于 燁，張慧君，李孝輝(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，陜西 西安 710600； 2. 中國(guó)科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600； 3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 4. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100049)

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)在優(yōu)化導(dǎo)航電文中的鐘差參數(shù)、滿(mǎn)足實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)精密單點(diǎn)定位的需求和提供衛(wèi)星自主導(dǎo)航所需的先驗(yàn)信息方面具有重要作用[1-4]。但是，由于星載原子鐘非常敏感，極易受到外界和自身因素變化的影響而很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律。因此，建立精確的原子鐘運(yùn)行模型變得非常困難，相應(yīng)的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差也非常困難[5-7]。

目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在鐘差預(yù)報(bào)方面開(kāi)展了廣泛深入的研究，取得了一系列成果。其中，應(yīng)用較多的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型主要有：二次多項(xiàng)式模型(quadratic polynomial model，QPM)、灰色預(yù)報(bào)模型(gray model，GM(1,1))、最小二乘支持向量機(jī)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、卡爾曼濾波模型等[8-13]。這些預(yù)報(bào)方法分別適用于不同條件下導(dǎo)航衛(wèi)星原子鐘鐘差的短期、中長(zhǎng)期和長(zhǎng)期的預(yù)報(bào)，但也均有各自的適用范圍和局限性。

本文考慮衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項(xiàng)呈現(xiàn)非平穩(wěn)變化趨勢(shì)，提出了GM(1,1)與ARIMA的組合預(yù)報(bào)模型。該組合模型首先采用GM(1,1)模型預(yù)報(bào)鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)，然后利用ARIMA模型對(duì)GM(1,1)模型殘差序列進(jìn)行建模和預(yù)報(bào)，最后將GM(1,1)和ARIMA模型的預(yù)報(bào)結(jié)果對(duì)應(yīng)相加即得到鐘差的最終預(yù)報(bào)值。此外，采用IGS公布的事后精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)，通過(guò)與衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中常用的二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型(modified exponential curve method，MECM)預(yù)報(bào)結(jié)果的對(duì)比分析，結(jié)果表明：該方法可以對(duì)GPS衛(wèi)星鐘差進(jìn)行高精度的中短期預(yù)報(bào)，驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性和有效性。

1 GM(1,1)預(yù)報(bào)模型

在灰色系統(tǒng)理論中，GM(1,1)預(yù)報(bào)模型是最常用的一種灰色系統(tǒng)模型，它是由一個(gè)僅包含單變量的一階微分方程所構(gòu)成的預(yù)報(bào)模型，適合對(duì)自身數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)[14]。

設(shè)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，通過(guò)一次累加生成新的序列為

(1)

對(duì)累加序列X(1)建立一階微分方程

(2)

式中，參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)；參數(shù)u為灰作用量。對(duì)式(2)離散化，可得矩陣方程

(3)

根據(jù)最小二乘法可得式(3)的最小二乘解為

(4)

將式(4)代入式(2)即可得預(yù)報(bào)模型為

(5)

式中，k為參與預(yù)報(bào)序列的個(gè)數(shù)。由以上模型即可求得未來(lái)任意時(shí)刻序列的預(yù)報(bào)值。

2 ARIMA預(yù)報(bào)模型

ARIMA(p,d,q)模型常用來(lái)做時(shí)間序列的預(yù)報(bào)，適用于平穩(wěn)時(shí)間序列。對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列需要進(jìn)行d次差分將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行模型定階和模型參數(shù)的估計(jì)，最后選擇合適的模型階數(shù)建立ARIMA模型進(jìn)行預(yù)報(bào)。ARIMA(p,d,q)模型的實(shí)質(zhì)是差分運(yùn)算與ARMA(p,q)模型的組合[15]。

設(shè)有一非平穩(wěn)時(shí)間序列zt，經(jīng)過(guò)d次差分運(yùn)算已轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列xt，然后對(duì)序列xt建立ARMA(p,q)模型，其定義為

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-

-θqεt-q

(6)

ARIMA模型建立與預(yù)報(bào)的步驟可歸結(jié)為如下過(guò)程：

(1) 根據(jù)時(shí)間序列散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)和ADF單位根檢驗(yàn)其方差、趨勢(shì)變化規(guī)律，從而對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別。

(2) 若是非平穩(wěn)時(shí)間序列，需對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行d次差分處理轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。

(3) 利用平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖確定模型階數(shù)。

(4) 進(jìn)行模型參數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。

(5) 選擇合適的參數(shù)建立ARIMA模型并進(jìn)行外推預(yù)報(bào)。

3 組合預(yù)報(bào)過(guò)程

衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)序列可以認(rèn)為是由趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)兩部分疊加而成，針對(duì)它的這一特點(diǎn)，提出了一種基于GM(1,1)與ARIMA的組合預(yù)報(bào)模型。運(yùn)用此組合模型去預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)流程如圖1所示，具體步驟如下所述：

(1) 衛(wèi)星鐘差觀測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)處理。首先剔除衛(wèi)星鐘差觀測(cè)序列中的異常鐘差數(shù)據(jù)，然后采用拉格朗日插值法將缺失的鐘差數(shù)據(jù)補(bǔ)齊。

(2) 利用GM(1,1)預(yù)報(bào)模型提取衛(wèi)星鐘差序列的趨勢(shì)項(xiàng)，并且對(duì)其進(jìn)行外推預(yù)報(bào)。

(3) 利用ARIMA預(yù)報(bào)模型對(duì)GM(1,1)模型的模型殘差建模，即對(duì)衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項(xiàng)部分進(jìn)行建模并外推預(yù)報(bào)。

(4) 將利用GM(1,1)模型預(yù)報(bào)的趨勢(shì)項(xiàng)序列和利用ARIMA模型預(yù)報(bào)的隨機(jī)項(xiàng)序列對(duì)應(yīng)相加，即得到衛(wèi)星鐘差序列最終的預(yù)報(bào)值。

圖1 基于GM(1,1)和ARIMA組合模型的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)流程

4 算例與分析

4.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

為了驗(yàn)證該組合模型的有效性，從IGS服務(wù)器(ftp:∥cddis.gsfc.nasa.gov/)上下載了2017年3月5日至7日共3天的IGS事后精密鐘差產(chǎn)品，其采樣間隔為15 min?？紤]目前在軌的GPS衛(wèi)星有30多顆且我國(guó)北斗二代系統(tǒng)均搭載的是銣原子鐘，因此隨機(jī)選3顆裝載銣原子鐘的衛(wèi)星進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)，它們分別為PRN17(Block ⅡF-M-Rb)、PRN03(Block ⅡF-Rb)和PRN16( Block ⅡR-Rb)號(hào)衛(wèi)星。

4.2 建模方案與結(jié)果分析

算例中采用12 h鐘差數(shù)據(jù)(2017年3月5日00:00至12:00)共49個(gè)歷元，分別建立二次多項(xiàng)式模型(QPM)、修正指數(shù)曲線法(MECM)預(yù)報(bào)模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型(GM(1,1)+ARIMA)，對(duì)未來(lái)6、12、24和48 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行中短期預(yù)報(bào)。

由于本試驗(yàn)使用的是IGS服務(wù)器上公布的事后精密鐘差產(chǎn)品，其自身的誤差小于0.1 ns，故可以作為“真值”，使用均方根誤差(RMS)作為統(tǒng)計(jì)量，用于檢驗(yàn)二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型所預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確程度。

將接下來(lái)6、12、24和48 h的實(shí)際觀測(cè)鐘差數(shù)據(jù)與各模型預(yù)報(bào)的鐘差數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)相減即得到預(yù)報(bào)誤差，取各模型預(yù)報(bào)誤差序列的均方根誤差(RMS)為衡量預(yù)報(bào)精度的標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果如圖2—圖5和表1—表4所示。其中圖2、圖3和圖4分別為用12 h鐘差數(shù)據(jù)建立二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型預(yù)報(bào)未來(lái)6、12、24和48 h鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)誤差變化圖，圖5為各模型預(yù)報(bào)鐘差的平均預(yù)報(bào)精度對(duì)比圖。表1、表2和表3分別為用12 h鐘差數(shù)據(jù)建立二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型預(yù)報(bào)未來(lái)6、12、24和48 h鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)誤差的最大值(Max)、平均值(Mean)和均方根誤差(RMS)統(tǒng)計(jì)表。

表1 PRN17號(hào)衛(wèi)星各模型預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 PRN03號(hào)衛(wèi)星各模型預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖2 PRN17用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)

圖3 PRN03用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)

圖4 PRN16用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)

表3 PRN16號(hào)衛(wèi)星各模型預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖5 各模型預(yù)報(bào)鐘差的平均預(yù)報(bào)精度比較

表4 精密衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的平均RMS ns

結(jié)合圖2—圖5和分析表1—表4的統(tǒng)計(jì)量可以看出：在所選擇的預(yù)報(bào)時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)，GM(1,1)與ARIMA組合模型對(duì)于PRN03衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的精度最高，其次是PRN17衛(wèi)星，再次是PRN16衛(wèi)星，且該組合模型預(yù)報(bào)的均方根誤差均小于二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)對(duì)應(yīng)的均方根誤差。這說(shuō)明對(duì)于衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，該組合模型較常用的二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型有更高的預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性。在短期預(yù)報(bào)中， 6 h預(yù)報(bào)的平均預(yù)報(bào)精度控制在1 ns以?xún)?nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報(bào)精度提高了29.70%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報(bào)精度提高了18.39%；12 h預(yù)報(bào)的平均預(yù)報(bào)精度控制在2 ns以?xún)?nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報(bào)精度提高了43.75%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報(bào)精度提高了33.90%；24 h預(yù)報(bào)的平均預(yù)報(bào)精度控制在2 ns以?xún)?nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報(bào)精度提高了67.62%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報(bào)精度提高了61.40%。在中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中， 48 h預(yù)報(bào)的平均預(yù)報(bào)精度控制在5 ns以?xún)?nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報(bào)精度提高了76.21%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報(bào)精度提高了70.49%。

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)衛(wèi)星鐘差呈趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)變化的特點(diǎn)，本文將GM(1,1)模型與ARIMA模型有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，建立了一種基于GM(1,1)與ARIMA的組合模型，并將其應(yīng)用于衛(wèi)星鐘差的中短期預(yù)報(bào)。該組合預(yù)報(bào)模型首先采用GM(1,1)模型預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差序列中的趨勢(shì)項(xiàng)成分，然后提取出衛(wèi)星鐘差序列中的隨機(jī)項(xiàng)成分并建立ARIMA模型，最后將兩部分預(yù)報(bào)的結(jié)果對(duì)應(yīng)相加即得到衛(wèi)星鐘差的最終預(yù)報(bào)值。該方法不僅顧及了衛(wèi)星鐘差序列變化的特點(diǎn)，而且充分發(fā)揮了GM(1,1)模型和ARIMA模型各自的優(yōu)勢(shì)，具有所需建模數(shù)據(jù)少、易于實(shí)現(xiàn)和計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。從上述預(yù)報(bào)試驗(yàn)的結(jié)果可以看出，該組合模型只需要使用較少的鐘差數(shù)據(jù)建模即可實(shí)現(xiàn)高精度的預(yù)報(bào)，尤其是在中長(zhǎng)期的預(yù)報(bào)中。該方法相比于各單一預(yù)報(bào)方法，突出了其預(yù)報(bào)的有效性和優(yōu)越性，從而驗(yàn)證了該組合方法的有效性和可行性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王宇譜，呂志平，王寧.BDS星載原子鐘長(zhǎng)期性能分析[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2009，46(2):157-169.

[2] 于燁，張慧君,李孝輝.組合模型在衛(wèi)星鐘差中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用和比較[J].電子測(cè)量技術(shù),2017，40(11):7-11.

[3] 黃孝增.基于ARMA模型的GPS鐘差預(yù)報(bào)改進(jìn)研究[J].測(cè)繪通報(bào),2015(S1):103-105.

[4] 路曉峰.導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差評(píng)估與預(yù)報(bào)研究[D].西安：長(zhǎng)安大學(xué)，2007.

[5] 陳正生,呂志平，張潔華，等.基于時(shí)間序列分解的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)[J].測(cè)繪科學(xué),2011，36(3):116-118.

[6] 鄭作亞，黨亞民，盧秀山，等.附有周期項(xiàng)的預(yù)報(bào)模型及其在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用研究[J].天文學(xué)報(bào),2010，51(1):95-102.

[7] 帥平，曲廣吉.導(dǎo)航星座自主導(dǎo)航的時(shí)間同步技術(shù)[J].宇航學(xué)報(bào)，2005，26(6):15-28.

[8] 王繼剛,胡永輝,何在民,等.組合模型預(yù)報(bào)導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2012，32(1)：84-88.

[9] 朱祥維,肖華,雍少為,等.衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的Kalman算法及其性能分析[J].宇航學(xué)報(bào),2008，29(3)：996-970.

[10] 郭承軍,騰云龍.基于小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)性能分析[J].天文學(xué)報(bào),2010，51(4)：396-403.

[11] 黃觀文,張勤,王繼剛.GPS衛(wèi)星鐘差的估計(jì)與預(yù)報(bào)研究[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2009，18(6)：108-122.

[12] 張清華,隋立芬,牟忠凱.基于小波與ARMA模型的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2010，30(6):100-104.

[13] HAIBO Y，ZHENGMING W，SHAOWU D，et al.Dynamic Grey-autoregressive Model of an Atomic Clock[J].Metrologia，2008(6)：1-5.

[14] 崔先強(qiáng),焦文海.灰色系統(tǒng)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版),2005，30(5):447-450.

[15] 徐君毅,曾安敏.ARIMA(0,2,q)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2009，29(5)：116-120.