圖3（c），可以聚成4類，分別對這4類的中心點如圖3（d），中心點合并后的效果如圖3（e），最后低密度點聚類，如圖3（f）。

3.4 算法流程

下面從4個方面來描述本文所提方法：算法主體、密度中心計算、數(shù)據(jù)點分配、密度中心合并。

算法1給出了本文算法的整體流程。

算法1算法主體

輸入：待聚類數(shù)據(jù)集。

輸出：每個數(shù)據(jù)點的聚類結(jié)果。

1.根據(jù)公式（1）計算截止距離dc。

2.根據(jù)公式（5）計算高低密度分界值。

3.調(diào)用算法2，對高密度點進(jìn)行密度中心計算。

4.調(diào)用算法3，實現(xiàn)聚類中心合并。

5.調(diào)用算法4，實現(xiàn)數(shù)據(jù)點的分配。

算法2，是根據(jù)3.2節(jié)的分析而實現(xiàn)，屬于密度二分法中的第一個關(guān)鍵步驟。

算法2密度中心計算

輸入：所有高密度數(shù)據(jù)點。

輸出：聚類中心點的編號。

1.使用公式（3），重新計算高密度點的ρi。

2.使用公式（6），計算 δi。

3.使用公式（8），計算聚類中心點。

算法3，可以有效避免，同一個類中，由于存在多個密度峰值點，而被誤判為多個類。

算法3聚類中心合并

輸入：所有聚類中心點的編號。

輸出：新的聚類中心。

1.計算聚類中心點兩兩之間，是否dc可達(dá)。

2.如果兩個點之間dc可達(dá)，把兩者中密度較小點從集合C中刪除。

算法4，是根據(jù)3.3節(jié)的分析而實現(xiàn)。

算法4數(shù)據(jù)點分配

輸入：所有數(shù)據(jù)點和聚類中心。

圖3 高密度點和低密度點計算示意圖

輸出：所有點的歸類。

1.對于高密度點使用與原密度峰值聚類方法算法同樣的策略。

2.對于低密度點做如下操作

2.1首先通過以下公式定義點i和 j之間的相似度wij。

2.2定義類歸屬的概率，點i到點c的概率。

2.3對進(jìn)行排序升序排序，點i歸屬到比它大一些的那個點 j。

3.5 算法復(fù)雜度分析

本文所提算法主要有4個部分組成：算法1中的dc的計算，算法2中的密度和距離的計算，算法3中的dc可達(dá)性計算，算法4中的類歸屬概率的排序。下面就從這4部分對算法的時間復(fù)雜度進(jìn)行分析。

假設(shè)樣本數(shù)為N，需要計算所有點對之間的截止距離dc，計算復(fù)雜度為O(N2)。

接下來算法的其余3部分的計算復(fù)雜度從最好情況、最壞情況、平均情況這3類進(jìn)行分析。

在最好的情況下，高密度點只有m個，其中m?N,則計算密度和距離的復(fù)雜度為O(m2)，且O(m2)?O(N2)。每個聚類中心搜索路徑的計算復(fù)雜度為O(m2),dc可達(dá)性計算的計算復(fù)雜度為其中mc為聚類中心的數(shù)目，類歸屬概率的排序的計算復(fù)雜度為O( )NlogN 。通過計算，本文所提算法整體上計算復(fù)雜度為O(N2)。

最壞的情況下，高密度點有N-1，則密度和距離的計算復(fù)雜度為O((N-1)2)；對于每個聚類中心搜索路徑的計算復(fù)雜度為O((N-2)2)，dc可達(dá)性計算復(fù)雜度由于不存在低密度點，因此沒有必要對算法4中的類歸屬概率進(jìn)行排序。所以整體上計算復(fù)雜度為O(mcN2)。

平均情況下，高密度點有mh,則低密度點有N-mh,密度和距離的計算復(fù)雜度為O((mh)2)；對于每個聚類中心搜索路徑的計算復(fù)雜度為O((mh-1)2)，dc可達(dá)性的計算復(fù)雜度為類歸屬概率的排序計算復(fù)雜度為由數(shù)學(xué)歸納法可證明，算法整體計算復(fù)雜度為O(N2logN)。

通過分析，可以看出，在所有類間距足夠大且每類高密度點只有一個的情況下，算法時間復(fù)雜度將達(dá)到最優(yōu)；在類與類之間邊界交叉較多且類中包含多個高密度點的情況下，成為最壞時間復(fù)雜度。這兩種情況都屬于比較少見的情況。大部分情況下，趨近于平均時間復(fù)雜度O(N2logN)。

4 實驗與分析

本章在合成的和真實的數(shù)據(jù)集上完成了一系列實驗，將基于數(shù)據(jù)點密度二分法的密度峰值聚類方法（以下簡稱 DD-DPC）與 DPC[1]、ADPC-KNN[17]、DNDPC[18]等算法作了分析和對比。采用了聚類算法常用的對比指標(biāo)調(diào)整后的蘭特指數(shù)（ARI），每個基準(zhǔn)值的范圍從0到1，值越大，表示聚類效果越好。

為了比較候選聚類算法的優(yōu)點，在實驗中使用的數(shù)據(jù)列于表1。包括9個來自東芬蘭大學(xué)1http：//cs.joensuu.fi/sipu/datasets/的shape數(shù)據(jù)集。表1總結(jié)了所有數(shù)據(jù)集的屬性數(shù)量和類數(shù)。

表1 9個實驗數(shù)據(jù)集的信息

4種聚類算法都需要設(shè)置多種參數(shù)。DD-DPC和ADPC-KNN只需要一個參數(shù)即k近鄰點個數(shù)，可預(yù)先指定。DPC和DNDPC都需要設(shè)置截止距離dc，初始聚類中心，由密度ρ和距離δ決策圖手動選擇。對于4種聚類算法在每個數(shù)據(jù)集上執(zhí)行了多次，列出了每個方法的最佳結(jié)果。實驗中4種聚類算法的參數(shù)都是精心挑選的。

4.1 聚類結(jié)果分析

將對DD-DPC、DPC、ADPC-KNN、DNDPC這4種算法在3種典型的二維數(shù)據(jù)集（Aggregation、Jain、Compound）上進(jìn)行聚類分析比較。每個圖像分別顯示4種算法的聚類結(jié)果，使用不同的顏色和形狀代表不同的聚類，如圖4～6所示，其中子圖（a）表示數(shù)據(jù)的真實結(jié)果，圖（b）表示新算法的聚類結(jié)果，（c）～（e）子圖分別表示DPC、ADPC-KNN、DNDPC算法的聚類結(jié)果。每個聚類中心每個聚類中心分別使用菱形方塊表示。

圖4中的Aggregation數(shù)據(jù)集，它有7個不同大小和形狀的類，兩對聚類相互連接。DD-DPC和DNDPC都可以找到正確的聚類中心和聚類，并獲得與數(shù)據(jù)幾乎一致的聚類結(jié)果，這個從4.2節(jié)的指標(biāo)比較中也能看出。而DPC聚類算法由于無法處理類中擁有兩個高密度點的情況，導(dǎo)致左下角的大類被分割成兩類；ADPC-KNN由于計算出來的dc過大，導(dǎo)致左下角3個類都被誤分為同一類。在表2中，DD-DPC和DNDPC的ARI都是將近100%準(zhǔn)確，而DPC和ADPC-KNN則相對正確率低很多。

圖5中的Jain數(shù)據(jù)集，它有2類373點構(gòu)成，每個類中密度相對均勻，每個類都有多個高密度的點，在聚類中心決策圖上可能會被認(rèn)為聚類中心，導(dǎo)致聚類成多個類。圖5分別顯示了聚類中心和聚類效果。DD-DPC通過去除低密度點和合并聚類中心點可以獲得良好效果。而DPC，DNDPC則會認(rèn)為多個高密度點都是聚類中心，導(dǎo)致聚類成多個類。ADPC-KNN雖然能夠合并，但是由于下方類的上半部分與上方類相對較近，導(dǎo)致聚類錯誤。

對于圖6中的Compound數(shù)據(jù)集，它有399個點6類不同形狀的聚類，點分布不均勻，其中有的類被另外一個類包含在中間。DD-DPC能夠識別出包含在中間的類，但是識別不出分別在右邊的那個密度相對小得多的類。而DPC、ADPC-KNN和DNDPC在對包含在里面的類無能為力。

圖4 Aggregation數(shù)據(jù)集

圖5 Jain數(shù)據(jù)集

圖6 Compound數(shù)據(jù)集

4.2 算法指標(biāo)對比與分析

本節(jié)分別對4種算法，對調(diào)整后的蘭特指數(shù)（ARI）指標(biāo)進(jìn)行比較。每個基準(zhǔn)值的范圍從0到1，值越大聚類效果越好。粗體表示結(jié)果最好。

表2表明，DD-DPC算法在unbalance數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)略遜色于NDDPC，即說明也能處理類密度分布不均衡的情況。但是在其他數(shù)據(jù)集上，本文提出的DD-DPC在數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)良好，特別是Jain和Compound數(shù)據(jù)集上。因為該數(shù)據(jù)集中包含多個高密度峰值。

表2 4種聚類算法在合成數(shù)據(jù)集上的ARI指標(biāo)比較

5 結(jié)論

本文的核心工作在于將密度峰值聚類方法的聚類過程視為聚類中心確定、每個數(shù)據(jù)點的聚類歸屬兩個環(huán)節(jié)，然后提出將數(shù)據(jù)按照密度分為高密度和低密度分別聚類，提出了基于數(shù)據(jù)點密度二分法的密度峰值聚類方法。

在多個合成及實際數(shù)據(jù)集上，從聚類可視化結(jié)果以及調(diào)整后的蘭特指數(shù)（ARI）指標(biāo)上進(jìn)行比較，實驗結(jié)果表明，本文所提方法，能夠有效地處理聚類中心的數(shù)據(jù)點密度差異較大，或者同一個聚類中包含多個密度中心等情況下，密度峰值聚類方法聚類效果受到影響的問題。

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