基于幾何代數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析

杜 鵑 吳洪濤 楊小龍 李 耀

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)

0 引言

機(jī)構(gòu)自由度是指機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)時(shí)所必須給定的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目[1]。自由度分析是機(jī)構(gòu)應(yīng)用的前提和基礎(chǔ)。然而，并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈，一般機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算采用的G-K公式很難得以正確應(yīng)用。黃真等[2-3]提出的基于約束螺旋理論的自由度分析方法和修正G-K公式是目前最通用也是最有效的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析方法，能解決幾乎所有并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度問題，包括復(fù)雜過約束機(jī)構(gòu)，如Bennett機(jī)構(gòu)等[4]。但是基于約束螺旋理論的自由度分析方法在求互易螺旋時(shí)需要求解線性方程組，雖然數(shù)值求解簡(jiǎn)單，卻很難得到符號(hào)或解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[5-6]基于幾何代數(shù)提出了一種新的自由度分析方法，得到了并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的符號(hào)表達(dá)式。螺旋理論中互易螺旋的求解，幾何代數(shù)中可以通過對(duì)偶的符號(hào)表達(dá)式來實(shí)現(xiàn)，該過程不需要求解線性方程，只涉及幾何代數(shù)框架下的加法和乘法。不僅如此，由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間是各支鏈運(yùn)動(dòng)空間的交集，然而集合并沒有交集運(yùn)算法則，因此基于螺旋理論的自由度分析方法需要首先求解互易螺旋，即支鏈集合的補(bǔ)集，再通過對(duì)補(bǔ)集求并集的運(yùn)算法則，間接得到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式。但是在幾何代數(shù)框架下，集合的交集和并集均有直接的運(yùn)算法則，即交集運(yùn)算可以通過內(nèi)積運(yùn)算法則實(shí)現(xiàn)，而并集運(yùn)算可以通過外積運(yùn)算法則實(shí)現(xiàn)[7]。因此基于幾何代數(shù)的自由度分析方法能通過對(duì)支鏈運(yùn)動(dòng)直接求內(nèi)積得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度，不需要通過求解補(bǔ)集，即約束螺旋間接得到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)空間，減少自由度求解步驟，使運(yùn)算更簡(jiǎn)潔。

但是，無論是基于螺旋理論還是幾何代數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析方法主要是基于手工求解，難以滿足快速分析成千上萬機(jī)構(gòu)自由度的需求。機(jī)構(gòu)的構(gòu)型創(chuàng)新是機(jī)械裝備原始性創(chuàng)新的重要內(nèi)容，構(gòu)型綜合是構(gòu)型創(chuàng)新的有效手段[8-9]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，建立基于計(jì)算機(jī)技術(shù)的數(shù)字化構(gòu)型綜合理論，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)概念創(chuàng)新設(shè)計(jì)的自動(dòng)化、可視化、網(wǎng)絡(luò)化和智能化是機(jī)構(gòu)學(xué)研究的趨勢(shì)。而并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度數(shù)字化、程序化、自動(dòng)化分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)字化結(jié)構(gòu)綜合的基礎(chǔ)。曹文熬[10]基于螺旋理論提出了一種空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析算法，并成功應(yīng)用于數(shù)字化結(jié)構(gòu)綜合中。該方法通過螺旋之間的垂直、平行等幾何關(guān)系，在已知支鏈第一個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋的情況下，自動(dòng)求解支鏈的所有螺旋，從而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析。文獻(xiàn)[5-6]基于幾何代數(shù)的自由度分析方法也可利用類似過程，得到自動(dòng)化分析算法。但是這些方法都無法得到符號(hào)表達(dá)式，因?yàn)橥ㄟ^幾何關(guān)系如垂直、平行等求解相鄰螺旋仍然是一個(gè)線性方程求解過程。事實(shí)上，任意一個(gè)螺旋都可通過另一螺旋的旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)得到，而幾何代數(shù)的另一優(yōu)勢(shì)就是能符號(hào)描述幾何元素的剛體運(yùn)動(dòng)。但是，文獻(xiàn)[5-6]所用的R(6，0)幾何代數(shù)空間，由于不是零向量空間，因而沒有平移變換的符號(hào)表達(dá)式[7]，從而無法用符號(hào)描述運(yùn)動(dòng)螺旋間的幾何關(guān)系，進(jìn)而無法通過符號(hào)表達(dá)式實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的自動(dòng)化分析。

R(3,3)幾何代數(shù)空間[11-12]與R(6,0)幾何代數(shù)空間同為六維幾何代數(shù)空間。R(3,3)不僅具有R(6,0)的優(yōu)勢(shì)，還存在螺旋的符號(hào)表達(dá)式，從而可實(shí)現(xiàn)符號(hào)描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度，同時(shí)還能夠符號(hào)描述平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。本文基于R(3,3)幾何代數(shù)空間提出一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析算法。

1 R(3,3)幾何代數(shù)

1.1 幾何代數(shù)

幾何代數(shù)又稱為Clifford代數(shù)，由CLIFFORD[13]在1876年首次提出，隨后HESTENES[14]將Clifford代數(shù)進(jìn)行幾何意義上的解釋，使之更加完善。幾何代數(shù)是一種完全不同于傳統(tǒng)代數(shù)的計(jì)算框架，已被廣泛應(yīng)用到機(jī)器視覺[15-16]、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[17]和機(jī)器人學(xué)[18]等領(lǐng)域。

n維幾何代數(shù)空間表示該空間由n個(gè)正交基e1,e2,…,en組成。然而與歐幾里得空間不同的是，幾何代數(shù)空間中基的長(zhǎng)度可以為正，可以為負(fù)，也可以為零。一般為

幾何積是幾何代數(shù)特有的乘積運(yùn)算符。向量a和向量b的幾何積定義為

ab=a·b+a∧b

其中a·b表示向量a和向量b的內(nèi)積，a∧b表示向量a和向量b的外積。關(guān)于內(nèi)積和外積，有以下運(yùn)算法則

eiei=±1,0ei∧ei=0
eiej=0ei∧ej=-ej∧ei(i≠j)

同時(shí)，在幾何代數(shù)空間中，向量a的長(zhǎng)度可以用內(nèi)積描述為

‖a‖2=aa

(1)

通常，用eijk簡(jiǎn)化表示ei∧ej∧ek。由n個(gè)單位基組成的偽標(biāo)量定義為

I=e1∧e2∧…∧en=e12…n

向量A的對(duì)偶為A的正交補(bǔ)，定義為

D=AI-1

其中I-1=en…21

式中I-1——偽標(biāo)量I的逆

更多關(guān)于幾何代數(shù)的定義和定理見文獻(xiàn)[19]。

1.2 R(6,0)幾何代數(shù)空間

文獻(xiàn)[5-6]基于R(6,0)幾何代數(shù)空間提出了一種新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析算法。R(6,0)是一個(gè)六維幾何代數(shù)空間。設(shè)e1、e2、e3、e4、e5和e6是R6的一組單位正交基，其中

則螺旋理論中的螺旋

$=(v1,v2,v3;b1,b2,b3)

在R(6,0)幾何代數(shù)空間中可寫成

l=v1e1+v2e2+v3e3+b1e4+b2e5+b3e6

由式(1)可知，l的長(zhǎng)度為

在幾何代數(shù)中，無論是旋轉(zhuǎn)算子還是平移算子，都具有保長(zhǎng)性，即向量經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后，自身長(zhǎng)度保持不變。然而在R(6,0)幾何代數(shù)空間中，若t為平移向量，則

‖l+t‖2=(l+t)(l+t)=
‖l‖2+‖t‖2+2lt≠‖l‖2

因此，R(6,0)幾何代數(shù)空間中沒有平移算子。同時(shí)，幾何代數(shù)空間中向量具有平移算子的前提是該向量的長(zhǎng)度為零，稱為零向量[7]。例如，共形幾何存在平移算子是由于共形幾何中的向量是零向量，即

因而，為了將平移算子和旋轉(zhuǎn)算子應(yīng)用于螺旋，從而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析的符號(hào)描述，需要尋找一個(gè)新的空間，該空間需要既能符號(hào)描述螺旋，還能符號(hào)描述對(duì)螺旋進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)的剛體變換。

1.3 R(3,3)幾何代數(shù)空間

但是這一組正交基向量主要用于計(jì)算，不用于幾何元素的描述。為了描述螺旋，定義以下一組基向量，稱為Witt基[20]。令

計(jì)算可知，該組基向量為零向量，因?yàn)?/p>

同時(shí)該組基向量并不是兩兩正交，其中

e1e4=e2e5=e3e6=-1

那么，螺旋理論中的螺旋

$=(v1,v2,v3;b1,b2,b3)

在R(3,3)幾何代數(shù)空間中可寫成

l=v1e1+v2e2+v3e3+b1e4+b2e5+b3e6

這里，l也為零向量。

R(3,3)幾何代數(shù)空間不僅能符號(hào)描述螺旋，還能符號(hào)描述剛體運(yùn)動(dòng)。單位矢量為t=(t1,t2,t3)，平移距離為a的平移算子在R(3,3)幾何代數(shù)空間為

(2)

旋轉(zhuǎn)描述較之于平移描述略微復(fù)雜。繞過原點(diǎn)u=(u1,u2,u3)軸，旋轉(zhuǎn)角度為θ的旋轉(zhuǎn)算子在R(3,3)幾何代數(shù)空間為

R=1+sinθB+(1-cosθ)B2

(3)

對(duì)于R(3,3)模型中的任意螺旋，其剛體運(yùn)動(dòng)都可描述成

(4)

(5)

不僅如此，若螺旋li+1為螺旋li繞u軸旋轉(zhuǎn)θ后沿t軸平移a所得螺旋，則R(3,3)形式可寫成

(6)

因此，任意一個(gè)螺旋都可通過另一螺旋的剛體變換得到。例如螺旋l2=e2+2e4+e6可以由螺旋l1=e1+e6沿z軸旋轉(zhuǎn)90°后再沿z軸平移2個(gè)單位得到，即

基于螺旋之間剛體運(yùn)動(dòng)符號(hào)表達(dá)式，可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在已知分支第一個(gè)運(yùn)動(dòng)副螺旋的情況下，自動(dòng)求解該分支所有螺旋系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的自動(dòng)化分析算法。

2 基于幾何代數(shù)的支鏈運(yùn)動(dòng)空間自動(dòng)求解

2.1 構(gòu)型描述

為實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析，首先需要建立便于計(jì)算機(jī)程序識(shí)別的字符串構(gòu)型描述，這一字符串描述包含機(jī)構(gòu)自由度分析所需的所有必要信息。螺旋的相關(guān)性能通過初等變換的方式來判定，但從幾何角度判定更加簡(jiǎn)潔[21]?；趲缀侮P(guān)系的并聯(lián)機(jī)構(gòu)字符串描述更加直接。使用文獻(xiàn)[10]中的字符串定義方法。表1為相鄰軸線之間的6種幾何關(guān)系以及符號(hào)描述，其中垂直為兩螺旋異面情況，正交為兩螺旋共面情況。

表1 相鄰軸線幾何關(guān)系的描述Tab.1 Representation of geometric relationships between adjacent axes

機(jī)構(gòu)中常見的單自由度運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)和移動(dòng)副(P)。復(fù)合副如球副(S)、虎克鉸(U)和圓柱副(C)都能看作是單自由度運(yùn)動(dòng)副的組合。一般地，將分支看作只由單自由度運(yùn)動(dòng)副組成，并將單自由度運(yùn)動(dòng)副從靜平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)依次編號(hào)為1,2,…,t。若一個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副正交，那么字符串根據(jù)表1可描述為P+R。球鉸(S)可描述為R+R*R，其中*表示正交于前兩個(gè)軸線所成平面。并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RPS有3個(gè)相同的RPS分支運(yùn)動(dòng)鏈，其中R與定平臺(tái)相連接；P為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，與R正交；S與動(dòng)平臺(tái)相連接。因此每個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈的計(jì)算機(jī)構(gòu)型字符串可以描述為R+P|R+R*R。

通過幾何關(guān)系分析可知，任意軸線都可由另一已知軸線通過平移和旋轉(zhuǎn)的剛體變換得到。例如若一個(gè)螺旋平行于另一個(gè)螺旋，那么該螺旋可以由另一個(gè)螺旋平移得到。利用R(3,3)幾何代數(shù)空間不僅能符號(hào)描述螺旋，還能符號(hào)描述螺旋的剛體運(yùn)動(dòng)的優(yōu)勢(shì)，基于螺旋間的幾何關(guān)系，建立由已知螺旋求解未知螺旋的符號(hào)表達(dá)式，可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在已知分支第一個(gè)運(yùn)動(dòng)副螺旋的情況下，自動(dòng)求解該分支所有螺旋系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的自動(dòng)化算法。

2.2 分支螺旋系自動(dòng)求解算法

不失一般性，假定第i個(gè)運(yùn)動(dòng)軸線在R(3,3)幾何代數(shù)空間中的表達(dá)式為

li=u1e1+u2e2+u3e3+b1e4+b2e5+b3e6

那么該運(yùn)動(dòng)軸線的方向矢量為u=(u1,u2,u3)。令u⊥=v=(v1,v2,v3)，由于vu=0，v2=1，因此垂直矢量v有一個(gè)自由度。根據(jù)不同的幾何關(guān)系，可寫出第i+1個(gè)運(yùn)動(dòng)軸線的符號(hào)表達(dá)式li+1。第i+1個(gè)運(yùn)動(dòng)副與第i運(yùn)動(dòng)副有如下關(guān)系：

(1)共軸，則li+1相當(dāng)于li沿u軸平移a的剛體變換后所得。

(2)平行，則li+1相當(dāng)于li沿t=(t1,t2,t3)軸平移a的剛體變換后所得。

(3)正交，則li+1相當(dāng)于li繞過交點(diǎn)p=(p1,p2,p3)、方向?yàn)関⊥的軸旋轉(zhuǎn)90°的剛體變換后所得。

(4)相交，則li+1相當(dāng)于li繞過交點(diǎn)p=(p1,p2,p3)、方向?yàn)閣=(w1,w2,w3)的軸旋轉(zhuǎn)θ的剛體變換后所得。

(5)垂直，則li+1相當(dāng)于li繞過垂足p=(p1,p2,p3)、方向?yàn)関⊥的軸旋轉(zhuǎn)90°，然后沿v⊥平移a的剛體變換后所得。

(6)異面，則li+1相當(dāng)于li方向?yàn)閣=(w1,w2,w3)的軸旋轉(zhuǎn)θ，然后沿t=(t1,t2,t3)平移a的剛體變換后所得。

利用1.3節(jié)中R(3,3)幾何代數(shù)空間的剛體運(yùn)動(dòng)符號(hào)描述，得到根據(jù)已知螺旋求解未知螺旋的符號(hào)表達(dá)式，見表2。

表2 未知螺旋求解符號(hào)表達(dá)式Tab.2 Symbolic expressions of unknown twists

表中

在自動(dòng)求得分支所有運(yùn)動(dòng)軸線li的符號(hào)表達(dá)式后，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)副類型得到該分支的運(yùn)動(dòng)螺旋。不失一般性，若運(yùn)動(dòng)軸線表達(dá)式為

l=u1e1+u2e2+u3e3+b1e4+b2e5+b3e6

那么如果運(yùn)動(dòng)副類型為轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)，運(yùn)動(dòng)螺旋S=l；如果運(yùn)動(dòng)副類型為平移副(P)，運(yùn)動(dòng)螺旋S=F(l)=u1e4+u2e5+u3e6。

通過以上分析，以字符串描述為基礎(chǔ)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)副軸線符號(hào)表達(dá)式，可以實(shí)現(xiàn)分支運(yùn)動(dòng)螺旋的計(jì)算機(jī)程序化、自動(dòng)化求解，算法流程圖如圖1所示。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系自動(dòng)化算法流程Fig.1 Flow chart of automatic motion analysis of limbs using geometry algebra

3 基于幾何代數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析

不同于螺旋理論沒有直接求解集合交集的運(yùn)算法則，在幾何代數(shù)框架下，集合的交集和并集可以通過內(nèi)積和外積運(yùn)算法則直接得到。因此，基于幾何代數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析不需要通過求解約束螺旋間接得到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)空間，從而簡(jiǎn)化自由度求解步驟。因此在得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈自動(dòng)化求解符號(hào)表達(dá)后，可以通過幾何代數(shù)符號(hào)描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度。

根據(jù)第2節(jié)中的討論，R(3,3)幾何代數(shù)空間不僅能描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)的螺旋運(yùn)動(dòng)，還能對(duì)螺旋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)的剛體變換的符號(hào)描述。同時(shí)R(3,3)幾何代數(shù)與R(6,0)幾何代數(shù)一樣，均為六維幾何代數(shù)空間，具有相同的旋量表達(dá)式；并且2個(gè)空間有著相同的內(nèi)積和對(duì)偶表達(dá)式。因而在自動(dòng)求解支鏈螺旋符號(hào)表達(dá)式后，R(3,3)幾何代數(shù)和R(6,0)幾何代數(shù)有著相同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度符號(hào)表達(dá)式。

綜上所述，并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化算法分為以下幾個(gè)步驟：

(1)利用螺旋之間的幾何關(guān)系，基于R(3,3)幾何代數(shù)剛體運(yùn)動(dòng)符號(hào)表達(dá)式，自動(dòng)寫出第i個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈上第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副在幾何代數(shù)框架下螺旋表達(dá)式Smij。

(2)利用幾何代數(shù)能通過外積運(yùn)算法則求解集合并集的優(yōu)勢(shì)，計(jì)算出第i個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間

Smi=Smi1∪Smi2∪…∪Smij∪…∪Smik=
Smi1∧Smi2∧…∧Smij∧…∧Smik

其中∧為幾何代數(shù)外積符號(hào)。若運(yùn)動(dòng)副線性相關(guān)，即運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)空間有交集，表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有冗余驅(qū)動(dòng)力，此時(shí)需要對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)力在幾何代數(shù)空間中進(jìn)行判別和剔除。

(3)利用幾何代數(shù)能通過內(nèi)積和對(duì)偶運(yùn)算法則求解集合交集的優(yōu)勢(shì)計(jì)算出動(dòng)平臺(tái)許動(dòng)子空間

Sm=Sm1∩Sm2∩…∩Smi∩…∩Smn

其中，當(dāng)2個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間的并集為I6時(shí)，交集可寫為

其中·為幾何代數(shù)內(nèi)積符號(hào)。當(dāng)兩個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間的并集不等于I6時(shí)，需要使用兩者的并集替代I6。

所求的動(dòng)平臺(tái)許動(dòng)子空間符號(hào)表達(dá)式基的維度即為并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度個(gè)數(shù)，基的外積組成即為并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度運(yùn)動(dòng)方向。例如，若動(dòng)平臺(tái)許動(dòng)子空間S=e1∧e2∧e6，則表示該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，運(yùn)動(dòng)方向分別是沿x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)，以及繞z軸的平移。并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化算法流程圖見圖2。

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化算法流程Fig.2 Flow chart of mobility analysis using geometry algebra

4 基于幾何代數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析算法驗(yàn)證

4.1 算法可行性一般性驗(yàn)證

為了對(duì)本文提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化求解算法的正確性進(jìn)行一般性驗(yàn)證，需對(duì)該算法進(jìn)行可行性分析:

(1)并聯(lián)機(jī)構(gòu)任意運(yùn)動(dòng)副的螺旋均可在R(3,3)幾何代數(shù)空間進(jìn)行描述。

(2)任意螺旋均可通過已知螺旋的剛體運(yùn)動(dòng)得到。

(3)在已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈第1個(gè)運(yùn)動(dòng)副螺旋以及支鏈各運(yùn)動(dòng)副之間幾何關(guān)系的情況下，該支鏈所有螺旋系能夠符號(hào)描述，并且能利用符號(hào)描述進(jìn)行自動(dòng)化求解。

(4)在自動(dòng)求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有螺旋系的幾何代數(shù)表達(dá)式后，可以通幾何代數(shù)框架下的運(yùn)算法則得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度和運(yùn)動(dòng)方向的符號(hào)表達(dá)式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化算法。

證明如下：

(1)由文獻(xiàn)[12]可知，R(3,3)幾何代數(shù)中6個(gè)一維向量對(duì)應(yīng)旋量中的6個(gè)參數(shù)，即e1、e2、e3表示旋轉(zhuǎn)，e4、e5、e6表示移動(dòng)；因此旋量與R(3,3)空間存在一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，并聯(lián)機(jī)構(gòu)任意運(yùn)動(dòng)副的螺旋均可在R(3,3)空間中進(jìn)行描述。

(2)任意兩旋量之間只存在6種幾何關(guān)系，即共軸、平行、正交、相交、垂直、異面，而這6種幾何關(guān)系均可通過平移和旋轉(zhuǎn)的剛體運(yùn)動(dòng)來描述，例如某螺旋與一已知螺旋異面，其中兩螺旋距離為d，夾角為θ，那么該螺旋可以通過已知螺旋繞公垂線旋轉(zhuǎn)θ后再沿著公垂線平移d后得到。

(3)在文獻(xiàn)[11]中已證明，通過R(3,3)描述的旋量存在平移和旋轉(zhuǎn)的剛體運(yùn)動(dòng)符號(hào)表達(dá)式。因此在R(3,3)幾何代數(shù)空間中，已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈第1個(gè)運(yùn)動(dòng)副螺旋以及支鏈各運(yùn)動(dòng)副之間幾何關(guān)系的情況下，可以通過剛體運(yùn)動(dòng)符號(hào)表達(dá)式描述該支鏈所有螺旋，從而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)螺旋系的自動(dòng)化計(jì)算。

(4)在自動(dòng)求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有螺旋系的幾何代數(shù)表達(dá)式后，可以通過幾何代數(shù)的并集和交集運(yùn)算法則求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度和運(yùn)動(dòng)情況，這在文獻(xiàn)[5-6]中已得到證明。這是因?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)各支鏈的運(yùn)動(dòng)是該支鏈所有螺旋的并集，同時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是各支鏈運(yùn)動(dòng)的交集；而在幾何代數(shù)框架下可以通過外積運(yùn)算法則符號(hào)描述螺旋并集，內(nèi)積運(yùn)算法則符號(hào)描述螺旋交集，從而得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的符號(hào)表達(dá)式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化算法。

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化求解算法包含的4個(gè)步驟均證明可行的情況下可證明該算法可行。

4.2 算法可行性例子驗(yàn)證

基于gaigen 2.5幾何代數(shù)分析軟件包[22]，生成滿足R(3,3)幾何代數(shù)運(yùn)算法則的源文件，基于C++平臺(tái)實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析算法，從而驗(yàn)證該算法的正確性、有效性。

以3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例驗(yàn)證并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化分析算法。3-RPS有3個(gè)相同的RPS分支運(yùn)動(dòng)鏈，如圖3所示，每個(gè)運(yùn)動(dòng)分支的計(jì)算機(jī)構(gòu)型字符串可以描述為R+P|R+R*R。

圖3 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic diagram of 3-RPS parallel mechanism

首先對(duì)第1個(gè)分支進(jìn)行自動(dòng)求解。不失一般性，令該分支的第1個(gè)運(yùn)動(dòng)副過點(diǎn)B1=(B1x,B1y,B1z)，運(yùn)動(dòng)軸線為

l11=u111e1+u112e2+u113e3+b111e4+
b112e5+b113e6

由計(jì)算機(jī)構(gòu)型字符串可知，該運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副，因此第1個(gè)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)螺旋為S11=l11。

第2個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋和第1個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋正交，交點(diǎn)為p1，那么由表2可知

該運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副，因此運(yùn)動(dòng)螺旋為

S12=F(l12)=u121e4+u122e5+u123e6

同理可知，第3個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋和第2個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋共軸，運(yùn)動(dòng)螺旋為

第4個(gè)運(yùn)動(dòng)副與第3個(gè)運(yùn)動(dòng)副正交，交點(diǎn)為p2，運(yùn)動(dòng)螺旋為

第5個(gè)運(yùn)動(dòng)副與第3個(gè)和第4個(gè)運(yùn)動(dòng)副正交，交點(diǎn)為p2，運(yùn)動(dòng)螺旋為

那么，第1個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間為

S1=S11∪S12∪S13∪S14∪S15=
S11∧S12∧S13∧S14∧S15

同理可求得第2、3個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間S2、S3。

因而3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度符號(hào)表達(dá)式為

S=((S1I-1)S2I-1)S3=
a1e123+a2e124+a3e125+a4e126+a5e134+
a6e135+a7e136+a8e145+a9e146+a10e156+
a11e234+a12e235+a13e236+a14e245+a15e246+
a16e256+a17e345+a18e346+a19e356+a20e456

其中

eijk=ei∧ej∧ek

式中ai——標(biāo)量系數(shù)

由S的符號(hào)表達(dá)式可知，動(dòng)平臺(tái)許動(dòng)子空間為一個(gè)3維基(3-blade)，因此3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3。

即使相同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位形下自由度和運(yùn)動(dòng)情況也可能不同?；趲缀未鷶?shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度自動(dòng)化算法不僅能求解某種機(jī)構(gòu)在通用參數(shù)下的自由度，還能求解在已知連桿參數(shù)尺寸和位置下的自由度和運(yùn)動(dòng)情況。以3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，對(duì)本文提出方法進(jìn)行驗(yàn)證。

圖4 3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于平面運(yùn)動(dòng)位形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.4 Schematic diagram of 3-URU parallel mechanism in planar mode

如圖4所示，若3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)B1B2B3為外接圓半徑為3的等邊三角形，外接圓圓心為O；3個(gè)基座A1、A2、A3分布在外接圓半徑為5的等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上，外接圓圓心為O1；桿長(zhǎng)AiCi為4，桿長(zhǎng)BiCi為3，i=1,2,3；每個(gè)運(yùn)動(dòng)分支的計(jì)算機(jī)構(gòu)型字符串描述為R⊥R|R|R⊥R。

由文獻(xiàn)[21]可知，若動(dòng)平臺(tái)B1B2B3與3個(gè)基座A1A2A3共面，且2個(gè)外接圓圓心O、O1不重合，如圖4所示，那么該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，分別為沿x、y的平移和繞z軸的旋轉(zhuǎn)。

若第1個(gè)基座的第1個(gè)運(yùn)動(dòng)副過點(diǎn)(5,0,0)，方向?yàn)?1,0,0)，運(yùn)動(dòng)軸線為

S11=l11=e1

第2個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋和第1個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋正交，交點(diǎn)為(5,0,0)，那么由表2可知

同理可知，第3個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋和第2個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋平行且過點(diǎn)(4.47,3.96,0)，運(yùn)動(dòng)螺旋為

第4個(gè)運(yùn)動(dòng)副與第3個(gè)運(yùn)動(dòng)副平行且過點(diǎn)(3,0,0)，運(yùn)動(dòng)螺旋為

第5個(gè)運(yùn)動(dòng)副與第4個(gè)運(yùn)動(dòng)副正交，交點(diǎn)為(3,0,0)，運(yùn)動(dòng)螺旋為

那么，第1個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間為

S1=S11∧S12∧S13∧S14∧S15=9e12345+9e13456

同理可求得第2、3個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈末端的許動(dòng)子空間分別為

S2=10.31e12345+5.16e13456-8.93e23456
S3=10.06e12345

因而3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度符號(hào)表達(dá)式為

S=((S1I-1)S2I-1)S3=a(e3∧e4∧e5)

式中a——標(biāo)量系數(shù)

由S的符號(hào)表達(dá)式可知，在該運(yùn)動(dòng)空間情況下，3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，分別為沿x、y軸的平移和繞z軸的旋轉(zhuǎn)。

圖5 3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于平移運(yùn)動(dòng)位形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.5 Schematic diagram of 3-URU parallel mechanismin translation mode

同理可求，若動(dòng)平臺(tái)B1B2B3與3個(gè)基座A1A2A3平行但不共面，且2個(gè)外接圓圓心O、O1不重合，如圖5所示，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度符號(hào)表達(dá)式為

S=((S1I-1)S2I-1)S3=a(e4∧e5∧e6)

3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，分別為沿x、y、z軸的平移。

若動(dòng)平臺(tái)B1B2B3與3個(gè)基座A1A2A3不平行，但2個(gè)外接圓圓心O、O1重合，如圖6所示，那么根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度符號(hào)表達(dá)式可知，3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，分別為繞x、y、z軸的旋轉(zhuǎn)。

基于本文提出的算法對(duì)3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位形下自由度分析所得結(jié)論與文獻(xiàn)[23]中的結(jié)論相同，從而證明本文算法可行。

5 結(jié)論

(1)R(3,3)幾何代數(shù)空間不僅與R(6，0)空間一樣能夠描述運(yùn)動(dòng)螺旋，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的符號(hào)表達(dá)式，而且R(3,3)空間具有平移、旋轉(zhuǎn)剛體運(yùn)動(dòng)的符號(hào)表達(dá)式，從而能夠?qū)崿F(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度自動(dòng)化算法。

圖6 3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)位形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.6 Schematic diagram of 3-URU parallel mechanism in orientation mode

(2)提出的算法不僅具有基于幾何代數(shù)算法的優(yōu)點(diǎn)，即不需要求解線性方程組，能給出自動(dòng)化求解的符號(hào)表達(dá)式，算法簡(jiǎn)單，效率高，同時(shí)由于幾何代數(shù)具有集合求交的運(yùn)算法則，因而在自由度分析過程中可以直接通過各支鏈求交運(yùn)算得到自由度運(yùn)動(dòng)空間，不需要通過約束螺旋間接得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度。并且由于即使并聯(lián)機(jī)構(gòu)字符串構(gòu)型描述相同，機(jī)構(gòu)也可能會(huì)有不同的自由度，本文提出的算法不僅能求解機(jī)構(gòu)在通用參數(shù)情況下的自由度，還能求解機(jī)構(gòu)在特定參數(shù)和位置情況下的自由度和運(yùn)動(dòng)情況。

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