基于Taylor級數(shù)軌跡靈敏度的動態(tài)安全域求解

夏世威,白雪峰,陳士麟,郭志忠,徐 英

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程系,黑龍江 哈爾濱 150001；2. 臺灣中原大學(xué) 電機(jī)系,臺灣 桃園 30013；3. 華北電網(wǎng)有限公司 華北電力調(diào)度通信中心，北京 100053)

0 引言

相較于逐點判斷穩(wěn)定性的時域仿真法[1-2]，動態(tài)安全域(DSR)是判斷系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的另一方法。DSR是針對特定故障定義在注入功率空間上的功率集合[3]，若某功率注入向量在DSR內(nèi)，則系統(tǒng)在經(jīng)歷了既定故障后能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則失穩(wěn)。在實際運用中，對DSR進(jìn)行離線計算，并進(jìn)行在線匹配，依據(jù)注入是否位于安全域內(nèi)快速判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且根據(jù)距離穩(wěn)定域邊界的距離給出穩(wěn)定裕度，因此運行人員能夠獲得更為直觀的穩(wěn)定程度和輔助控制決策信息。

DSR的計算方法主要有擬合法和解析法。擬合法通過對系統(tǒng)進(jìn)行大量的仿真計算，得到足夠多的系統(tǒng)臨界運行點，繼而利用最小二乘方法擬合得到DSR的邊界超平面。文獻(xiàn)[4]采用擬合法對華中電網(wǎng)求取了描述各節(jié)點注入功率上、下限的垂直于坐標(biāo)軸的平面和暫態(tài)穩(wěn)定性臨界點構(gòu)成的超平面，并初步證實了其有效性。為了改進(jìn)擬合法計算量大、耗時長的缺陷，有研究通過擬合降維的動態(tài)等值系統(tǒng)的臨界超平面，然后逆動態(tài)等值還原并修正得到原系統(tǒng)的超平面系數(shù)[5]。文獻(xiàn)[6]通過截距法進(jìn)一步減少了臨界穩(wěn)定點的搜索數(shù)量和搜索難度，取得了較好的效果。另一方面，有學(xué)者研究得到了DSR的實用解析法。文獻(xiàn)[7]將溢出點的暫態(tài)穩(wěn)定域邊界法矢量近似為常數(shù)，依據(jù)在臨界注入下該法矢量與事故后系統(tǒng)軌跡切向量的正交性，推導(dǎo)了DSR邊界的表達(dá)式。文獻(xiàn)[8-9]提出了全域?qū)嵱媒馕龇?，先確定一個基本臨界注入點，繼而在基本臨界注入點處對事故前、事故中和事故后的系統(tǒng)進(jìn)行功率小擾動分析，從而獲得安全域邊界超平面的解析式，該方法的弊端是需要迭代求解主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點，而該平衡點的求解本身就很復(fù)雜且存在收斂性問題。文獻(xiàn)[10]基于能量裕度，借助功率擾動分析的方法推導(dǎo)了DSR的實用判據(jù)，并簡單分析了單機(jī)無窮大母線系統(tǒng)的穩(wěn)定域，但對復(fù)雜的多機(jī)系統(tǒng)并未分析。無論是擬合法或是解析法求解DSR，都至少需要計算1個臨界功率點，而以上文獻(xiàn)中均是采用數(shù)值仿真法得到臨界功率點，即采用正交表控制功率增長方向試探得到臨界功率點或在穩(wěn)定與不穩(wěn)定功率點之間連線進(jìn)而采用二分法求得臨界功率注入點，顯然這種臨界功率點的求解基本是試探式的時域仿真判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此效率較低。

軌跡靈敏度法[11-12]為臨界點的快速求取提供了堅實的基礎(chǔ)，其本質(zhì)為一組描述控制變量導(dǎo)數(shù)的微分方程，因此改進(jìn)軌跡靈敏度微分方程求解效率也頗為重要。文獻(xiàn)[13-14]已證明高階Taylor級數(shù)法可以極大提高暫態(tài)穩(wěn)定分析效率，因此本文進(jìn)一步挖掘高階Taylor技術(shù)，推導(dǎo)軌跡靈敏度的高階Taylor級數(shù)遞推求解形式；基于勢能界面(PEBS)法的能量函數(shù)表達(dá)式和高階Taylor級數(shù)軌跡靈敏度方法，計算能量裕度靈敏度從而迭代求解臨界功率注入點；采用功率臨界點的能量裕度靈敏度，快速求取電力系統(tǒng)有功功率注入空間上的DSR。

1 電力系統(tǒng)的實用DSR

文獻(xiàn)[3-10]展現(xiàn)了電力系統(tǒng)DSR是Rn空間上的超多面體，它由描述各節(jié)點決策變量上、下限的垂直于坐標(biāo)軸的平面和描述暫態(tài)穩(wěn)定臨界點的超平面圍成。當(dāng)系統(tǒng)無功功率就地平衡時，有功功率改變對電壓水平影響很小，只考慮有功注入空間上的DSR超平面為[6-9]：

(1)

其中，n為注入節(jié)點數(shù)；ai為超平面方程的系數(shù)；Pmi為節(jié)點有功功率。在DSR內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定，在此區(qū)域外系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。本文采用能量裕度靈敏度方法求取電力系統(tǒng)實用DSR。

2 能量裕度靈敏度分析

(2)

(3)

(4)

(5)

由Cij=EiEjBij、Dij=EiEjGij得：

(6)

(7)

一般情況下，當(dāng)機(jī)組有功出力調(diào)整引起系統(tǒng)運行點變化不劇烈時，系統(tǒng)網(wǎng)損變化很小或近似不變，機(jī)組機(jī)械注入功率變化引起的不平衡功率由平衡機(jī)組承擔(dān)，因此由發(fā)電機(jī)z機(jī)械功率變化引起的發(fā)電機(jī)i的注入網(wǎng)絡(luò)有功功率變化為：

(8)

將PEBS能量函數(shù)法運用于復(fù)雜模型時，可以考慮發(fā)電機(jī)的高階模型、勵磁系統(tǒng)動態(tài)模型、HVDC模型和負(fù)荷特性，此時的能量函數(shù)較復(fù)雜，系統(tǒng)的動能表達(dá)不變，但系統(tǒng)總勢能包含了隨電壓變化的有功、無功負(fù)荷勢能以及發(fā)電機(jī)電抗和線路中的磁能[14-16]。最終能量裕度的靈敏度都依賴于系統(tǒng)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，可以運用類似上述過程得出。

3 Taylor級數(shù)軌跡靈敏度計算

3.1 Taylor級數(shù)求解軌跡靈敏度分析

進(jìn)行靈敏度分析時，需要計算系統(tǒng)狀態(tài)量對控制量的偏導(dǎo)數(shù)隨時間的變化情況。式(2)對控制變量第z臺發(fā)電機(jī)有功功率Pmz求導(dǎo)得：

(9)

由于本文采用的是經(jīng)典二階模型，內(nèi)電勢對有功偏導(dǎo)為常數(shù),而功角對有功偏導(dǎo)、轉(zhuǎn)速對有功偏導(dǎo)是時間的函數(shù)，可通過Euler法、隱式梯形法求解軌跡靈敏度微分方程式(9)獲得,本文采用高階Taylor級數(shù)法求解式(9)(見3.3節(jié))。對于采用復(fù)雜的發(fā)電機(jī)模型，內(nèi)電勢為狀態(tài)變量且隨時間變化，須通過復(fù)雜模型的暫態(tài)穩(wěn)定微分方程求解；此時內(nèi)電勢對有功偏導(dǎo)也為隨時間變化的狀態(tài)量，在通過穩(wěn)態(tài)求得內(nèi)電勢對有功偏導(dǎo)的初值后，通過類似的軌跡靈敏度微分方程求解，過程和本文相似。靈敏度方程式(9)實質(zhì)為微分方程，需計算微分方程初值，第一式的初值較復(fù)雜見3.2節(jié)，而第二式的初值為0。

3.2 軌跡靈敏度初值計算

在n節(jié)點系統(tǒng)中，設(shè)有m個PQ節(jié)點和n-m-1個PV節(jié)點，由潮流方程得發(fā)電機(jī)端口的有功和無功分別為：

(10)

(11)

令節(jié)點電壓相量為Y=[δ1,δ2,…,δn-1,V1,V2,…,Vm]T，控制變量為U,則上式可簡記為：

G(Y,U)=0

(12)

將式(12)等號左右兩邊同時對控制變量求偏導(dǎo)得：

(13)

其中，GU、GY分別為潮流方程對控制變量和代數(shù)變量的導(dǎo)數(shù)，GY實質(zhì)是潮流計算的雅可比矩陣如式(14)所示。

(14)

當(dāng)控制變量U為第z臺發(fā)電機(jī)有功功率Pmz時，有：

(15)

式(15)中元素1所在位置為第z臺發(fā)電機(jī)有功功率Pmz所在的節(jié)點。

(16)

將式(16)中電流用節(jié)點有功和無功代替得：

(17)

整理得：

(18)

(19)

將式(10)、(11)代入式(18)、(19)得到：

fi1=Eicosθi-Vicosδi+

(20)

fi2=Eisinθi-Visinδi-

(21)

令X=[E1,θ1,E2,θ2,…,Ek,θk]T，k為n節(jié)點系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)臺數(shù)，則系統(tǒng)中所有發(fā)電機(jī)形如式(20)、(21)的等式方程可簡記為：

F(X,Y)=[F1,F2,…,Fi,…,Fk]=0

(22)

其中，F(xiàn)i=[fi1,fi2]T。式(22)對U全微分得：

(23)

將式(13)代入式(23)得：

(24)

a.FX計算。

(25)

由式(20)、(21)易得：

因此式(25)是分塊對角陣，對角線元素為對應(yīng)節(jié)點的功率平衡方程對狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)。

b.FY計算。

(26)

由式(20)、(21)得下面2種導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。

當(dāng)i=j時，表達(dá)式為：

當(dāng)i≠j時，表達(dá)式為：

?Fi/?δj=[AB]T

?Fi/?Vj=[CD]T

cosδi(Gijcosδij+Bijsinδij)]

cosδi(Bijcosδij-Gijsinδij)]

cosδi(Gijsinδij-Bijcosδij)]

sinδi(Gijsinδij-Bijcosδij)]

因此式(26)為所有元素均非零的矩陣。將式(14)、(15)、(25)、(26)代入式(24)得到：

(27)

式(27)的物理意義為當(dāng)?shù)趜臺發(fā)電機(jī)有功功率Pmz變化時引起的狀態(tài)變量(發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢幅值和相角)的變化量。上式也是軌跡靈敏度分析的基礎(chǔ)，為軌跡靈敏度微分方程式(9)中的第一式提供初值。

3.3 高階Taylor級數(shù)軌跡靈敏度計算

式(9)兩邊分別對時間t求導(dǎo)，式(9)中第一部分高階導(dǎo)數(shù)為0，因此得：

(28)

可以看出式(28)的高階導(dǎo)數(shù)取決于A(m-2)、B(m-2)的求取。記：

(29)

則有：

(30)

由牛頓二項式公式得到：

(31)

于是A(m-2)計算如下：

(32)

(33)

圖1 軌跡靈敏度高階導(dǎo)數(shù)依存關(guān)系Fig.1 Relationship among higher-order derivatives of trajectory sensitivity

4 能量裕度求取功率臨界點

注入空間上動態(tài)安全分析臨界點的判據(jù)為：對于給定事故及切除時間，若在注入I下，事故后系統(tǒng)保持暫態(tài)穩(wěn)定；而當(dāng)注入變?yōu)镮+ΔI時，事故后系統(tǒng)失去穩(wěn)定，則注入I即為臨界注入點。此時，臨界點的精確度與在臨界點附近的搜索步長ΔI的大小密切相關(guān)，須滿足ΔI小于給定誤差精度。大部分文獻(xiàn)采用正交表控制功率增長方向，結(jié)合固定步長試探法或穩(wěn)定與不穩(wěn)定功率點之間二分法求得臨界功率注入點，可見此過程比較費事。而當(dāng)穩(wěn)定裕度靈敏度已知時，很容易采用迭代的方式快速求得臨界功率注入點，相比于固定步長試探法或二分法更快捷。

以下結(jié)合能量裕度靈敏度來求解臨界功率注入點。設(shè)功率為P=[Pm1,Pm2,…,Pmk]T時，能量裕度為ΔV0，則臨界點的功率滿足：

(34)

若參與出力調(diào)整的機(jī)組的功率變化量大小按機(jī)組額定容量的比例進(jìn)行調(diào)整，功率調(diào)整方向按能量裕度靈敏度正負(fù)確定，則有：

(35)

其中，SiN為第i臺機(jī)組的額定容量。

式(34)、(35)包含k個方程，與功率變化量個數(shù)相同，因此可得到下一次更精確的臨界功率注入點。經(jīng)過多次迭代之后，便可求得準(zhǔn)確的功率臨界點。該臨界功率的精度可以由能量裕度ΔV0來保證，即ΔV0足夠小時，即認(rèn)為找到滿足要求的臨界功率注入點。同時注意到，相比于原描述系統(tǒng)的動態(tài)微分方程，應(yīng)用本文的能量裕度靈敏度求取臨界點添加了靈敏度的微分方程求解，在一定程度上增加了計算復(fù)雜性和計算量，但提出的Taylor級數(shù)法的大步長提高了計算效率。同時相比于以往試探的二分法式的時域仿真?zhèn)鹘y(tǒng)方法，本文方法只需要較少次數(shù)的迭代便可求得臨界點，因此明顯減少了計算量。特別對于大系統(tǒng)而言，試探性的二分法有更多組合式的功率增長方向和試探次數(shù)，會產(chǎn)生巨大的計算量甚至不可能得到臨界點。本文采用的能量裕度靈敏度只需經(jīng)過較少次數(shù)的迭代即可求得臨界點。

5 能量裕度的DSR分析

(36)

表1 New England系統(tǒng)能量裕度靈敏度及臨界點
Table 1 Energy margin sensitivity and critical power for New England power system

有問題有問題有問題有問題迭代次數(shù)參數(shù)PG30PG31PG32PG33PG34PG35PG36PG37PG38PG39裕度1功率2.505.71846.506.325.086.505.605.408.3010.00靈敏度0.7839-0.1817-0.1988-2.0496-1.5504-1.9186-2.11630.3744-0.24251.13903.39412功率2.36924.70596.84016.65075.34586.84015.89305.11758.73439.4768靈敏度0.33870.2205-0.3838-2.2584-1.8068-2.1240-2.30200.0190-0.62060.57130.53033功率2.34914.55096.89266.70175.38686.89265.93825.07398.80139.3961靈敏度0.29220.2454-0.3928-2.2387-1.8005-2.1063-2.2793-0.0126-0.64660.51080.0906DSR系數(shù)-0.0054-0.00450.00720.04100.03300.03860.04170.00020.0118-0.0094

表2 New England系統(tǒng)DSR有效性檢驗Table 2 Validity test of DSR for New England power system

注：S與U分別表示系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定與不穩(wěn)定。

(37)

由上述能量裕度靈敏度得到的超平面方程只是DSR邊界估計，為評價超平面準(zhǔn)確度，采用臨界點Xj=[xj1,xj2,…,xjk]到超平面的距離與臨界點自身的模值的比值來量化誤差[8-9]，如式(38)所示。

(38)

6 算例分析

算例采用New England 10機(jī)39節(jié)點系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)參見文獻(xiàn)[17]，本節(jié)計算結(jié)果中機(jī)組功率均為基準(zhǔn)功率100MW下的標(biāo)幺值。所分析的DSR對應(yīng)的故障為：線路15-16靠近節(jié)點15處發(fā)生三相接地故障，在0.2s切除故障線路。臨界點的能量裕度誤差取為0.1，即當(dāng)系統(tǒng)在某一功率向量下，能量裕度0<Δv<0.1時，此功率向量便是臨界功率?？梢愿鶕?jù)功率臨界點精度要求，選取不同的能量裕度誤差閾值。本文中選擇0.1已經(jīng)足夠精確。初始功率取為該系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)功率，表1給出了采用靈敏度方法求得的系統(tǒng)臨界點，表中PGi表示接在系統(tǒng)中節(jié)點i處的機(jī)組?？梢钥闯?，采用能量靈敏度的方法只需要3次迭代便可以得到臨界功率點，相比于采用二分法或是試探的方法，更簡潔快速，需要的計算量顯著減小。

表1最后一行給出了DSR的系數(shù)。采用本文方法快速求出了512個功率臨界點，由式(38)求得最大誤差為0.45%?？梢钥闯鲈撜`差較小，證明了本文方法的有效性。表2進(jìn)一步通過時域仿真法驗證了本文求出的DSR的效果。當(dāng)∑aiPmi接近于1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，時域仿真法求出的臨界切除時間(CCT)為0.2s，與故障設(shè)定的切除時間相同。當(dāng)∑aiPmi<1時，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度較大，臨界切除時間大于0.2s；當(dāng)∑aiPmi>1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，臨界切除時間小于0.2s，且∑aiPmi越大，臨界切除時間越小，系統(tǒng)越不穩(wěn)定。為進(jìn)一步證明本文方法的有效性，表3給出了更多故障條件下的DSR系數(shù)及對大量臨界點的誤差檢驗，表中不同故障條件下的誤差分布在7%以內(nèi)，且大部分在1%左右，證實了能量靈敏度DSR方法的有效性。

表3 New England系統(tǒng)DSR系數(shù)
Table 3 Coefficients of DSR for New England power system

故障支路故障清除時刻/sDSR系數(shù)PG30PG31PG32PG33PG34PG35PG36PG37PG38PG39誤差/%25?-260.22-0.0187-0.00010.00100.00460.00430.00540.00530.12710.0347-0.00740.276?-110.250.0235-0.0139-0.00550.01940.02000.01940.01920.02200.02040.02670.661?-20.200.0268-0.00480.00790.02720.01520.02930.02960.06150.0832-0.11424.252?-250.20-0.0426-0.00060.00330.01350.00930.01490.01820.08000.0602-0.02190.483?-40.20-0.09260.03820.04460.03770.01560.04240.0584-0.01470.0877-0.13216.763?-180.20-0.09680.03030.04280.04380.02010.06090.0698-0.05360.0778-0.11916.334?-50.200.0241-0.01660.00890.01960.02020.01960.01940.02250.02110.02650.494?-140.200.0240-0.01660.00990.01990.02030.01980.01960.02250.02140.02560.355?-60.200.0214-0.01310.01070.01960.01980.01950.01950.02070.02020.02270.115?-80.200.0214-0.01330.01160.01960.01980.01970.01950.02070.02020.02260.126?-70.200.0211-0.01260.01140.01940.01960.01940.01940.02050.02000.02230.107?-80.220.0216-0.01560.01250.02000.02020.02000.01990.02100.02070.02310.198?-90.220.0217-0.01420.00890.01940.01980.01940.01930.02080.02030.023109?-390.220.0243-0.02520.01460.02230.02280.02230.02220.02380.02350.02681.0710?-110.220.0328-0.0192-0.05400.02650.02720.02650.02630.03070.02880.03610.3910?-130.220.0305-0.0186-0.04310.02500.02540.02500.02480.02860.02700.03410.5013?-140.220.0359-0.0202-0.06600.02670.02760.02690.02640.03280.03010.04150.3914?-150.220.0296-0.0197-0.01580.02070.02170.02090.02040.02690.02540.03350.4816?-170.25-0.20960.1639-0.03570.22110.13740.20070.2464-0.09400.0458-0.28140.2016?-210.25-0.09490.0713-0.01580.13350.08580.11030.1305-0.03590.0293-0.12980.4516?-240.25-0.02790.0137-0.00140.07300.06800.05050.0588-0.00700.0167-0.03631.1017?-180.25-0.04370.0241-0.00110.05950.04630.05110.0577-0.00410.0539-0.05671.9317?-270.25-0.02910.01360.00150.05250.04160.04670.0517-0.00050.0431-0.03932.4221?-220.25-0.01580.0087-0.00270.04000.02530.08540.0873-0.00690.0039-0.02442.0122?-230.24-0.0032-0.0030-0.00050.00780.00760.10000.0655-0.00150.0008-0.00410.3523?-240.24-0.0042-0.0022-0.00120.00770.00850.05990.1276-0.00240.0010-0.00560.9526?-270.24-0.01070.0041-0.00160.00290.00190.00270.0023-0.00280.1576-0.01060.3426?-280.24-0.01390.0101-0.00440.0002-0.0005-0.0011-0.0020-0.00400.1793-0.01530.7526?-290.24-0.02960.0373-0.0175-0.0100-0.0133-0.0088-0.0081-0.01550.2150-0.03230.8128?-290.24-0.00330.0042-0.0015-0.0003-0.0004-0.0007-0.0010-0.00170.1720-0.00420.6412?-110.240.0271-0.03200.01500.02520.02550.02520.02510.02670.02630.02881.1712?-130.240.0275-0.03210.01310.02550.02570.02550.02540.02720.02670.02911.12

注：i*-j為零時刻三相接地短路故障發(fā)生在支路i*-j靠近節(jié)點i，該支路在故障清除時刻被切除以移除故障。

7 結(jié)論

本文結(jié)合Taylor級數(shù)法推導(dǎo)了軌跡靈敏度的高階Taylor級數(shù)表達(dá)形式?；赑EBS法的能量函數(shù)表達(dá)式和高階Taylor級數(shù)軌跡靈敏度方法計算了能量裕度靈敏度，從而簡單快捷地求解了臨界功率注入點。同時利用功率臨界點的能量裕度靈敏度數(shù)值，得到了電力系統(tǒng)有功功率注入空間上的DSR。New England 10機(jī)39節(jié)點系統(tǒng)仿真結(jié)果表明基于Taylor級數(shù)軌跡靈敏度可以快速計算功率臨界點，同時驗證了求得的DSR是有效的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蔣長江,劉俊勇,劉友波,等. 計及風(fēng)電隨機(jī)激勵的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析[J]. 電力自動化設(shè)備,2016,36(3)：100-108.

JIANG Changjiang,LIU Junyong,LIU Youbo,et al. Transient stability analysis of power system considering wind-power stochastic exci-tation[J]. Electric Power Automation Equipment,2016,36(3)：100-108.

[2] 馬靜,高翔,李益楠,等. 考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J]. 電力自動化設(shè)備,2016,36(8)：26-32.

MA Jing,GAO Xiang,LI Yinan,et al. Stability analysis considering time-varying wind speed for power system with multiple operating conditions[J]. Electric Power Automation Equipment,2016,36(8)：26-32.

[3] 馮飛,余貽鑫. 電力系統(tǒng)功率注入空間的動態(tài)安全域[J].中國電機(jī)工程學(xué)報,1993,13(3)：14-22.

FENG Fei,YU Yixin. Dynamic security regions of power system in injection spaces[J]. Proceedings of the CSEE,1993,13(3)：14-22.

[4] 曾沅,樊紀(jì)超,余貽鑫,等. 電力大系統(tǒng)實用動態(tài)安全域[J]. 電力系統(tǒng)自動化,2001,25(16)：6-10.

ZENG Yuan,FAN Jichao,YU Yixin,et al. Practical dynamic security regions of bulk power systems[J]. Automation of Electric Power Systems,2001,25(16)：6-10.

[5] 侯科峰,余貽鑫,Stephen T Lee,等. 電力系統(tǒng)實用動態(tài)安全域的降維與還原[J]. 電力系統(tǒng)自動化,2004,28(23)：16-21.

HOU Kefeng,YU Yixin,Stephen T Lee,et al. Reduction and reconstruction of power system practical dynamic security region[J]. Automation of Electric Power Systems,2004,28(23)：16-21.

[6] 馮兆飛,余貽鑫,曾沅,等. 確定電力系統(tǒng)實用動態(tài)安全域的截距法[J]. 電網(wǎng)技術(shù),2006,30(6)：18-22.

FENG Zhaofei,YU Yixin,ZENG Yuan,et al. An intercept method for determining practical dynamic security regions of power systems[J]. Power System Technology,2006,30(6)：18-22.

[7] 曾沅,余貽鑫. 電力系統(tǒng)動態(tài)安全域的實用解法[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報,2003,23(5)：24-28.

ZENG Yuan,YU Yixin. A practical direct method for determining dynamic security regions of electrical power systems[J]. Procee-dings of the CSEE,2003,23(5)：24-28.

[8] 曾沅，余貽鑫，賈宏杰,等. 基于有功功率小擾動分析的動態(tài)安全域求解[J]. 電力系統(tǒng)自動化，2006,30(20)：5-9.

ZENG Yuan,YU Yixin,JIA Hongjie,et al. Computation of dynamic security region based on active power perturbation analysis[J]. Automation of Electric Power Systems,2006,30(20)：5-9.

[9] ZENG Yuan,YU Yixin,JIA Hongjie,et al. Computing practical dynamic security region by technology of power sensitivity analysis[J]. Journal of Tianjin University，2006,39：77-82.

[10] 曾沅,余貽鑫,王紅梅,等. 電力系統(tǒng)注入空間上的實用動態(tài)安全判據(jù)[J]. 天津大學(xué)學(xué)報,2007,40(2)：173-177.

ZENG Yuan,YU Yixin,WANG Hongmei,et al. Practical dynamic security criterion in power injection space of electrical power systems[J]. Journal of Tianjin University,2007,40(2)：173-177.

[11] HISKENS I A,PAI M A. Trajectory sensitivity analysis of hybrid systems[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems-I,2000,47(2)：204-220.

[12] HISKENS I A,PAI M A. Power system applications of trajectory sensitivities[C]∥Proceedings of IEEE Power Engineering Society Winter Meeting. New York,USA：[s.n.],2002：1200-1205.

[13] 郭志忠，柳焯. 快速高階 Taylor 級數(shù)法暫態(tài)穩(wěn)定計算[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報,1991,11(3)：7-15.

GUO Zhizhong,LIU Zhuo. Fast transient stability simulation by higher order Taylor series expansions[J]. Proceedings of the CSEE,1991,11(3)：7-15.

[14] 郭志忠. 發(fā)電機(jī)功角的二項式導(dǎo)數(shù)遞推規(guī)律[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報,2005,25(16)：147-152.

GUO Zhizhong. The binomial derivative recursion laws of generator’s power and angle[J]. Proceedings of the CSEE,2005,25(16)：147-152.

[15] 倪以信,陳壽孫,張寶霖. 動態(tài)電力系統(tǒng)的理論和分析[M]. 北京：清華大學(xué)出版社,2002：188-191.

[16] 傅書逷,倪以信,薛禹勝. 直接法穩(wěn)定分析[M]. 北京：中國電力出版社,1999：73-92.

[17] ZI MMERMAN R,CARLOS E M,GAN D. MATPOWER version 3.1b2：a matlab power system simulation package[EB/OL]. (2011-03-10)[2017-09-02]. http：∥www.pserc.cornell.edu∥matpower/.