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      空間幾何體的外接球的體積與表面積的求解策略

      2018-06-29 08:02:20車艷杰
      考試周刊 2018年56期
      關(guān)鍵詞:還原法

      摘 要:全國(guó)卷中經(jīng)??伎臻g幾何體的外接球問題,由于學(xué)生的空間感不強(qiáng)和對(duì)球的性質(zhì)理解不透徹,導(dǎo)致無(wú)法求空間幾何體的外接球的表面積或者體積。本文就是要講解如何解決這個(gè)問題。其實(shí)無(wú)論求哪一種幾何體的外接球的表面積和體積,都需要求出球的半徑,既然要求出球的半徑就要知道球心在哪里,下面就筆者這幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和研究,總結(jié)了幾種方法。

      關(guān)鍵詞:還原法;定義法;性質(zhì)法

      一、 空間幾何體的外接球的體積與表面積

      [方法一:還原法——還原成正方體或長(zhǎng)方體或圓柱]

      結(jié)論:1. 正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑是它們的體對(duì)角線的長(zhǎng)。

      2. 圓柱的外接球:在圓柱OO1中,AB為底面圓的一條直徑,AC是一條母線,則外接球的球心就是線段BC的中點(diǎn),設(shè)圓柱的底面半徑為r,圓柱的高位h,球的半徑為R,則(2r)2+h2=(2R)2。

      例1 直三棱柱ABC-DEF中,側(cè)棱AE⊥底面ABC,三角形ABC中,AB⊥AC,且AE=AB=AC=2,則此三棱柱的外接球的表面積為。

      解析:此三棱柱的特點(diǎn)是:從點(diǎn)A出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直,

      所以此三棱柱的外接球就是以AE,AB,AC為棱長(zhǎng)的正方體的外接球,

      所以直徑2R=22,所以球的表面積為8π。

      [總結(jié)]哪些幾何體的外接球可以還原成正方體或長(zhǎng)方體或圓柱呢?常見的情況有:

      1. 從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條線兩兩互相垂直(墻角結(jié)構(gòu))的幾何體,如底面是直角三角形的直棱柱,墻角結(jié)構(gòu)的三棱錐,它們的外接球與以這三條線段為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球相同。

      2. 正四面體,還原為正方體,正四面體的棱長(zhǎng)就是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)。

      3. 直棱柱的外接球就是此直棱柱的外接圓柱的外接球。

      [方法二:定義法——利用球的定義找球心]

      球的定義:空間中,到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

      例2 三棱錐A-BCD中,BC⊥CD,AB=AD=2,BC=1,CD=3,則該三棱錐外接球的體積為。

      解析:∵BC⊥CD,BC=1,CD=3,

      ∴BD=2,又AD2+AB2=(2)2+(2)2=4=BD2,

      ∴AD⊥AB,

      ∴球心為BD的中點(diǎn)(直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半),∴球的半徑為1,

      ∴球的體積為4π3。

      [總結(jié)]能用到定義的三棱錐的特點(diǎn):

      ①有兩個(gè)直角三角形且這兩個(gè)直角三角形有公共斜邊。

      ②三棱錐A-BCD中,對(duì)邊AC與BD的公垂線為EF,且E,F(xiàn)分別為AC,BD的中點(diǎn),則球心在EF上。

      [方法三:性質(zhì)法——利用球心與截面圓圓心的連線垂直截面圓]

      有些幾何體的外接球的球心如果不能用上面的兩種方法找出,還可以用球的性質(zhì)法。能用到的球的性質(zhì)有哪些呢?下面介紹幾個(gè)可以用到的球的性質(zhì)。①與截面垂直的直徑過截面圓的圓心。②連接球心和截面圓的圓心的直線垂直于截面。③求半徑的平方=球心到截面的距離的平方+截面圓的半徑的平方。

      例3 三棱錐P-ABC中,AB=BC=15,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,則該三棱錐外接球的表面積為。

      解析:由余弦定理得cosB=BC2+BA2-AC22BC·BA=-15,所以角B為鈍角,sinB=265,所以△ABC的外接圓的圓心在中線BD的延長(zhǎng)線上,

      假設(shè)為點(diǎn)G,又PC⊥平面ABC,所以PC⊥AC,

      所以△PCA為直角三角形,此三角形外接圓的圓心為斜邊PA的中點(diǎn)E,過點(diǎn)E作平面PAC的垂線,與過點(diǎn)G且與平面ABC垂直的線交于點(diǎn)F,則點(diǎn)F為此三棱錐外接球的球心,連接FP,△ABC的外接圓直徑為6sinB=562,

      設(shè)三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為d,則R2=d2+5642=(2-d)2+5642,

      所以該三棱錐的外接球的半徑R2=838,所以表面積為83π2。

      二、 總結(jié)

      用球的性質(zhì)找球心時(shí),應(yīng)該先找這個(gè)幾何體中的兩個(gè)特殊的圖形(如,等腰三角形,等邊三角形,直角三角形等),然后再找出它們的外接圓的圓心,再過每個(gè)圓的圓心作此圓的垂線,兩垂線的交點(diǎn)就是球心,最后利用直角三角形勾股定理就可以求出半徑。

      參考文獻(xiàn):

      [1] 王朝銀.步步高大二輪復(fù)習(xí)與增分策略[M].哈爾濱:黑龍江教育出版社,2017.

      [2] 王朝銀.步步高大一輪復(fù)習(xí)與增分策略[M].哈爾濱:黑龍江教育出版社,2016.

      作者簡(jiǎn)介:車艷杰,福建省漳州市,平和正興學(xué)校。

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