■重慶市鐵路中學(xué)校 何成寶

一、混淆超幾何分布和二項(xiàng)分布的定義而導(dǎo)致錯(cuò)誤

我們知道二項(xiàng)分布的定義:一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=Cknpkqn-k,其中0＜p＜1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為X～B(n,p)。

超幾何分布的定義是:一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品數(shù),則事件{X=k}發(fā)生的概率

N中m=m i n{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,則稱X服從超幾何分布,記為X～H(n,M,N)。

由以上定義可知,二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是無(wú)放回抽樣。一般說(shuō)來(lái),有放回抽樣與無(wú)放回抽樣計(jì)算的概率是不同的,特別在抽取對(duì)象數(shù)目不大時(shí)更是如此。所以,同學(xué)們?cè)诮庥嘘P(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問(wèn)題時(shí),仔細(xì)閱讀、辨析題目條件非常重要。同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)模型的定義不能很好地理解,下面就要對(duì)含“取”或“摸”的題型加以分析。

例1 口袋中有8個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中隨機(jī)地連續(xù)取3次球,每次取1個(gè),求:

(1)不放回抽樣時(shí),取到黑球的個(gè)數(shù)ξ的分布列;

(2)放回抽樣時(shí),取到黑球個(gè)數(shù)η的分布列。

分析：不放回抽樣時(shí),若取出1個(gè),則總體就少1個(gè),因此ξ的最大值為2,屬于超幾何分布模型。放回抽樣時(shí),每次抽取時(shí)的總體沒有改變且每次取到黑球的概率相同,因此η的最大值為3,屬于二項(xiàng)分布模型。

解：(1)不放回抽樣時(shí),取到的黑球個(gè)數(shù)ξ可能的取值為0,1,2,則:

所以η的分布列為:

ξ 0 1 2 P 7 1 5 71 1 51 5

(2)放回抽樣時(shí),取到的黑球個(gè)數(shù)η可能的取值為0,1,2,3。又由于每次抽到黑球的概率均為,3次取球可以看成3次獨(dú)

所以η的分布列為:

ξ 0 1 2 3 P 6 4 1 2 5 1 4 8 1 2 5 1 2 1 2 51 2 5

點(diǎn)評(píng):兩種分布的差別就在于“有”與

涉及超幾何分布和二項(xiàng)分布的分布列和期望問(wèn)題已成為常考題型,不少同學(xué)不明白超幾何分布和二項(xiàng)分布之間的區(qū)別,從而解題錯(cuò)誤。因此,有必要闡述一下兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系。下面舉例說(shuō)明,以供同學(xué)們參考。“無(wú)”的差別,“放回”和“不放回”就是兩種分布轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。

練習(xí)：在高二年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲,在一個(gè)口袋中有大小相同的1 0個(gè)紅球和2 0個(gè)白球。從中隨機(jī)地連續(xù)取5次球,每次取1個(gè),求:

(1)若從中任意摸出5個(gè)球,求摸到4個(gè)紅球的概率;

(2)摸出1個(gè)球記下顏色,放回后再摸1個(gè)球,反復(fù)5次,摸到4個(gè)紅球1個(gè)白球就是一等獎(jiǎng),求獲一等獎(jiǎng)的概率。

解析：(1)從3 0個(gè)球中摸出5個(gè)球,共有C530種方法,摸到4個(gè)紅球有C410C120種方法,摸到4個(gè)紅球的概率為

(2)有放回摸球,由于每次抽到紅球的概率均為,5次取球可以看成5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),設(shè)取到紅球個(gè)數(shù)為ξ,則ξ～

故摸到4個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為:

點(diǎn)評(píng):通過(guò)此例可以看出,有放回抽樣時(shí),每次抽取時(shí)的總體沒有改變,每次抽到某物的概率是相同的,可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),此種抽樣是二項(xiàng)分布模型。而無(wú)放回抽樣時(shí),取出一個(gè)則總體中就少一個(gè),因此每次取到某物的概率是不同的,此種抽樣為超幾何分布模型。

二、超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別而導(dǎo)致錯(cuò)誤

超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系,但也有明顯的區(qū)別。樣本個(gè)數(shù)越大,超幾何分布和二項(xiàng)分布的對(duì)應(yīng)概率相差越小,當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為無(wú)窮大時(shí),超幾何分布和二項(xiàng)分布對(duì)應(yīng)的概率幾乎相等。還有超幾何分布所涉及的樣本數(shù)目是具體的。所以只有掌握“有、無(wú)放回”及樣本個(gè)數(shù)“有限、無(wú)限”時(shí)所對(duì)應(yīng)的分布類型,才不會(huì)出現(xiàn)選擇方法上的錯(cuò)誤。

例2 根據(jù)我國(guó)相關(guān)法律規(guī)定,食品的含汞量不得超過(guò)1.0 0p p m,沿海某市對(duì)一種貝類海鮮產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查,抽出樣本2 0個(gè),測(cè)得含汞量(單位:p p m)數(shù)據(jù)如表1所示:

表1

(1)若從這2 0個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3個(gè),求恰有1個(gè)含汞量超標(biāo)的概率;

(2)以此2 0個(gè)產(chǎn)品的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這批貝類海鮮產(chǎn)品的總體,若從這批數(shù)量很大的貝類海鮮產(chǎn)品中任選3個(gè),記ξ表示抽到的產(chǎn)品含汞量超標(biāo)的個(gè)數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)。

解析：(1)記“從這2 0個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3個(gè),恰有一個(gè)含汞量超標(biāo)”為事件A,則所求事件概率為:

(2)根據(jù)題意,這批貝類海鮮產(chǎn)品中含汞量超標(biāo)的概率為P=5=1,抽到的產(chǎn)品含2 04汞量超標(biāo)的個(gè)數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3。

故ξ的分布列為:

ξ 0 1 2 3 P 2 7 6 4 91 2 7 6 46 46 4

點(diǎn)評(píng):本題第(2)問(wèn)是二項(xiàng)分布問(wèn)題,求解時(shí),容易看成超幾何分布來(lái)處理,造成錯(cuò)解。由二項(xiàng)分布和超幾何分布的定義可知,二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別是“有放回抽樣”還是“無(wú)放回抽樣”。