賈 梟，張國(guó)良，徐 君，杜柏陽(yáng)，林志林

火箭軍工程大學(xué) 301教研室，西安 710025

1 引言

多機(jī)器人編隊(duì)控制是指系統(tǒng)中各個(gè)機(jī)器人利用通信協(xié)議，通過分布式控制形成并保持既定幾何構(gòu)型，在衛(wèi)星編隊(duì)、無(wú)人機(jī)編隊(duì)、多機(jī)械臂系統(tǒng)、集群機(jī)器人救護(hù)等方面得到廣泛應(yīng)用研究[1-3]。編隊(duì)控制由此成為多機(jī)器人協(xié)同控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。

Jadbabaie等[4]運(yùn)用代數(shù)圖論知識(shí)證明了多智能體系統(tǒng)存在一致性，進(jìn)而為基于一致性理論的編隊(duì)控制研究奠定基礎(chǔ)。Jiang等[5]利用采樣控制方法研究了一階多機(jī)器人系統(tǒng)的一致性問題?？紤]多機(jī)器人系統(tǒng)編隊(duì)的實(shí)際環(huán)境，系統(tǒng)中個(gè)體交換信息不可避免存在通信時(shí)延，所以在多機(jī)器人系統(tǒng)的一致性研究中，時(shí)延問題一直是研究的重點(diǎn)[6-7]。連續(xù)系統(tǒng)方面，Liu等[8]采用容積控制方法對(duì)二階多機(jī)器人系統(tǒng)的時(shí)變時(shí)延問題進(jìn)行分析，并推導(dǎo)得到系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。離散系統(tǒng)方面，Zhong等[9]基于模型預(yù)測(cè)控制方法對(duì)二階的離散時(shí)延問題進(jìn)行了研究。進(jìn)一步考慮高階系統(tǒng)，Xi等[10]通過引入一致性子空間及其補(bǔ)子空間，將高階線性時(shí)變系統(tǒng)的一致性問題轉(zhuǎn)化為帶有時(shí)延的低維子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

現(xiàn)在許多編隊(duì)控制一致性分析都是針對(duì)同構(gòu)系統(tǒng)而言的，即假設(shè)多機(jī)器人系統(tǒng)中所有個(gè)體具有相同的動(dòng)力學(xué)模型，然而此種假設(shè)在很多應(yīng)用中是不符合實(shí)際情景的。于是，眾多學(xué)者開始對(duì)異構(gòu)系統(tǒng)展開研究。連續(xù)系統(tǒng)方面，鄭元世等[11]利用圖論和Lyapunov穩(wěn)定性理論得出異構(gòu)系統(tǒng)在無(wú)向拓?fù)鋱D中實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。Kim等[12]針對(duì)異構(gòu)系統(tǒng)在有無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者兩種情形的一致性問題，基于Lyapunov理論設(shè)計(jì)一致性協(xié)議，并證明其收斂性。離散系統(tǒng)方面，Liu等[13]研究了離散時(shí)間異構(gòu)多智能體一致性問題，得到了離散系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。

上述文獻(xiàn)[11-13]從不同角度對(duì)異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)編隊(duì)控制進(jìn)行研究，取得了一些研究成果。以上研究都是基于無(wú)向通信拓?fù)?，但是在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，系統(tǒng)的各個(gè)機(jī)器人不可能始終保持相互通信，因此對(duì)于有向通信拓?fù)淝闆r下異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)的編隊(duì)控制研究更具實(shí)際工程意義。此外，雖然目前對(duì)同構(gòu)系統(tǒng)的時(shí)延問題研究較為成熟[6-9]，但是當(dāng)異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)存在時(shí)延時(shí)，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)中不同階機(jī)器人進(jìn)行一致性分析的難度增大，而學(xué)者們對(duì)此類問題的研究依舊較少。本文基于領(lǐng)航跟隨者模式展開系統(tǒng)編隊(duì)控制一致性的研究，對(duì)跟隨者機(jī)器人提出一致性控制協(xié)議，降低了同時(shí)對(duì)不同階機(jī)器人進(jìn)行一致性分析的難度。

本文的主要工作在于考慮有向通信拓?fù)?，在零時(shí)延和固定時(shí)延情況下，開展對(duì)異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)的編隊(duì)精確控制問題的研究。首先基于領(lǐng)航跟隨者模式，分別針對(duì)零時(shí)延和固定時(shí)延時(shí)的一、二階異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題，提出相應(yīng)的一致性控制協(xié)議。然后利用圖論與矩陣分析方法，得到零時(shí)延系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制的充要條件。進(jìn)一步構(gòu)造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)，分析得到固定時(shí)延系統(tǒng)在Lyapunov意義下穩(wěn)定的充分條件。最后通過仿真算例，驗(yàn)證一致性控制算法的正確性。

2 異構(gòu)多機(jī)器人編隊(duì)模型建立

2.1 異構(gòu)系統(tǒng)編隊(duì)模型

采用領(lǐng)航跟隨者法，建立異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)編隊(duì)模型?？紤]由n+1個(gè)機(jī)器人組成的連續(xù)時(shí)間異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)，其中一個(gè)一階機(jī)器人為領(lǐng)航者，其余n個(gè)二階機(jī)器人為跟隨者。于是可將異構(gòu)系統(tǒng)編隊(duì)模型描述如下：

其中，p0(t)，q0(t)∈?為一階機(jī)器人的位置和常速度；pi(t)，qi(t)，ui(t)∈?為系統(tǒng)中二階機(jī)器人的位置、速度和控制輸入。

定義1對(duì)于異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)（1），如果各狀態(tài)量滿足以下要求，則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)預(yù)期編隊(duì)和漸近速度一致，完成編隊(duì)任務(wù)[14]：

注1領(lǐng)航跟隨者模式下的異構(gòu)系統(tǒng)（1）編隊(duì)控制問題的實(shí)質(zhì)是設(shè)計(jì)合理的跟隨者控制輸入ui(t)，使系統(tǒng)中各個(gè)跟隨者的狀態(tài)參量與領(lǐng)航者達(dá)到一致。因此針對(duì)系統(tǒng)（1）的不同時(shí)延情況，設(shè)計(jì)與選擇合適的控制輸入ui(t)進(jìn)行分析與討論是實(shí)現(xiàn)異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)編隊(duì)控制的關(guān)鍵所在。

2.2 通信拓?fù)?/h3>

針對(duì)基于領(lǐng)航跟隨者模式的異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)（1），定義拓?fù)鋱D它表示節(jié)點(diǎn)集為邊集為，跟隨者鄰接矩陣為的異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)，其中v0表示領(lǐng)航者，vk(k=1,2,…,n)表示跟隨者。如果領(lǐng)航者v0與其他每個(gè)跟隨者vk(k =1,2,…,n)之間都存在一條有向路徑，那么稱領(lǐng)航者v0全局可達(dá)。同時(shí)，為描述各跟隨者與領(lǐng)航者之間的鄰接關(guān)系定義B=diag(bii)(i =1,2,…,n)，如果跟隨者vk(k =1,2,…,n)與領(lǐng)航者v0之間存在直接通信鏈路即bii>0否則bii=0。

根據(jù)附加權(quán)重的有向圖鄰接關(guān)系的定義，通常以Laplacian矩陣L表示一個(gè)圖。它定義為：

3 編隊(duì)控制一致性算法

一致性算法是指針對(duì)異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)的輸入ui(t)設(shè)計(jì)合理的一致性控制協(xié)議，從而使系統(tǒng)各個(gè)個(gè)體的狀態(tài)量達(dá)到一致。此算法具有較強(qiáng)的工程實(shí)踐意義，因此廣泛應(yīng)用于多機(jī)器人的編隊(duì)控制研究[4-14]。針對(duì)異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)（1），在零時(shí)延和固定時(shí)延兩種情況下提出相應(yīng)的一致性控制協(xié)議。

3.1 零時(shí)延一致性協(xié)議設(shè)計(jì)

針對(duì)異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)的零時(shí)延情形，提出如下一致性控制協(xié)議：

其中k>0表示控制參數(shù)，ri表示期望隊(duì)形中各跟隨者與領(lǐng)航者的相對(duì)距離。

令 p=[p1,p2,…,pn]T,q=[q1,q2,…,qn]T,r=[r1,r2,…,rn]T。將一致性協(xié)議（2）帶入系統(tǒng)（1）跟隨者模型中整理得到下面向量形式：

令 x=p-p0?1-r和v=q-q0?1，可以得到系統(tǒng)（3）的誤差模型：

令那么誤差系統(tǒng)（4）可以寫成如下形式：

其中系統(tǒng)矩陣

3.2 固定時(shí)延一致性協(xié)議設(shè)計(jì)

針對(duì)異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)的零時(shí)延情形，提出如下一致性控制協(xié)議：

其中k>0表示控制參數(shù)，ri表示期望隊(duì)形中各跟隨者與領(lǐng)航者的相對(duì)距離，令τij=τji表示節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn) j之間的通信時(shí)延。

為描述方便，令 τr∈{τij:i,j=1,2,…,n,i≠j} ，其中r=1,2,…,m(m ≤n(n -1) )。定義系統(tǒng)通信拓?fù)鋱DGˉ的子圖，相應(yīng)的鄰接矩陣，度矩陣 D，Laplacian矩r陣Lr和領(lǐng)導(dǎo)者的鄰接矩陣Βr[14]。由于每個(gè)子圖不相關(guān)那么有

記 p=[p1,p2,…,pn]T,q=[q1,q2,…,qn]T,r=[r1,r2,…,rn]T。將一致性協(xié)議（6）帶入系統(tǒng)（1）跟隨者模型中整理得到下面向量形式：

令同樣的，可以得到系統(tǒng)（7）的誤差模型：

其中系統(tǒng)矩陣

注2針對(duì)零時(shí)延和固定時(shí)延情況下的異構(gòu)系統(tǒng)編隊(duì)控制問題，分別提出一致性算法，得到了相應(yīng)的編隊(duì)誤差系統(tǒng)模型（5）與（8），從而將系統(tǒng)的編隊(duì)控制一致性問題轉(zhuǎn)化穩(wěn)定性問題。算法的目標(biāo)：當(dāng)t→∞時(shí)，ε(t)→0即實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的異構(gòu)系統(tǒng)編隊(duì)控制。

4 編隊(duì)控制一致性分析

主要是對(duì)誤差系統(tǒng)（5）與（8）進(jìn)行穩(wěn)定性分析，確定系統(tǒng)的控制參數(shù)k與時(shí)延τr的范圍，得到系統(tǒng)在零時(shí)延和固定時(shí)延兩種情況下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制的基本條件。

4.1 零時(shí)延編隊(duì)控制分析

定理1，控制參數(shù)k滿足k2>（Re表示實(shí)部，Im表示虛部），同時(shí) minμ∈ρ(F)Reμ≠0，其中 ρ(F )表示n×n矩陣F的所有特征值。此時(shí)，maxθ∈ρ(Q)Reθ<0當(dāng)且僅當(dāng)F為正穩(wěn)定矩陣即F的所有特征值都具有正實(shí)部。

證明 根據(jù)矩陣論知識(shí)可以得到det(θ I2n-Q)=，其中θ表示Q的特征值。

充分性：首先當(dāng)θ=0時(shí)，根據(jù)Laplace定理可知det(F)=0而這與F為正穩(wěn)定矩陣相矛盾。其次，當(dāng)θ ≠0時(shí)，det(θ I2n-Q)=det(θ (θ +k) In+F)=0即-θ(θ +k)是矩陣F的特征值。不失一般性，假設(shè)-θ(θ +k)=μ(μ ∈ρ(F ))。令 θ=θ1+iθ2以及 μ=λ+iη，θ1，θ2，λ，η∈R，存在以下等式：

消去θ2，上式可化為：

由于 根據(jù) Routh-Hurwitz定理知θ1<0 ，所以 maxθ∈ρ(Q)Reθ<0。

必要性：由于 maxθ∈ρ(Q)Reθ<0，對(duì)于式（10）根據(jù)韋達(dá)定理得可知λ>0即F為正穩(wěn)定矩陣。

引理1[15]在拓?fù)鋱DG中節(jié)點(diǎn)0全局可達(dá)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣H=L+B正穩(wěn)定。

定理2誤差系統(tǒng)（5）在固定拓?fù)渲袧u近達(dá)到一致性的充分條件是：（1）通信拓?fù)渲泄?jié)點(diǎn)0全局可達(dá)；（2）控制參數(shù)k滿足，其中 ρ()F表示n×n矩陣F的所有特征值。具體來說有：

4.2 固定時(shí)延編隊(duì)控制分析

定理3控制協(xié)議（6）中的系統(tǒng)控制參數(shù)k滿足k2>且存在常數(shù)

當(dāng) τr<τ0時(shí)誤差系統(tǒng)（8）實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定即

的充分條件是通信拓?fù)鋱D中的節(jié)點(diǎn)0全局可達(dá)。

證明 首先根據(jù)牛頓-萊布尼茲定理可得：

由于并且有：

那么

其中

由Lyapunov定理[16]可知，存在正定矩陣W∈Rn×n滿足

其中E為正定矩陣。

構(gòu)造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)為：

結(jié)合式（13），V()ε的導(dǎo)數(shù)可表達(dá)為：

因?yàn)閷?duì)于任意正定矩陣Φ以及列向量a和b都有±2aTb≤aTΦa+bTΦ-1b，所以式（15）可化作：

安全約束最優(yōu)潮流的實(shí)用模型及故障態(tài)約束縮減方法//郭瑞鵬,邊麟龍,宋少群,余秀月,湯偉,楊鋮//(13):161

由Lyapunov定理[17]可知，當(dāng)τ∈[- τ0,0] 時(shí)，V(ε (t +s))<φ(ε (t) )，令 φ(s)=αs(α >1)，則有：

于是可得當(dāng)：

則(V)

ε<0，由Lyapunov漸近穩(wěn)定定理可知誤差系統(tǒng)（8）實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，定理3得證。

注3主要是對(duì)系統(tǒng)編隊(duì)控制一致性進(jìn)行分析。針對(duì)零時(shí)延情形，根據(jù)矩陣分析與Routh-Hurwitz定理，得到零時(shí)延誤差系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍與通信拓?fù)錆M足的條件?；诹銜r(shí)延情形的基本結(jié)論，構(gòu)造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)，分析得到固定時(shí)延誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的τr的范圍。

5 仿真算例

主要對(duì)本文研究的理論結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。通過MATLAB仿真，實(shí)現(xiàn)異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)在領(lǐng)航跟隨者模式下的編隊(duì)控制。

5.1 參數(shù)初始化

將期望的編隊(duì)隊(duì)形設(shè)置為正方形，初始位置和速度見表1（隨機(jī)設(shè)置）。異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)的通信拓?fù)潢P(guān)系如圖1。

那么，由其通信拓?fù)淇芍悩?gòu)編隊(duì)系統(tǒng)跟隨者模型的Laplacian矩陣L為：

表1 參數(shù)設(shè)置

圖1 通信拓?fù)?/p>

5.2 零時(shí)延編隊(duì)仿真

基于5.1節(jié)的參數(shù)設(shè)置，并且設(shè)控制參數(shù)k=1，此時(shí)利用MATLAB進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

如圖2～4所示，根據(jù)已推導(dǎo)得到的理論，系統(tǒng)中的0節(jié)點(diǎn)機(jī)器人全局可達(dá)且k=1，那么異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制。仿真算例中，異構(gòu)系統(tǒng)的各個(gè)機(jī)器人狀態(tài)由圖例對(duì)應(yīng)表示，圖2表示異構(gòu)多機(jī)器人編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)軌跡，初始位置隨機(jī)給出，當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過15 s，位移超過2 m時(shí)，各個(gè)機(jī)器人到達(dá)表1所示期望相對(duì)位置，正方形隊(duì)形逐漸形成，并在隨后過程中保持編隊(duì)隊(duì)形。圖3表示異構(gòu)多機(jī)器人編隊(duì)在x方向和y方向的位移變化，未形成編隊(duì)前位移相差較大，15 s后逐漸達(dá)到期望位置。圖4則表示了異構(gòu)多機(jī)器人編隊(duì)在x方向和y方向的速度變化，未形成編隊(duì)時(shí)速度變化劇烈，15 s后各個(gè)機(jī)器人x方向和y方向的速度都趨于1 m/s，即速度亦趨于穩(wěn)定、一致。

圖2 異構(gòu)編隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡

5.3 固定時(shí)延編隊(duì)仿真

基于5.1節(jié)的參數(shù)設(shè)置，并且設(shè)控制參數(shù)k=1.5，此時(shí)利用MATLAB進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

圖3 x方向和y方向的位置變化曲線

圖4 x方向和y方向的速度變化曲線

如圖5～7所示，根據(jù)定理3可知時(shí)延上界為τ0=0.356，考慮選取 τ10=τ30=τ1=0.1，τ12=τ43=τ2=0.2，τ23=τ3=0.3，系統(tǒng)中的0節(jié)點(diǎn)機(jī)器人全局可達(dá)且控制參數(shù)k=1.5，此種情況下異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)最終能夠?qū)崿F(xiàn)編隊(duì)控制。仿真算例中，異構(gòu)系統(tǒng)的各個(gè)機(jī)器人狀態(tài)由圖例對(duì)應(yīng)表示，圖5表示異構(gòu)多機(jī)器人編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過20 s，位移超過3.5 m時(shí)，各個(gè)機(jī)器人到達(dá)表1所示期望相對(duì)位置，正方形隊(duì)形逐漸形成，并保持隊(duì)形繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。圖6表示機(jī)器人編隊(duì)系統(tǒng)在x方向和y方向的位移變化情況，圖7則表示機(jī)器人編隊(duì)在x方向和y方向的速度變化，20 s后各個(gè)機(jī)器人的x方向和y方向的速度都趨于1 m/s，相較于圖4可以發(fā)現(xiàn)，固定時(shí)延時(shí)機(jī)器人的速度前期變化更為劇烈，并且需要更多的時(shí)間實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定和一致。

圖5 機(jī)器人編隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖6 x方向和y方向的位置變化曲線

圖7 x方向和y方向的速度變化曲線

6 結(jié)論

本文研究了異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)相互通信時(shí)延的編隊(duì)精確控制問題。首先，考慮零時(shí)延與固定時(shí)延兩種情況，為降低同時(shí)對(duì)不同階機(jī)器人進(jìn)行編隊(duì)控制一致性分析的難度，對(duì)領(lǐng)航跟隨者模式的異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)提出線性一致性控制協(xié)議。然后，根據(jù)矩陣分析與Routh-Hurwitz定理，得到零時(shí)延系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制的充要條件。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)，分析得到固定時(shí)延系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制的充分條件。最后，通過兩個(gè)仿真算例，表明本文所得結(jié)論的正確性和有效性。

[1]Li Z J，Li J X，Kang Y.Adaptive robust coordinated control of multiple mobile manipulators interacting with rigid environments[J].Acta Automatica Sinica，2010，46（12）：2028-2034.

[2]Abdessameud A，Tayebi A.Formation control of VTOL unmanned aerial vehicles with communication delays[J].Acta Automatica Sinica，2011，47（11）：2383-2394.

[3]Smith R S，Hadaegh F Y.Control of deep-space formationflying spacecraft relative sensing and switched information[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2009，28（1）：106-114.

[4]Jadbabaie A，Lin J，Morse A.Coordination of groups of mobile autonomous Agents using nearest neighbor rules[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（6）：988-1001.

[5]Jiang H，Yu J J，Zhou C.Consensus of multi-agent linear dynamic systems via impulsive control protocols[J].International Journal of Systems Science，2011，42（6）：967-976.

[6]閔海波，劉源，王仕成，等.多個(gè)體協(xié)調(diào)控制問題綜述[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2012，38（10）：1557-1570.

[7]王祥科，李迅，鄭志強(qiáng).多智能體系統(tǒng)編隊(duì)控制相關(guān)問題研究綜述[J].控制與決策，2013，28（11）：1601-1613.

[8]Liu K，Xie G M，Wang L.Containment control for secondorder multi-agent systems with time-varying delays[J].System&Control Letters，2014：24-31.

[9]Zhong Z Z，Sun L，Wang J C，et al.Consensus for firstand second-order discrete-time multi-agent systems with delays based on model predictive control schemes[J].Circuits System Signal Process，2015，34（1）：127-152.

[10]Xi J，Shi Z，Zhong Y.Consensus analysis and design for high-order linear swarm systems with time-varying delays[J].Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2011，390（23/24）：4114-4123.

[11]Zheng Y，Zhu Y，Wang L.Consensus of heterogeneous multi-agent systems[J].IET Control Theory and Applications，2011，16（5）：1881-1888.

[12]Kim J M，Park J B，Choi Y H.Leaderless and leaderfollowing consensus for heterogeneous multi-agent systems with random link failures[J].IET Control Theory and Applications，2014，8（1）：51-60.

[13]Liu C，Liu F.Stationary consensus of heterogeneous multi-agent systems with bounded communication delays[J].Acta Automatica Sinica，2011，49（9）：2130-2133.

[14]孫一杰，張國(guó)良，張勝修.一類異構(gòu)多智能體系統(tǒng)一致性協(xié)議的收斂性分析[J].控制理論與應(yīng)用，2011，31（11）：1524-1529.

[15]Ghabcheloo R，Aguiar A，Pascoal A，et al.Synchronization in multi-agent systems with switching topologies and non-homogeneouscommunication delays[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Decision and Control，2007.

[16]Xie T T，Liao X F，Li H Q.Leader-following consensus in second-order multi-agent systems with input time delay：An event-triggered sampling approach[J].Neurocomputing，2015，9（4）：130-135.

[17]Horn R A，Johnson C R.Topics in matrix analysis[M].New York：Cambridge University，1994：37-44.