于愛敏 王曉萍

[摘 要]所謂“一串課”主題單元研究，不是局限在某一冊書的某個單元，而是圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)課程的四大領(lǐng)域的典型單元進行的縱向單元教學(xué)研究。測量是小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容之一，而長度、面積和體積是“空間與圖形”知識中一組最為基本的從一維到二維再到三維的測量概念，因此，長度、面積和體積這三節(jié)課從結(jié)構(gòu)上來看是相同的。相同的結(jié)構(gòu)，決定了這“一串課”的教學(xué)活動往往類似，如果教學(xué)時不重視溝通和揭示概念之間的區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生就很難建立起從一維到三維的空間觀念。教師在教學(xué)時就要著眼于“整體”，把握“本質(zhì)”，抓住知識間的聯(lián)系，整體架構(gòu)，促進學(xué)生對測量的“真”理解。

[關(guān)鍵詞]“一串課”；主題單元研究；測量概念；整體架構(gòu) ； 知所先后；真理解

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）14-0011-03

測量是小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容之一，而長度、面積和體積是“空間與圖形”知識中一組最為基本的從一維到二維再到三維的測量概念。基于學(xué)生的年齡特征，各種版本的教材都將這三個內(nèi)容的學(xué)習(xí)編排在不同的年級，讓學(xué)生循序漸進地理解“測量”概念。然而我們在課例研討過程中發(fā)現(xiàn)教學(xué)這“一串課”時往往存在這幾個問題：

（1）學(xué)生學(xué)習(xí)完長度、面積和體積后，進行測量和計算時，常出現(xiàn)混淆數(shù)學(xué)概念的情況，求面積時用的是周長的計算方法，測量面積時卻用長度去比較，計算體積時又和表面積混作一談。這些情況真的是學(xué)生沒有認真審題造成的嗎？

（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)測量前，都經(jīng)歷了建立統(tǒng)一度量單位必要性的過程，而且都是濃墨重彩的過程，或通過小故事體會，或通過小游戲感知，然后才進行“度量單位”的學(xué)習(xí)。有沒有必要在這三節(jié)課中平均用力，讓學(xué)生一一體會建立統(tǒng)一度量單位的必要性呢？

（3） 認識“度量單位”后，教師都會讓學(xué)生“舉例子”：生活中哪些物體的長度大約是1厘米；哪些物體的面積大約是1平方厘米；哪些物體的體積大約是1立方厘米。學(xué)生要么將長度、面積和體積三者的概念相混淆，要么就憑空亂說。為什么舉例子對學(xué)生而言那么難？

面對這些問題，我們不由得思考：什么原因造成了學(xué)生對測量概念的學(xué)習(xí)存在困惑，如何才能促進學(xué)生對測量概念“真理解”？帶著這樣的思考，我們重新審視自己的課堂，探究問題的根源，尋找解決的辦法。

一、明確測量對象的屬性，先感知后測量

1.學(xué)生在測量什么？

在“長度和長度單位”一課中，教師讓學(xué)生在尺子上找到1厘米，出現(xiàn)了學(xué)生指著數(shù)字“1”說“這是1厘米”。

在“面積和面積單位”一課中，教學(xué)完1平方厘米的相關(guān)知識后，教師出示了一張大正方形的紙片，讓學(xué)生估計它的面積大約是多少平方厘米。在用1平方厘米的小正方形驗證時，出現(xiàn)了如右圖所示的情況：學(xué)生認為是2平方厘米。

在“體積和體積單位”一課中，學(xué)生在數(shù)一個長方體是由多少個小正方體拼成時，出現(xiàn)了只數(shù)“表面”的情況。

從上面的描述中不難看出，學(xué)生并不理解“1厘米”是長度；不理解測量的是“面”，應(yīng)該用“面”去測量“面”；對“體”的感知不到位，將“面”和“體”混淆。

2.審視課堂，探究原因

我們最初的教學(xué)設(shè)計如下：

【“長度和長度單位”教學(xué)片段】

課始，由故事“阿福的新衣”引入，創(chuàng)設(shè)“為什么同樣是3拃，卻把衣服做小了，鬧出了笑話”的情境，從而生成“統(tǒng)一標準的需要”。

【“面積和面積單位”教學(xué)片段】

師：你能找到哪些物體的面？（學(xué)生找到桌面、墻面、黑板面、書的封面等）

師：如果把這些面畫下來，會是什么形狀呢？（學(xué)生畫一畫）

師：物體的表面或封閉圖形的大小，就稱為它們的面積。例如，黑板面的大小，就是黑板面的面積。你能一邊說一邊比畫其他面的面積嗎？

【“體積和體積單位”教學(xué)片段】

（1）感知空間

師（用魔術(shù)引入）：為什么杯子里放了一塊磁鐵，水就加不進去了呢？

生1：磁鐵占空間。

師：其他物體也占空間嗎？請舉例說明。

師：這些看得見的物體都占空間，那看不見的物體呢？怎樣證明？

師（小結(jié)）：所有物體都占空間。

（2）體驗空間的大小

師（依次出示不同物體）：誰占的空間大？

師（小結(jié)）：物體所占的空間有大有小。

（3）引出體積的概念

師：物體所占空間的大小叫體積，課桌所占空間的大小就是課桌的體積。（邊說邊比畫）你能像老師這樣，一邊說一邊比畫其他物體的體積嗎？

從以上的教學(xué)片段不難看出，無論是我們一掠而過的對“長度”的教學(xué)，是摸摸涂涂的對“面積”的教學(xué)，還是由淺入深的對“體積”的教學(xué)，學(xué)生都感知得并不到位。究其原因，是因為任何一個物體都可以測量其長度、面積和體積三方面的屬性，只不過測量“長”時只關(guān)注“長度”，依此類推。沒有被關(guān)注的“屬性”并不等于不是客觀存在的，其客觀存在仍然影響其他“屬性”的測量。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)“面積”時會受到“長度”尤其是“周長”的干擾，學(xué)習(xí)“體積”時，“長度”“面積”這兩個屬性在起干擾和混淆的作用。

由此可見，教學(xué)這“一串課”，首先要讓學(xué)生明確測量對象的屬性，感知“線”“面”和“體”。要讓學(xué)生在充分感知的過程中明白：長度測量的是“線”，面積指的是“面”的大小，而體積則是“體”的大小。

3.反思教學(xué)，重建課堂

【 “長度和長度單位”重建后的教學(xué)片段】

師：老師手中的這兩根彩筆一樣長嗎？

生（齊）：不一樣。

師：誰能指一指從哪到哪是這根彩筆的長度呢？

師：如果能像老師這樣，加上這個小手勢比畫的話就更清楚啦！

師（一邊比畫一邊說）：從這到這就是這根彩筆的長。大家都把小手伸出來，咱們一起量一下！

師：你能指指這個文具盒的長度嗎？老師把它的長度畫下來（畫在黑板上）。（指黑板上的線段）從這到這就是這個文具盒的長度。你還能指指其他物體的長度嗎？

指一指、說一說、畫一畫，這樣的活動不僅僅能提高學(xué)生對長度的認識，還能為學(xué)生找長度大約是1厘米的物體、測量物體的長度等提供經(jīng)驗積累。

“面積和面積單位”一課，在用觀察法比較不出長方形紙片和正方形紙片的大小后，教師可給學(xué)生提供多種材料，比如小線繩、圓紙片、小正方形紙片、小三角形紙片等，讓學(xué)生自主選擇，并在操作后交流“ ‘線怎么量，‘面怎么量”，進而引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)：測量長度是“邊”的疊合，而測量面積是“面”的疊合。

“體積和體積單位”一課，雖然學(xué)生對“空間”“體積”概念的理解比較到位，但對“體”的感知還有所欠缺。僅僅通過邊比畫邊描述是不夠的，因為“體積”是三維的，不能像長度那樣指一指，也不能像面積那樣摸一摸。那么在比較“體積”時就得轉(zhuǎn)化比較方式。課堂上，學(xué)生能想到先裝水或沙子，再倒入同樣的量杯里進行比較，這就是轉(zhuǎn)化。此時，教師可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、提煉：“我們這樣做，是在比什么？”學(xué)生就會感知到比較的是高度，對三維的“體積”又有了進一步的理解。

這樣一來，這“一串課”，讓學(xué)生先充分感知測量對象的屬性，感知了測量長度是“線”的拼接，測量面積是“面”的密鋪，測量體積是“體”的堆積。那么，在接下來的動手操作過程中，學(xué)生就很清楚測量的是什么。

二、體會統(tǒng)一測量單位的必要性，先深刻后簡約

1.學(xué)生在笑什么？

在教學(xué)“體積和體積單位”時，教師設(shè)計了一個小游戲“依次出示兩個用若干小正方體拼成的大正方體（小正方體的大小不一樣），讓男女生依次觀察（男生觀察時，女生不能看；女生觀察時，男生不能看），然后報出自己所觀察的大正方體所包含的小正方體個數(shù)，再快速比較出哪個正方體的體積大?！保庠谕ㄟ^這樣的游戲讓學(xué)生自然而然地生成“統(tǒng)一體積單位的必要性”。本以為學(xué)生會很感興趣，沒想到在課堂上，學(xué)生不但不配合，還笑場，他們在笑什么？感覺游戲幼稚？可是，統(tǒng)一度量單位的必要性確實需要學(xué)生經(jīng)歷呀！

2.審視課堂，探究原因

【“長度和長度單位”教學(xué)片段】

師（由阿福的新衣故事引入）：衣服怎么做小了？

生1：手不一樣大。師傅的手大，徒弟的手小。

師：怎樣才能做出合適的衣服呢？

生2：師傅量，師傅做；徒弟量，徒弟做。

師（小結(jié)）：也就是要用同樣的標準來量。

【“面積和面積單位”教學(xué)片段】

師（提供大小不一的正方形，學(xué)生用其測量長方形的面積）：為什么用同樣的圖形來測量，結(jié)果不一樣？

生：因為用于測量的圖形的大小不一樣。

師：為了測量的方便，在測量時我們要用同樣大小的正方形。

【“體積和體積單位”教學(xué)片段】

師：請男同學(xué)閉上眼睛，女同學(xué)來數(shù)一數(shù)，這個長方體可以分成多少個小正方體？（8個）

師：請女同學(xué)閉上眼睛，男同學(xué)來數(shù)一數(shù)，這個正方體可以分成多少個小正方體？（9個）

師：請所有同學(xué)睜開眼睛。哪個物體的體積大？

生1：正方體的體積大。

生2：不一定?？赡苄≌襟w的大小都不一樣。

師（出示長方體和正方體）：確實如此。為了測量的方便，我們要用同樣大小的正方體來測量。

獨立來看三個教學(xué)片段，這樣的體驗都有其合理性，可放在一起比較，就值得推敲了。同樣的游戲，一年級學(xué)生好奇心十足，三年級學(xué)生理智分析，五年級學(xué)生卻笑場了。細細想來，這是教師忽略了學(xué)生的認知基礎(chǔ)，忽視了學(xué)生積累的活動經(jīng)驗。另外，課程標準在第一學(xué)段“測量”部分明確規(guī)定“在測量活動中，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性”，而在第二學(xué)段則沒有提及。

3.反思教學(xué)，重建課堂

結(jié)合學(xué)情仔細分析，學(xué)生有了建立統(tǒng)一長度單位的活動經(jīng)歷，積累的相應(yīng)活動經(jīng)驗便可遷移到面積單位和體積單位的學(xué)習(xí)中。既然如此，如果還像上述教學(xué)片段中一樣，僅僅依靠一個小故事引入教學(xué)，學(xué)生對建立統(tǒng)一長度單位的必要性就體會得不充分了。針對課程標準在第一學(xué)段“測量”部分的規(guī)定“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性”，重建教學(xué)。

師：我用這根鉛筆的長度來量黑板這條邊的長度，1根、2根……一共9根鉛筆多一些。還可以用什么來量？

生1：數(shù)學(xué)書、尺子、文具盒……

師：請你自己選擇一個物體的長度作為標準，來量一量課桌這條邊的長度。

生：3個文具盒多一點；15塊橡皮那么長；4個半尺子長；6個尺子長……

師：為什么同樣長的課桌，測量的結(jié)果不一樣？

生2：用的測量物品有的長，有的短。

師：為什么都用尺子量，結(jié)果不一樣？

生3：因為尺子的長度不一樣。

師：要想測量結(jié)果一樣，用于測量的這個物體必須一樣，也就是要統(tǒng)一標準。這個標準叫長度單位。各國統(tǒng)一長度單位都經(jīng)歷了漫長的歷史過程。（課件播放中國和國際統(tǒng)一長度單位的數(shù)學(xué)文化史）

在上述活動中，學(xué)生經(jīng)歷了自主選擇不同物體作為標準來測量的過程；在交流結(jié)果的過程中，又體會到了不同標準的不方便；在觀看了數(shù)學(xué)文化史后，統(tǒng)一標準即統(tǒng)一長度單位的必要性就呼之欲出了。至此，學(xué)生有了充分的體驗。

三、培養(yǎng)“量感”，先建立表象后鞏固應(yīng)用

1.學(xué)生在找什么？

“生活中哪些物體的長度大約是1厘米？”

“雞蛋餅?！薄靶∥浵?。”“小扣子?！薄?/p>

“生活中哪些物體的面積大約是1平方厘米？”

“手指頭?！薄伴_按鈕。”……

“生活中哪些物體的體積大約是1立方厘米？”

“花生米。”“骰子?！薄安Ａ颉！薄靶√菈K?！薄?/p>

三節(jié)課中，認識“度量單位”后，教師都會讓學(xué)生“舉例子”。從上面的描述中可以看出，學(xué)生往往找不到相應(yīng)的實物例子，尤其是找“1厘米”的物體時，要么將長度與面積、體積的概念混淆，要么就憑空亂說。

2.審視課堂，探究原因

建立單位表象是形成空間觀念的基礎(chǔ)，也是這三節(jié)課的教學(xué)重點之一。

【“長度和長度單位”教學(xué)片段】

師：瞧，就連你的小手上都有1厘米的影子呢？伸出小手你能找到它嗎？

生：手指。

師：是手指的寬度。

【“面積和面積單位”教學(xué)片段】

師：想一想，哪些物體的面積大約是1平方厘米？

生：手指。

師：是手指甲這個面的大小。

【“體積和體積單位”教學(xué)片段】

師：生活中，哪些物體的體積大約是1立方厘米呢？

生：手指。

師：是手指指尖的大小。

學(xué)生在尋找大約1個度量單位的物體時，常常會先從自己的身體上找。教師在教學(xué)時也喜歡引導(dǎo)學(xué)生尋找身體上的“小尺子”。但是學(xué)生經(jīng)常表述不完整，需要教師補充和提醒。手指在三節(jié)課中的出現(xiàn)率最高，幾乎場場露臉，可見，相同的手指，承載了學(xué)生對1厘米、1平方厘米和1立方厘米的直觀認識，我們是否應(yīng)該充分利用好這一資源呢？

3.反思教學(xué)，重建課堂

【“面積和面積單位”重建后的教學(xué)片段】

師：想一想，哪些物體的面積大約是1平方厘米？

生1：手指。

師：是手指哪一部分的大小呢？

生1：是指甲面的大小。

師：請你用1平方厘米的正方形來比量。指甲面的大小大約是1平方厘米嗎？

師：手指的寬度大約是多少呢？

生2：1厘米。

師：度量手指的寬度是多少，需要用什么單位？度量指甲面的大小，需要用什么單位？

同樣，教學(xué)“體積和體積單位”時也可以進行這樣的交流。“舉例子”是學(xué)生建立“度量單位”表象的重要手段，通過這樣的活動引導(dǎo)學(xué)生了解與比較長度、面積和體積的概念，能促進學(xué)生度量單位表象的形成，為應(yīng)用提供感性和實踐支撐。

縱觀這三節(jié)課，從結(jié)構(gòu)上來看是相同的。首先都要認識測量對象，其次是對測量對象的測量。測量又細分為三個環(huán)節(jié)：一是認識測量單位；二是估計測量對象；三是求大小。相同的結(jié)構(gòu)，決定了這“一串課”的教學(xué)活動往往類似，如果教師在教學(xué)時不重視溝通和揭示這些概念之間的區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生就很難建立起從一維到三維的空間觀念。

三節(jié)測量專題課例的研討，不僅僅引發(fā)了我們對如何促進學(xué)生對測量概念 “真”理解的思考，它更如一扇新打開的窗戶，讓我們多了一個研討問題的視角，那就是“一串課”的主題單元研究。用這樣的視角來觀察，來思考，使我們能更為系統(tǒng)地把握知識間的聯(lián)系，以便整體進行教學(xué)設(shè)計。正所謂“知所先后，則近道矣。”數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此，從“一串課”入手，著眼于“整體”，把握“本質(zhì)”，知所先后，有所為有所不為，才能促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的“真”理解。

（責(zé)編 金 鈴）