李國彥， 李方義， 劉浩華， 董德浩， 張珊珊

(1.太原理工大學(xué)新型傳感器與智能控制教育部與山西省重點實驗室， 山西 太原 030024；2.山東大學(xué)機械工程學(xué)院, 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室， 山東 濟南 250061；3.上海航天設(shè)備制造總廠， 上海 201100)

引 言

行星式變速箱是風(fēng)機、直升機、工程機械、車輛等大型復(fù)雜機械裝備傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵部件。行星輪系動力學(xué)分析可從原理上揭示故障產(chǎn)生及演化對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，為其故障診斷提供理論依據(jù)。隨著數(shù)值分析理論的發(fā)展，行星輪系動力學(xué)模型由純扭轉(zhuǎn)模型向多自由度彎扭耦合模型發(fā)展。之后，許多學(xué)者對雙排行星輪系、多級行星輪系、斜齒輪、非漸開線齒輪等復(fù)雜齒輪模型進行了研究，同時模型計入時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、傳動誤差、摩擦、支撐剛度、阻尼等影響因素，模型由線性時不變逐漸向非線性時變模型發(fā)展。

復(fù)合行星輪系指包含一個或多個雙排行星輪系、階梯式行星輪系、多級行星輪系的齒輪傳動系統(tǒng)[1-5]。復(fù)合行星輪系廣泛應(yīng)用于工程中，可提供更大的速比范圍，但其動力學(xué)建模具有復(fù)雜性，國內(nèi)外對其動力學(xué)的研究尚處于起步階段。Kahraman[1]首次建立了雙排行星輪系純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，并對其固有特性進行了分析；Kiracof[2]將雙排行星輪系、階梯式行星輪系和多級行星輪系統(tǒng)一描述為復(fù)合行星輪系，研究其模型通用表達式，并對其固有特性的物理意義進行了闡述；Guo等[3-5]對復(fù)合行星輪系的嚙合相位關(guān)系及固有特性進行了分析；宋軼民等[6]建立了3K-Ⅱ型直齒行星輪系的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，對其固有特性進行了分析；楊富春等[7]建立了Ravigneaux型復(fù)合行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，并計入傳遞誤差對系統(tǒng)固有特性的影響；劉振皓和巫世晶等[8-9]建立了Ravigneaux型復(fù)合行星輪系純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，基于諧波平衡法得到系統(tǒng)基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并研究了時變嚙合剛度、負載、齒側(cè)間隙等參數(shù)對系統(tǒng)頻響特性的影響；羅玉濤等[10]建立了混合動力兩級行星輪系純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，并研究了耦合剛度對系統(tǒng)固有特性的影響。

已有模型只針對健康復(fù)合行星輪系進行分析，沒有引入損傷激勵。并且，文獻[3-9]中涉及到時變嚙合剛度研究中，通常根據(jù)國家標準或石川法計算平均嚙合剛度，基于嚙合頻率將輪齒綜合嚙合剛度簡化為矩形或梯形波周期函數(shù)，再將其展開為傅立葉級數(shù)的有限次諧波項進行表達，不能準確反映復(fù)合行星輪系的傳動模式。文獻[11-12]中考慮損傷激勵時，通過引入損傷程度系數(shù)(常數(shù)值)來衡量輪齒剛度變化，不能準確描述損傷幾何參數(shù)與嚙合剛度值之間的量化關(guān)系。并且，行星輪系中包含多個嚙合副，各嚙合副之間存在嚙合相位差，目前很少有研究準確地描述復(fù)合多級行星輪系各嚙合副間的嚙合相位關(guān)系。因此，現(xiàn)有的模型獲取的振動響應(yīng)的準確性不足，無法有效地指導(dǎo)其故障診斷，需建立故障復(fù)合行星輪系動力學(xué)模型、修正模型參數(shù)，深入研究故障程度和模型參數(shù)之間的相互關(guān)系，在此基礎(chǔ)上揭示復(fù)合行星輪系故障特性。

本文以工程機械復(fù)合兩級行星輪系為研究對象，建立平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型。對時變嚙合剛度及其嚙合相位進行分析。推導(dǎo)裂紋輪齒時變嚙合剛度計算公式，研究裂紋演化對系統(tǒng)時變嚙合剛度的影響。求解系統(tǒng)運動微分方程，研究系統(tǒng)在正常及裂紋故障情況下的固有特性。綜合運用時間歷程、階次譜、相軌跡及Poincaré映射圖，分析裂紋擴展對系統(tǒng)非線性振動響應(yīng)的影響。為復(fù)合行星輪系動態(tài)特性分析及故障診斷提供依據(jù)。

1 復(fù)合行星輪系結(jié)構(gòu)分析

圖1 復(fù)合行星輪系結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Compound planetary gear set

2 復(fù)合行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型

2.1 模型描述

為方便建模，適當(dāng)簡化模型并做如下假設(shè)：(1) 建立系統(tǒng)集中參數(shù)動力學(xué)模型；(2) 各齒輪為漸開線標準直齒輪，齒輪間的嚙合簡化為彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)，剛度系數(shù)為嚙合齒輪副的時變嚙合剛度，阻尼系數(shù)與嚙合剛度呈線性關(guān)系；(3) 軸和軸承的支撐簡化為彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)，剛度系數(shù)為支撐剛度，阻尼系數(shù)設(shè)為常數(shù)；(4) 不考慮系統(tǒng)的摩擦和誤差；(5) 各構(gòu)件具有三個自由度，沿與軸線垂直的兩個正交方向的平移自由度和繞自身軸線的扭轉(zhuǎn)自由度；(6) 模型采用絕對坐標系。由此可得復(fù)合兩級行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 復(fù)合行星輪系動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of the compound planetary gear set

2.2 構(gòu)件間相對位移分析

假設(shè)旋轉(zhuǎn)方向以逆時針方向為正方向，沿嚙合線方向以壓縮為正方向。各嚙合副的相對位移δg如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

行星架相對于行星輪的線位移的表達式為：

δcpix=xc-xpi-sinφpiuc

(6)

δcpiy=yc-ypi+cosφpiuc

(7)

(8)

2.3 運動微分方程

采用牛頓第二定律建立運動微分方程[13]：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中mj和Ij分別代表各構(gòu)件的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩；x和y代表平移振動；Tin和Tout分別代表輸入和輸出轉(zhuǎn)矩；Fg代表各嚙合副嚙合力；Fbjx,Fbjy和Fuj分別代表各中心構(gòu)件在各振動方向上的支撐力；Fcpix和Fcpiy代表各行星輪支撐力。

各嚙合副的嚙合力為

(16)

中心構(gòu)件在各振動方向上的支撐力為

(17)

行星架對行星輪的支撐力為

(18)

整理式(1～18)可得到系統(tǒng)運動矩陣方程

Km+KbQt=T

(19)

式中M為質(zhì)量矩陣，Q為位移矩陣，Cm為嚙合阻尼矩陣，Cb為支撐阻尼矩陣，Km為嚙合剛度矩陣，Kb為支撐剛度矩陣，T為外加負載矩陣。

該復(fù)合行星輪系的基本參數(shù)如表 1所示。

表1 復(fù)合行星輪系的基本參數(shù)

3 時變嚙合剛度

剛度激勵是齒輪傳動中最主要的內(nèi)部激勵形式之一。在不考慮重合度的情況下，每個輪齒可看作變截面的懸臂梁，在齒面載荷的作用下發(fā)生變形。一般認為，輪齒的變形主要由切向力和附加彎矩引起的彎曲變形、切向力引起的剪切變形、徑向力引起的壓縮變形及齒面接觸力引起的接觸變形等組成。

本文將輪齒簡化為齒根圓上的懸臂梁，分別計算輪齒各嚙合剛度分量、單齒綜合嚙合剛度及多齒綜合嚙合剛度。針對齒輪裂紋損傷，推導(dǎo)裂紋輪齒時變嚙合剛度計算公式，研究裂紋擴展對時變嚙合剛度的影響。

3.1 正常輪齒時變嚙合剛度分析

單齒懸臂梁模型如圖 3所示。圖中，懸臂梁的有效長度為da，即從齒頂圓到齒根圓的長度。由于齒根過渡圓弧很難用確定的方程表示，本文將其簡化為直線段d1。Fn是沿嚙合線方向的法向嚙合力；Fa和Fb分別為沿正交方向的兩個嚙合分量，可以表示為：Fa=Fnsinα1，F(xiàn)b=Fncosα1；α1代表各嚙合點對應(yīng)的嚙合角；d代表嚙合點到齒根處的水平距離；h代表嚙合點到輪齒中心線的豎直距離；rb和rf分別為輪齒基圓半徑和齒根圓半徑；α2為齒輪基圓圓弧對應(yīng)的圓心半角；α3為齒輪近似齒根圓弧對應(yīng)的圓心半角。

圖3 正常輪齒懸臂梁模型Fig.3 Cantilever beam model for a perfect tooth

根據(jù)梁理論，輪齒彎曲剛度kb、剪切剛度ks和軸向壓縮剛度ka的微分方程為[14-16]：

(20)

(21)

(22)

根據(jù)赫茲接觸理論，赫茲接觸剛度kh表示為[14-16]

(23)

式中E和G為楊氏模量和剪切模量，υ為泊松比。

圖 4展示了正常輪齒模型及其橫截面sx。如圖所示，橫截面sx的形狀為矩形，用A-B-C-D表示，其面積Ax和慣性矩Ix表示為：

Ax=2hxB=

(24)

(25)

式中hx為橫截面sx寬度的一半，B為齒寬。

圖4 正常輪齒模型及其橫截面Fig.4 Perfect tooth model and the cross-section

由于重合度的影響，一個嚙合周期內(nèi)存在單齒和雙齒嚙合區(qū)。單齒綜合嚙合剛度表示為：

(26)

多齒綜合嚙合剛度表示為

kg=

(27)

其中，下標1代表一對齒輪副中的主動輪，下標2代表從動輪。i=1代表雙齒嚙合區(qū)的第一對嚙合副，i=2代表第二對嚙合副。

圖5 第一級太陽輪-行星輪嚙合副時變嚙合剛度曲線Fig.5 Time-varying mesh stiffness curve of the gear mesh in the first gear stage

3.2 裂紋輪齒時變嚙合剛度分析

根據(jù)文獻[14-15]，假設(shè)裂紋產(chǎn)生于太陽輪齒根處，沿與輪齒中心線呈v=45°的方向擴展，裂紋尺寸用q1表示，當(dāng)裂紋擴展到與輪齒中心線相交時，定義裂紋程度為50%。之后裂紋改變擴展方向，沿與輪齒中心線呈v=-45°的方向擴展，裂紋尺寸用q2表示，直到與齒根圓相交，定義裂紋程度為100%(對應(yīng)的裂紋總長度為9.42 mm)。圖 6為裂紋輪齒模型及橫截面。

圖6 裂紋輪齒模型及其橫截面Fig.6 Cracked tooth model and the cross-section

裂紋不影響赫茲接觸剛度與軸向壓縮剛度，當(dāng)輪齒進入損傷區(qū)域嚙合時，輪齒的橫截面相對于正常情況發(fā)生改變，導(dǎo)致彎曲剛度和剪切剛度的計算公式發(fā)生改變。

當(dāng)裂紋未擴展至輪齒中線時，輪齒橫截面的面積和慣性矩為(圖 7(a))：

Ax=hx+hdB=

(28)

(29)

圖7 裂紋輪齒懸臂梁模型Fig.7 Cantilever beam model for a cracked tooth

當(dāng)裂紋擴展至輪齒中線后，輪齒橫截面的面積和慣性矩為(圖 7(b))：

Ax=hx-hdB=

(30)

(31)

圖8 裂紋對第一級太陽輪-行星輪嚙合副時變嚙合剛度的影響Fig.8 Effects of the crack propagation on the time-varying mesh stiffness of the mesh pair in the first gear stage

3.3 嚙合相位分析

本文所研究的復(fù)合行星輪系包含兩級齒輪系。整個系統(tǒng)中任意兩個不同的嚙合副，輪齒的接觸均可能存在時間差。因此，要分析的嚙合相位關(guān)系分為：⑴ 同一種嚙合副之間的嚙合相位關(guān)系；⑵ 同一級齒輪系不同種嚙合副之間的嚙合相位關(guān)系；⑶ 不同級齒輪系，各級嚙合副之間的嚙合相位關(guān)系。

同一種嚙合副之間的相位關(guān)系計算公式如表2所示。

表2 同一種嚙合副相對嚙合相位計算公式

圖9 嚙合示意圖Fig.9 Mesh sketch

(32)

(33)

(34)

第二級第一個太陽輪-行星輪嚙合副相對于第一級第一個太陽輪-行星輪嚙合副的相位差具體數(shù)值由制造安裝時決定，本文取0。

考慮嚙合相位差，各嚙合副綜合時變嚙合剛度的表達式為

kgt=kgt-γtmn

(35)

式中tmn為第n級齒輪系的嚙合周期。圖 10為考慮嚙合相位差的時變嚙合剛度曲線。

4 復(fù)合行星輪系固有特性分析

固有特性分析包括對固有頻率和振型的求解和分析。系統(tǒng)自由振動微分方程為

(36)

對上式進行廣義特征值問題求解

K-ω2M=0

(37)

式中K=Km+Kb，ωi為固有頻率。

通過MATLAB函數(shù)V,D=eigK,M，可得各階固有頻率及振型。

4.1 固有頻率

圖10 考慮嚙合相位差的時變嚙合剛度曲線Fig.10 Time-varying mesh stiffness considering the mesh phase relations

圖 11 各階固有頻率值隨時間的變化曲線Fig.11 The change curves of the natural frequencies with respect to the time

圖11展示了一個嚙合周期內(nèi)固有頻率隨時間變化曲線?？梢钥闯?，由于嚙合剛度的時變性，系統(tǒng)固有頻率發(fā)生改變。嚙合剛度對低階固有頻率影響較小，但對高階固有頻率有明顯的影響。由于嚙合相位、嚙合周期及重合度的影響，各嚙合副在同一時間處于不同的嚙合點，因此，各階固有頻率的改變不具有單調(diào)性，并且f31和f34產(chǎn)生模態(tài)躍遷現(xiàn)象[17]。

4.2 振動模態(tài)

對于行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，文獻[6-7]把單級行星輪系的振動劃分為三種：中心構(gòu)件平移振動模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式、行星輪振動模式(同組行星輪數(shù)量>3)。文獻[10]基于純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，把兩級行星輪系的振動劃分為整體扭轉(zhuǎn)振動模式和單排行星輪振動模式。考慮到所研究的復(fù)合兩級行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，根據(jù)振型矢量分析，本文將其振動劃分為：整體平移/扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)和單級齒輪系平移/扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)。圖 12～14展示了典型的振動模態(tài)。圖中，虛線表示各構(gòu)件的初始位置，實線表示各構(gòu)件振動后的位置。為清晰顯示，圖中未表示出行星架和齒圈的振動。進一步歸納可得到以下結(jié)論：

(1) 整體振動模態(tài)(圖 12)

整體平移振動模態(tài)。對應(yīng)的固有頻率具有二重根。各中心構(gòu)件只存在平移振動，不存在扭轉(zhuǎn)振動。兩級行星輪均以不同的幅度做振動。

整體扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)。對應(yīng)的固有頻率值為單根。各中心構(gòu)件均以不同幅度做扭轉(zhuǎn)振動，不存在平移振動。兩級行星輪均在振動，同一級同一組行星輪扭轉(zhuǎn)方向具有相同的振動。

圖12 整體振動模態(tài)Fig.12 Vibration mode of all the components

(2) 第一級齒輪系振動模態(tài)(圖 13)

圖13 第一級齒輪系振動模態(tài)Fig.13 Vibration mode of the first gear stage

第一級齒輪系平移振動模態(tài)。對應(yīng)著第34和35階固有頻率，其值為二重根。第一級中心構(gòu)件只做平移振動，不存在扭轉(zhuǎn)振動。與第一級中心構(gòu)件嚙合的行星輪以不同的幅度做振動。第二級構(gòu)件沒有明顯的振動。

第一級齒輪系扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)。對應(yīng)著第36階固有頻率，其值為單根。第一級中心構(gòu)件做扭轉(zhuǎn)振動，不存在平移振動。與第一級中心構(gòu)件嚙合的行星輪振動強烈，扭轉(zhuǎn)方向具有相同的振動。第二級構(gòu)件沒有明顯的振動。

(3) 第二級齒輪系振動模態(tài)(圖14)

圖14 第二級齒輪系振動模態(tài)Fig.14 Vibration mode of the second gear stage

第二級齒輪系平移振動模態(tài)。對應(yīng)著第37和38階固有頻率，其值為單根。第二級中心構(gòu)件只做平移振動，不存在扭轉(zhuǎn)振動。與第二級中心構(gòu)件嚙合的行星輪以不同的幅度做振動。第一級構(gòu)件沒有明顯的振動。

第二級齒輪系扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)。對應(yīng)著第39階固有頻率，其值為單根。第二級中心構(gòu)件做扭轉(zhuǎn)振動，不存在平移振動。與第二級中心構(gòu)件嚙合的行星輪振動強烈，扭轉(zhuǎn)方向具有相同的振動。第一級構(gòu)件沒有明顯的振動。

4.3 裂紋對固有頻率的影響

假設(shè)裂紋出現(xiàn)在太陽輪齒根處，沿直線從0到70%(100%裂紋程度對應(yīng)的總長度為9.42 mm)間隔為10%擴展，共得到8個樣本。對比各裂紋程度下同一時間點系統(tǒng)各階固有頻率，可得各階固有頻率隨裂紋擴展的變化曲線，如圖 15所示。裂紋對低階固有頻率(f1～f24)影響較小，對f25，f30，f31和f37影響較大，隨裂紋擴展，這些固有頻率呈明顯的下降趨勢，系統(tǒng)的二重根數(shù)減少。

圖15 太陽輪裂紋對固有頻率的影響Fig.15 Effects of the cracked sun gear on the natural frequencies

圖16 行星輪裂紋對固有頻率的影響Fig.16 Effects of the cracked planet gear on the natural frequencies

假設(shè)裂紋出現(xiàn)在行星輪齒根處，沿直線從0到70%(100%裂紋程度對應(yīng)的總長度為8.78 mm)間隔為10%擴展，圖 16展示了行星輪裂紋對固有頻率的影響。由圖可知，低階固有頻率對裂紋不敏感，高階固有頻率f25，f27，f28和f34隨裂紋擴展明顯下降，系統(tǒng)的二重根數(shù)減少。

因此，可將系統(tǒng)固有頻率作為一個有效的故障特征。

4.4 裂紋演化對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

運用四階Runge-Kutta數(shù)值分析方法求解得到系統(tǒng)在不同裂紋損傷程度下的振動響應(yīng)。圖17～19分別展示了太陽輪在正常、30%和50%裂紋損傷情況下的振動響應(yīng)的時間歷程、階次譜、相軌跡和Poincaré映射圖。

圖17 正常情況下太陽輪的振動響應(yīng)Fig.17 Vibration responses of the sun gear in healthy condition

圖18 30%裂紋情況下太陽輪的振動響應(yīng)Fig.18 Vibration responses of the sun gear with 30% crack

圖19 50%裂紋情況下太陽輪的振動響應(yīng)Fig.19 Vibration responses of the sun gear with 50% crack

太陽輪出現(xiàn)裂紋時，隨著太陽輪旋轉(zhuǎn)，損傷輪齒分別與配對的三個行星輪嚙合，引起周期為0.06 s的沖擊序列。早期裂紋(30%以內(nèi))引起的沖擊序列的幅值非常微弱，隨著裂紋擴展，沖擊序列的幅值有一定的增大，但很容易被其余構(gòu)件的振動響應(yīng)淹沒。

對比不同裂紋程度下的振動響應(yīng)的相軌跡及Poincaré映射圖可以看出，隨著裂紋的擴展，相軌跡曲線范圍顯著的向外擴展；Poincaré截面上的映射點的離散程度也明顯的增大。并且，即使在裂紋的早期階段(30%以內(nèi))，相軌跡及Poincaré映射圖的變化也非常明顯。因此，相軌跡和Poincaré映射圖可以更有效地指示早期裂紋的產(chǎn)生及對其演化程度進行跟蹤。

以上分析為工程中復(fù)合行星輪系故障診斷提供了理論依據(jù)。

5 結(jié) 論

(1) 以復(fù)合行星輪系為研究對象，建立了平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，推導(dǎo)出系統(tǒng)運動矩陣微分方程；基于懸臂梁模型及嚙合原理，推導(dǎo)了時變嚙合剛度及其嚙合相位的計算公式；對裂紋輪齒時變嚙合剛度算法進行了推導(dǎo)，分析了裂紋演化對系統(tǒng)時變嚙合剛度的影響。該故障動力學(xué)模型可用來分析裂紋演化對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

(2) 得到復(fù)合行星輪系在正常及裂紋情況下的固有特性。研究了時變嚙合剛度對固有頻率的影響，結(jié)果表明：高階固有頻率對時變嚙合剛度較為敏感，出現(xiàn)了模態(tài)躍遷現(xiàn)象。通過振型分析，將其振動模態(tài)劃分為整體平移、扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)和單級齒輪系平移、扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)，并歸納了各振動模態(tài)的基本特征。進一步分析了裂紋擴展對系統(tǒng)固有頻率的影響，研究表明：裂紋擴展對低階固有頻率影響較小，對某些高階固有頻率影響較大，隨著裂紋擴展，這些固有頻率值呈下降趨勢，系統(tǒng)的二重根數(shù)減少。

(3) 綜合運用時間歷程、階次譜、相軌跡、Poincaré映射圖分析了裂紋擴展對系統(tǒng)非線性振動響應(yīng)的影響。研究表明：損傷輪齒在時域中引起了具有一定時間間隔的周期性沖擊序列，在階次譜中形成以損傷輪齒故障特征頻率為間隔的邊頻帶。隨著裂紋擴展，相軌跡曲線范圍變寬，Poincaré 映射圖離散程度增大。相軌跡和Poincaré 映射圖更有效地指示了早期裂紋的產(chǎn)生及對其演化程度進行跟蹤。

[1] Kahraman A. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets[J]. Mechanism and Machine Theory, 2001, 36(8): 953—971.

[2] Kiracofe D R, Parker R G. Structured vibration modes of general compound planetary gear systems[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2006, 129(1): 1—16.

[3] Guo Y, Parker R G. Purely rotational model and vibration modes of compound planetary gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, 45(3): 365—377.

[4] Guo Y, Parker R G. Sensitivity of general compound planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2010, 132(1): 1—13.

[5] Guo Y, Parker R G. Analytical determination of mesh phase relations in general compound planetary gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2011, 46(12): 1869—1887.

[6] 宋軼民, 張 俊, 張 君, 等. 3K-II型直齒行星齒輪傳動的固有特性[J]. 機械工程學(xué)報, 2009, 45(7): 23—28.

Song Yimin, Zhang Jun, Zhang Jun, et al. Inherent characteristics of 3K-Ⅱ spur planetary gear trains[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(7): 23—28.

[7] 楊富春, 周曉君, 鄭津洋. 復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)綜合動力學(xué)模型及振動特性研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(8): 144—148.

Yang Fuchun, Zhou Xiaojun, Zheng Jinyang. Dynamic model and vibration characteristics of complex compound planetary gear set[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(8): 144—148.

[8] 劉振皓, 巫世晶, 王曉筍, 等. 基于增量諧波平衡法的復(fù)合行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(3): 117—122.

Liu Zhenhao, Wu Shijing, Wang Xiaosun, et al. Nonlinear dynamics of compound planetary gear sets based on incremental harmonic balance method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(3): 117—122.

[9] 巫世晶, 劉振皓, 王曉筍, 等. 基于諧波平衡法的復(fù)合行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性動態(tài)特性[J]. 機械工程學(xué)報, 2011, 47(1): 55—61.

Wu Shijing, Liu Zhenhao, Wang Shaosun, et al. Nonlinear dynamic characteristics of compound planetary gear train sets based on harmonic balance method[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(1): 55—61.

[10] 羅玉濤, 陳營生. 混合動力兩級行星機構(gòu)動力耦合系統(tǒng)動力學(xué)建模及分析[J]. 機械工程學(xué)報, 2012, 48(5): 70—75.

Luo Yutao, Chen Yingsheng. Dynamic modeling and analysis of power coupling system with two-stage planetary gear trains for hybrid system[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(5):70—75.

[11] 馬 銳, 陳予恕. 含裂紋故障齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)研究[J]. 機械工程學(xué)報, 2011, 47(21): 84—90.

Ma Rui, Chen Yushu. Nonlinear dynamic research on gear system with cracked failure[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(21):84—90.

[12] 王 鑫, 徐玉秀, 武寶林, 等. 兩級定軸齒輪斷齒故障的非線性耦合特性研究[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(13): 119—124.

Wang Xin, Xu Yuxiu, Wu Baolin, et al. Coupled nonlinear characteristic of a two-stage gear system with chipping fault[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(13): 119—124.

[13] Li G, Li F, Wang Y, et al. Fault diagnosis for a multistage planetary gear set using model-based simulation and experimental investigation[J]. Shock and Vibration, 2015, 2016: 1—19.

[14] Liang X, Zuo M J, Pandey M. Analytically evaluating the influence of crack on the mesh stiffness of a planetary gear set[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 76: 20—38.

[15] Liang X, Zuo M J, Hoseini M R. Vibration signal modeling of a planetary gear set for tooth crack detection[J]. Engineering Failure Analysis, 2015, 48: 185—200.

[16] Liang X, Zuo M J, Liu L. A windowing and mapping strategy for gear tooth fault detection of a planetary gearbox[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2016, 80: 445—459.

[17] 王世宇, 宋軼民, 沈兆光, 等. 行星傳動系統(tǒng)的固有特性及模態(tài)躍遷研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2005, 18(4): 412—417.

Wang Shiyu, Song Yimin, Shen Zhaoguang, et al. Research on natural characteristics and loci veering of planetary gear transmissions[J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(4): 412—417.