2017年12月號(hào)問題解答

(解答由問題提供人給出)

2396形如n=16a(16b+15)(a,b∈N)的正整數(shù)不能表示成14個(gè)整數(shù)的四次方和.

(浙江省富陽二中許康華 311400)

證明由x4≡0,1(mod16),得對(duì)任意的x1,x2,…,x14∈Z,都有

假設(shè)當(dāng)a=l∈N,?b∈N結(jié)論都成立.

當(dāng)a=l+1時(shí),如果存在某個(gè)b∈N,使得

其中x1,x2,…,x14∈Z,則

所以x1≡x2≡…≡x14≡0(mod2),

這與歸納假設(shè)矛盾.

所以當(dāng)a=l+1時(shí),對(duì)一切k∈N,結(jié)論都成立.

由數(shù)學(xué)歸納法知,結(jié)論成立.

2397如圖，四邊形ABCD對(duì)角線相交于點(diǎn)O且AO=λOC．記∠ABO=∠1，∠ADO=∠2，∠CBO=∠3，∠CDO=∠4．求證：

(重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué)吳波401249)

而AO=λOC，由此易得S△ABD=λS△CBD.

證畢．

2398設(shè)a,b,c>0,a+b+c≤3,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心安振平712000)

證明記S=(a2+b2+c2+1)(abc).

應(yīng)用5元算術(shù)——幾何平均值不等式，得

S2=(a2+b2+c2+1)2(abc)2

(4ab)(4bc)(4ca)

所以S=(a2+b2+c2+1)(abc)≤4.

2399如圖，已知⊙O上四點(diǎn)A、B、C、D，BA交CD于E，AC交BD于F，EF交⊙O于H、G，K為EF中點(diǎn)，以點(diǎn)A、K、C作圓交EG于T，求證：HF=TG．

(江西師范高等?？茖W(xué)校王建榮335000，溫州私立第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校劉沙西325000)

證明如圖，由相交弦定理

KF·FT=AF·FC=HF·FG

和EF=2KF，因此

HF=TG

?KF·FT+KF·TG

=AF·FC+KF·HF

?KF(FT+TG)=HF·FG+KF·HF

?KF·FG-KF·HF=HF·FG

由面積比可知

滿足三弦共點(diǎn)定理，

2400設(shè)△ABC中的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院李永利467000)

證明設(shè)△ABC的半周長(zhǎng)為p，

則a+b+c=2p，abc=4Rrp．

下面分4步進(jìn)行證明.

(2)

2.由三元均值不等式

(3)

(4)

?(a+b+c)3≥27abc

而上式顯然成立，故(4)式成立．

(5)

由(2)，(3)，(4)，(5)四式可知(1)式成立．

2018年1月號(hào)問題

(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

2401在任意△ABC中，求證：

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校黃兆麟300456)

2402在△ABC中,a、b、c、ta、tb、tc,R、r分別表示三邊長(zhǎng)，內(nèi)角平分線長(zhǎng)，外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑. 則有

(浙江湖州市雙林中學(xué)李建潮313012)

2403已知在△ABC中，∠C=150°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D，邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E，使得AD=BE=AB，如圖所示．求證：

OI⊥DE，且OI=DE．

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué)張留杰100020)

試求f(O)+f(H)的所有可能取值.

(河南省輝縣市一中賀基軍453600)

(安徽省太和縣第二小學(xué)任迪慧236635)