蔡杰鋒

(閩南理工學院，福建 石獅 362700)

1 Pascal矩陣與Pascal函數矩陣的基本概念

Pascal三角形(又稱楊輝三角形)最早是由中國南宋數學家楊輝發(fā)現的，用以描述二項式展開的系數，其形式是一個n層的三角形，第k層有k個正整數，分別對應二元多項式(a+b)k-1的展開式的k個項的系數，即：

為了方便利用矩陣工具來研究Pascal矩陣，將其寫成下三角的形式，就得出所謂的Pascal矩陣：

用嚴格的符號表示就是：

其中，Pn是n+1階方陣，Pn(i,j)表示其(i,j)元.

Pascal矩陣Pn(i,j)有很奇妙的性質[1]，其中，有兩個性質較為重要：

(1)Pn是下三角的可逆矩陣；

(2)Pn的對角元都是1，所以特征值都是1.

Pascal函數矩陣是Pascal矩陣的推廣，其引入了一個自變量，基本形式為：

其中，Pn[x]是以x為自變量的n+1階函數矩陣，Pn[x](i,j)表示Pn[x]的(i,j)元.

顯然，當x=1時，Pn[x]就是Pn.

關于Pascal函數矩陣的性質詳見文獻[1～3]，其中，有兩條性質較為重要：

(1)Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R)；

(2)Pn[x]-1=Pn[-x](x∈R).

2 Pascal函數矩陣的推廣

為了方便起見，先約定以下矩陣運算的符號：

對m×n階矩陣A，A(i,j),A(i,:),A(:,j)分別表示矩陣A的(i,j)元，第i行，第j列，其中1≤i≤m,1≤j≤n.

至今，Pascal已有多種類型的推廣形式，具體可參見文獻[4～6].

縱觀其多種推廣形式，不外乎是將未知函數項xi-j推廣為其它類型的函數.因此，可以用任意類型的函數代替xi-j，得到新的推廣形式.但是這樣得出的函數矩陣的范圍就太大了，研究價值不大.因此我們要找到Pascal函數矩陣的某些絕妙的性質，然后試圖在不改變這些性質的情況下對其進行推廣，這樣得出的推廣形式才會有研究價值.

縱觀其多種已有的推廣形式，都保持Pascal函數矩陣的一條絕妙的性質：

定理1Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R).

證明上式等價于：

Pn[x+y](i,j)=Pn[x](i,:)·Pn[y](:,j)，

對1≤i

Pn[x](i,:)·Pn[y](:,j)=0=Pn[x+y](i,j).

對1≤j≤i≤n+1，

證畢.

現在再考慮一下如何推廣Pascal函數矩陣的定義，使得推廣后仍然保持與定理1類似的性質.

首先，先將Pn[x]定義中的某些概念一般化：Pn[x]的定義中，所需的未知因子是xk(0≤k≤n)，可以將未知數x的取值空間換為一個半群(M,*)，并且將冪次方函數換作M上的可列個實算子：Δk(k=0,1,2,...)，類似地給出廣義的Pascal函數矩陣的定義：

如上定義的廣義Pascal函數矩陣不一定有跟定理1類似的性質.因此，就需要找出滿足類似性質的某些充分條件.而在這之前，先要考慮一下怎樣闡述定理1的推廣形式：

Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R).

這個式子的右邊是矩陣乘法，不需改變，左邊式子中x+y的加法運算可以推廣為半群(M,*)上的二元運算*，所以定理1的推廣形式應該是：

(1)

尋找使式(1)成立的充分條件，模仿定理1的證明：

式(1)等價于：

(2)

(f*g).

因此，可以得出式(1)成立的一個充分必要條件：

結合以上的論述，就得出一種較為廣泛的有研究價值的Pascal函數矩陣的推廣：

定義1給定一個半群(M,*)，再給定滿足以下條件的實算子{Δk|k=0,1,...}：

對每個f∈M及正整數n，定義一個n+1階的函數矩陣

稱其為半群(M,*)上的廣義Pascal矩陣.

顯然，由定理2，直接有：

利用抽象代數的理論，可以得出：

3 推廣的Pascal函數矩陣的應用

本節(jié)將上節(jié)推廣的廣義Pascal函數矩陣特殊化，構造幾種特殊的推廣形式，并給出其應用實例.

例1當半群(M,*)為實數加法群(R,+)，實算子Δk是k階冪算子xk時，所定義的廣義Pascal函數矩陣就是一般的Pascal函數矩陣Pn[x].因此，上節(jié)定義的廣義Pascal函數矩陣的確是一般Pascal函數矩陣的推廣.此時，推論1就變成了定理1.又由于Pn[0]=In+1，根據推論2，有以下結論：

推論3Pn[-x]=(Pn[x])-1.

例如，

例2當半群(M,*)為n元實函數加法群，實算子Δk是k階冪算子xk時，所定義的廣義Pascal函數矩陣就是一般的Pascal函數矩陣的簡單推廣：Pn[f(X)]，同樣也有：Pn[0]=In+1(注意：這里的0表示零函數，而不是數字零)，根據推論2，有：

推論4Pn[-f(X)]=(Pn[f(X)])-1.

例如，

例3當半群(M,*)為一元光滑實函數乘法半群(C(R),*)，實算子Δk表示k次求導算子時，根據求導公式：下列式子成立：

從而，就可以定義特殊的廣義Pascal函數矩陣：

又注意到半群(C(R),*)的單位元是恒等于1的函數f0(x)≡1，且再根據推論2，有：

根據上式，有以下關于數列的二項式反演關系：

推論6{an}和{bn}為兩個實數列，則下列兩種遞推關系等價：

就等價于

再令上式的未知數x等于0，以及未知變量X,Y分別為(a1,...,an)T,(b1,...,bn)T，那么就可以得出以上兩種遞推關系等價的結論.

4 結論

本文通過分析多種推廣Pascal函數矩陣的形式和性質，得出了推廣過程中始終保持的一個絕妙的性質(定理1)；然后，在一個較為廣泛的框架下給出了保持這個性質的充要條件(定理2)；緊接著，根據這個充要條件給出了一種較為廣泛的保持絕妙性質的廣義Pascal函數矩陣；并且在最后給出了幾種基于這種廣義形式的特殊形式和應用.

本文所推廣的廣義Pascal函數矩陣是具有廣泛研究價值的，對其進行更深入研究深有裨益.

[1] CallG S,Velleman D J.Pascal’s matrices[J].Amer Math Monthly,1993,100:372-376.

[2] Brawer R,Pirovno M.The linear algebra of the Pascal matrix[J].Linear Algebra Appl,1992,174:13-23.

[3] Zhang Z Z.The linear algebra of the generalized Pascal matrix[J].Linear Algebra Appl,1997,250:51-60.

[4] M Bayat,H Teimoori.Pascal k-eliminated functional matrix and Eulerian numbers[J].Discrete Appl Math，2001，49：183-194.

[5] Z Zhizheng,M Liu.An extension of the generalized Pascal matrix and its algebraic properties[J].Linear Algebra Appl,1998，271:169-177.

[6] 趙熙強,李琳.函數矩陣的進一步推廣及應用[J].中國海洋大學學報,2015(3)：136-140.