我國(guó)數(shù)學(xué)課程一直將數(shù)的運(yùn)算作為小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的“運(yùn)算能力”，說(shuō)明運(yùn)算能力是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程背景下重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要保證。基于此，教師和學(xué)生都非常重視計(jì)算能力的培養(yǎng)和提高。但實(shí)踐中，教師與學(xué)生理解及達(dá)成的情況如何呢？我們對(duì)學(xué)生的計(jì)算水平、計(jì)算習(xí)慣等進(jìn)行調(diào)查分析，并深入課堂對(duì)教師的計(jì)算教學(xué)做了進(jìn)一步觀察剖析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前教師和學(xué)生對(duì)于計(jì)算教與學(xué)存在理解上的誤區(qū)和不足，主要表現(xiàn)在以下三個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題一：教師和學(xué)生對(duì)計(jì)算意義的認(rèn)識(shí)過(guò)于狹隘。學(xué)生眼中的運(yùn)算，大多是枯燥的計(jì)算，容易忽視計(jì)算學(xué)習(xí)中推理、比較、轉(zhuǎn)化、遷移思想的滲透，以及各個(gè)年段計(jì)算教學(xué)內(nèi)容方法的銜接。

問(wèn)題二：教師不知如何把握算理理解的方式和時(shí)機(jī)。教師認(rèn)識(shí)到理解算理對(duì)于學(xué)生掌握計(jì)算方法有著重要作用，但實(shí)踐教學(xué)中卻不知如何把握算理理解的方式和時(shí)機(jī)，想面面俱到卻顧此失彼。

問(wèn)題三：教師在課堂上缺少學(xué)生內(nèi)化計(jì)算法則的時(shí)間。在學(xué)生呈現(xiàn)多樣化的算法時(shí)，教師往往急于優(yōu)化（哪種方法好？你最喜歡哪種方法？）但為什么這種方法好？其它方法不好在哪里？它們之間有什么聯(lián)系？往往缺乏聯(lián)系溝通。

近幾年，針對(duì)以上教與學(xué)的問(wèn)題，筆者帶領(lǐng)江岸區(qū)一線教師著力開(kāi)展計(jì)算教學(xué)實(shí)踐研究，取得了一定成效。“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”是人教版義務(wù)教育教科書六年級(jí)上冊(cè)第3單元第30頁(yè)例1的教學(xué)內(nèi)容，它屬于數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，也是小學(xué)階段學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的最后一個(gè)單元。因此，本單元的教學(xué)在計(jì)算教學(xué)中具有舉足輕重的地位。筆者就以這節(jié)課為例，談?wù)勎覀冊(cè)谟?jì)算教學(xué)中的幾點(diǎn)做法。

一、以知識(shí)包為載體，注重知識(shí)的遷移類推，凸顯運(yùn)算意義

學(xué)生在計(jì)算中的困難和錯(cuò)誤往往與其對(duì)數(shù)和運(yùn)算的意義理解不深有關(guān)系，而他們對(duì)運(yùn)算意義及方法的理解也不是一蹴而就的。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，各部分知識(shí)組成了一個(gè)縱橫交錯(cuò)、緊密聯(lián)系的網(wǎng)。美國(guó)獨(dú)立學(xué)者馬立平博士的《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》中這樣描述：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的知識(shí)包揭示了教師對(duì)開(kāi)啟和培養(yǎng)學(xué)生頭腦中這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過(guò)程的理解?！比私躺缤跤来褐魅卧凇缎W(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)改革的有效探索》一文中指出：“每一個(gè)新知識(shí)都是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展的，要善于運(yùn)用類比推理和比較差異的思想方法進(jìn)行新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，達(dá)到觸類旁通、方法遷移的目的?！币虼耍⒃趯?duì)知識(shí)及知識(shí)間的關(guān)系深刻理解的基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)才是穩(wěn)固豐富的。有思想深度的課，能使學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方法長(zhǎng)存，有助于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

基于此，在這節(jié)課上，我們呈現(xiàn)了“數(shù)的運(yùn)算知識(shí)樹(shù)”，提供“整數(shù)除法的意義、計(jì)算方法及學(xué)習(xí)方法”“小數(shù)除法的意義、計(jì)算方法及學(xué)習(xí)方法”等知識(shí)包，喚起學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的回憶，從而運(yùn)用同樣的思路和方法開(kāi)展“分?jǐn)?shù)除法”的學(xué)習(xí)。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶第一單元“分?jǐn)?shù)乘法”的學(xué)習(xí)方法，例如舉例子、利用長(zhǎng)方形折涂等方法來(lái)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是螺旋上升的，我們可以借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)同類別的新知。這樣的教學(xué)，不是就計(jì)算講計(jì)算，而是將計(jì)算學(xué)習(xí)的橫縱聯(lián)系、思維脈絡(luò)清晰地展現(xiàn)，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，既是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，又是學(xué)習(xí)能力、方法的滲透，更是不可小覷的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

二、數(shù)形結(jié)合，架設(shè)算理直觀和算法抽象的橋梁，理解計(jì)算方法

張景中院士認(rèn)為：“計(jì)算和推理是相通的，計(jì)算要有方法，這方法里就體現(xiàn)了推理，即寓理于算的思想；計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算?！庇?jì)算的這個(gè)具體推理，顯然就是算理的理解了。這也是計(jì)算教學(xué)中教師感到棘手的問(wèn)題，不知如何把握算理理解的方式和時(shí)機(jī)，想面面俱到卻經(jīng)常顧此失彼。針對(duì)這些問(wèn)題，我們?cè)诒竟?jié)課中進(jìn)行了嘗試，力求基于學(xué)生的需求解決問(wèn)題，具體表現(xiàn)在：

1.從體會(huì)“分?jǐn)?shù)除法”的意義開(kāi)始理解算理

2.采用多種方式理解算理

在初步理解算理之后，應(yīng)該給予學(xué)生“再次理解”的機(jī)會(huì)。因此，教師要善于選擇多種方式來(lái)幫助學(xué)生更好地理解算理。在這節(jié)課中，我們采取了以下兩種方式。

（1）舉例說(shuō)明

（2）直觀模型

直觀模型是指具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料。這節(jié)課，我們按照教材例1的編排也選擇了長(zhǎng)方形作為直觀模型。這樣，先將“幾分之幾”賦予圖示，再將“除以幾”用圖表示，接下來(lái)將折、涂的過(guò)程用算式來(lái)描述，在操作活動(dòng)中充分發(fā)揮數(shù)與形、形與式的結(jié)合，讓學(xué)生在后面的嘗試計(jì)算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗(yàn)中完成“動(dòng)作思維——形象思維——抽象思維”的發(fā)展過(guò)程，進(jìn)一步理解算理。

（3）已有知識(shí)

在理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的計(jì)算原理時(shí)，要以學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即分?jǐn)?shù)的意義、除法的運(yùn)算意義、除法是乘法的逆運(yùn)算、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法及倒數(shù)的意義為基礎(chǔ)，讓學(xué)生理解“為什么要把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算”“怎樣把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算”，從而將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。同時(shí)，這節(jié)課的算理也將為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”奠定基礎(chǔ)。

三、對(duì)比優(yōu)化，體會(huì)除法轉(zhuǎn)化為乘法的價(jià)值，內(nèi)化計(jì)算法則

針對(duì)問(wèn)題三：有的教師重視讓學(xué)生去探索如何計(jì)算，并在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生理解算理，但是往往忽視了另一個(gè)重要的過(guò)程——計(jì)算法則（或個(gè)體使用方法）的內(nèi)化與形成的教學(xué)現(xiàn)象，我認(rèn)為，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了算法多樣化，對(duì)比優(yōu)化，并且對(duì)于運(yùn)算的道理有所理解后，還需要學(xué)生對(duì)常規(guī)的計(jì)算法則進(jìn)行再熟悉，以達(dá)到內(nèi)化。

本節(jié)課，當(dāng)學(xué)生在計(jì)算分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時(shí)，通常會(huì)出現(xiàn)以下三種計(jì)算方法：

算法的優(yōu)化建立在算法多樣化的基礎(chǔ)上，如果不及時(shí)溝通幾種算法之間的聯(lián)系，草率地牽引到通法上來(lái)，是不符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。因此，在教學(xué)時(shí)，我先讓學(xué)生充分闡述各種方法的道理，找到它們之間的聯(lián)系；然后通過(guò)舉例，比較每種算法的優(yōu)勢(shì)和局限性，例如將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)再計(jì)算的方法，當(dāng)分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)時(shí)計(jì)算就不方便了；用分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)去平均分的方法，當(dāng)分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)不是除數(shù)的整倍數(shù)時(shí)，也不好計(jì)算。最后，學(xué)生通過(guò)比較、分析，進(jìn)而運(yùn)用第三種方法再次計(jì)算自己的算式，發(fā)現(xiàn)將分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，轉(zhuǎn)化為去乘除數(shù)的倒數(shù)這個(gè)計(jì)算方法適用于所有情況，它是計(jì)算的一般方法，由此達(dá)到內(nèi)化。

同時(shí)，在對(duì)比優(yōu)化的過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”產(chǎn)生的價(jià)值。即為什么要把除法轉(zhuǎn)化為乘法？定義倒數(shù)的意義究竟是什么？定義倒數(shù)實(shí)際上是定義了兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，利用這個(gè)關(guān)系可以方便地把除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，而轉(zhuǎn)化的目的就是為了提高運(yùn)算效率。除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，之所以效率會(huì)提高，主要有兩個(gè)原因：一是分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則比較簡(jiǎn)單，而是轉(zhuǎn)化之后乘法的運(yùn)算律可以派上用場(chǎng)。因此，在鞏固提高環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的價(jià)值。

四、教學(xué)感悟及反思

數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，不同領(lǐng)域、不同階段的數(shù)學(xué)知識(shí)在發(fā)展過(guò)程中都形成了獨(dú)特的方法和技巧，我們要以整體的眼光看待數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)深處的聯(lián)系，綜合運(yùn)用知識(shí)和方法提高分析能力和解決問(wèn)題的能力?；诖耍凇胺?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)中，我們用“整體、聯(lián)系”的思想指導(dǎo)教學(xué)，設(shè)計(jì)了“以知識(shí)包為載體，注重知識(shí)的遷移類推，凸顯運(yùn)算意義→數(shù)形結(jié)合，架設(shè)算理直觀和算法抽象的橋梁，理解計(jì)算方法→對(duì)比優(yōu)化，體會(huì)除法轉(zhuǎn)化為乘法的價(jià)值，內(nèi)化計(jì)算法則”的教學(xué)主線，學(xué)生學(xué)習(xí)的整體效果還是很不錯(cuò)的。反思我們教的方式和學(xué)生學(xué)的方式，筆者認(rèn)為還有進(jìn)一步優(yōu)化的空間。

1.理解算理的直觀模型還可更豐富

這節(jié)課，我們按照教材例1的編排也選擇了長(zhǎng)方形作為直觀模型。這樣，先將“幾分之幾”賦予圖示，再將“除以幾”用圖表示，接下來(lái)將折、涂的過(guò)程用算式來(lái)描述，在操作活動(dòng)中充分發(fā)揮數(shù)與形、形與式的結(jié)合，讓學(xué)生在后面的嘗試計(jì)算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗(yàn)中完成“動(dòng)作思維——形象思維——抽象思維”的發(fā)展過(guò)程，進(jìn)一步理解算理。

實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能在長(zhǎng)方形上通過(guò)折、涂、比等活動(dòng)理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算原理。但是，是不是只有長(zhǎng)方形這一種直觀模型能起到“以形反映數(shù)”的作用呢？顯然不是。正方形、圓形、線段圖……都具可操作性。因此，上完課后，我琢磨著，直觀模型可否由學(xué)生自己選擇？當(dāng)他們面對(duì)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的抽象算式時(shí)，對(duì)于理解分?jǐn)?shù)除法的意義產(chǎn)生困難，根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自己選擇長(zhǎng)方形、正方形、圓形或線段圖，通過(guò)折一折、畫一畫、涂一涂的方式來(lái)表示算式的意義，從而體會(huì)分?jǐn)?shù)除法的意義。這樣的做法是否更以學(xué)生為本。

2.鞏固練習(xí)中還可增加題組訓(xùn)練

這節(jié)課，在學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義、理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，并內(nèi)化計(jì)算法則后，我設(shè)計(jì)組織了以下鞏固練習(xí)。

第一層次：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的基本練習(xí)。其素材是教材第30頁(yè)“做一做”。

第二層次：鞏固計(jì)算方法的變式練習(xí)。既有計(jì)算法則的運(yùn)用，又有根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活選擇計(jì)算方法的訓(xùn)練。

第三層次：對(duì)所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，也是拓展延伸。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的價(jià)值。

這幾個(gè)層次的練習(xí)，學(xué)生對(duì)于知識(shí)技能的掌握、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累都起到了補(bǔ)充作用。但教學(xué)起來(lái)感覺(jué)第一層次的基本練習(xí)題量略顯單薄，可以增加一些題組練習(xí)，以此鞏固分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法；同時(shí)，還能訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)算式中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)靈活地選擇計(jì)算方法。