■陜西省洋縣中學(xué) 李 勇

數(shù)學(xué)建模法是一種極其重要的思想方法,它是把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)語言符號(hào),構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,從而解決實(shí)際問題。其一般步驟是:分析實(shí)際問題→構(gòu)建數(shù)學(xué)模型→建立數(shù)學(xué)關(guān)系式→解數(shù)學(xué)關(guān)系式→回歸實(shí)際問題。

建模法在隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)的應(yīng)用中,主要體現(xiàn)在古典概型、超幾何分布概型、二項(xiàng)分布概型(特殊的二項(xiàng)分布(兩點(diǎn)分布)和普通的二項(xiàng)分布)的解題中。下面結(jié)合近幾年的高考動(dòng)態(tài),進(jìn)行探究。

模型1：運(yùn)用古典概型求解分布列

離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一個(gè)值的概率大小。概率的求解離不開古典概型,因此古典概型是完善分布列求解的有力工具。

例1 (2 0 1 5年福建省理科卷)某銀行規(guī)定:一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定。小王到銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試。若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定。

(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;

(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列。

解析：(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)==

(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3。

所以X的分布列為:

X 1 2 3 P 112 663

點(diǎn)評(píng):求離散型隨機(jī)變量的概率分布首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值,以及當(dāng)隨機(jī)變量取這些值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率是多少,通?；瘹w到古典概型的概率模型上計(jì)算出概率值后,再列出離散型隨機(jī)變量概率分布列即可。

模型2：運(yùn)用超幾何分布模型求解分布列

分布列的求解在形式上常由較明顯的兩部分組成,如“男生、女生”,“正品、次品”,“優(yōu)、劣”等字眼構(gòu)成,符合這幾種形式就是超幾何分布模型。

例2 (2 0 1 7年山東省理科第1 8題)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用?，F(xiàn)有6名男志愿者和4名女志愿者,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示。

(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的頻率;

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)。

解析：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=

(2)由題意可知X可取的值為:0,1,2,3,4。因此,X的分布列為:

X 0 1 2 3 4 P 151 051 4 22 12 12 14 2

X的數(shù)學(xué)期望是:1=2。4 2

點(diǎn)評(píng):解答此類題目的關(guān)鍵在于先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布,如果滿足超幾何分布的條件,則直接利用超幾何分布的概率公式求解。當(dāng)然,本題也可通過古典概型解決,但利用超幾何分布概率公式簡(jiǎn)化了對(duì)每一種情況的分析,因此要簡(jiǎn)單一些。

模型3：運(yùn)用二項(xiàng)分布模型求分布列

1.特殊的二項(xiàng)分布(兩點(diǎn)分布)模型

兩點(diǎn)分布是一次試驗(yàn)中只會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果,在二項(xiàng)分布中,當(dāng)n=1時(shí)即為兩點(diǎn)分布,故兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布。

例3 某商店試銷某種商品2 0天,獲得如下數(shù)據(jù):

表1

試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件,否則不進(jìn)貨。將頻率視為概率。

(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率;

(2)記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解析：(1)P(“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”)=P(“當(dāng)天商品銷售量為0件”)+P(“當(dāng)天商品銷售量為1件”)=1+5=3。2 02 01 0

(2)由題意知,X的可能取值為2,3。

P(X=2)=P(“當(dāng)天商品銷售量為1件”)=;

P(X=3)=P(“當(dāng)天商品銷售量為0件”)+P(“當(dāng)天商品銷售量為2件”)+P(“當(dāng)天商品銷售量為3件”)=故X的分布列為:

?

點(diǎn)評(píng):兩點(diǎn)分布的題型特征是隨機(jī)變量的可能取值只有2個(gè),計(jì)算其中一個(gè)隨機(jī)變量取值相應(yīng)的概率后,另一個(gè)隨機(jī)變量相應(yīng)的概率就可以直接計(jì)算,也可以利用對(duì)立事件的概率之和為1計(jì)算,它屬于特殊的二項(xiàng)分布問題。

2.普通的二項(xiàng)分布模型

二項(xiàng)分布是有放回地抽樣檢驗(yàn)問題,在實(shí)際操作中,從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗(yàn),可以近似看作此類模型。它在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生與否二者必居其一;試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行的。傳解眾目隨名查媒某對(duì) 。機(jī)的 觀例下公地某抽收眾面司區(qū)類4取視 進(jìn)是 為電體了情行根電了視育1況0視了觀節(jié) 調(diào)據(jù) 0,

圖1

調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖,如圖1所示。

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于4 0分鐘的觀眾稱為“體育迷”。

(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表(表2),并據(jù)此資料說說你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)。

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