孫傳正

(江蘇省南京市人民中學　210000)

一、數(shù)系：理應擴充

1. 理念重溫

本節(jié)課旨在讓學習者回顧數(shù)系的擴充過程，進而激發(fā)學者探索欲望.本節(jié)課學習之前，學生的知識儲備停留在實數(shù)集，在實數(shù)集范圍內(nèi)數(shù)集之間的內(nèi)在包含關系都是比較明確的，但是對數(shù)的發(fā)展歷程缺乏系統(tǒng)的認知，知識體系還未形成.另一方面,從方程解的角度來看，學生只能在實數(shù)集范圍內(nèi)進行求解，缺乏嚴謹?shù)乃季S習慣.所以本節(jié)課讓學生在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運算規(guī)則、方程求根)在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.本節(jié)課也需要理解復數(shù)的基本概念.一方面讓學生根據(jù)現(xiàn)實生活和數(shù)學內(nèi)部發(fā)展需求，體會虛數(shù)引入的必要性和合理性．另一方面，讓學生體驗復數(shù)的產(chǎn)生過程，培養(yǎng)學生觀察發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導學生從生活中挖掘數(shù)學內(nèi)容，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)意識和應用意識，提高學習數(shù)學的興趣，感受數(shù)學的魅力.

2．課例重現(xiàn)

(1)創(chuàng)設情境——形成問題

以卡爾丹的困惑入手：

能否將10分成兩部分，且使兩者的乘積為40？

貫穿歷史長河，看看數(shù)集是如何發(fā)展的．

(2)重溫“擴充”——分析問題

問題1數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴充？

設計意圖：幫助學生進行知識梳理，感受由于生活實際需要，數(shù)學內(nèi)部發(fā)展都要引入新數(shù)，擴充數(shù)集．

問題2這幾次數(shù)系的擴充共同特點是什么？

設計意圖：讓學生感受到數(shù)系擴充的合理性，并能提煉出數(shù)系擴充的一般原則：“①引入新數(shù)；②在新的數(shù)集中，原有的運算及其性質仍然適用，同時解決了某些運算在原來數(shù)集中不是總可以實施的矛盾．”為數(shù)系的再一次擴充以及如何擴充打好了堅實的基礎；同時，有利于培養(yǎng)學生的歸納、概括與表達能力．

歷史在前進，社會在發(fā)展，生活中的矛盾不斷涌現(xiàn)，如何解決卡爾丹的困惑．

(3)引入新元——解決問題

問題2五百多年前擺在數(shù)學家面前的困惑如何破解？

引入一個新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：

①i2=-1;

②實數(shù)可以與i進行四則運算，運算時，原有的加、乘運算律仍然成立.

介紹數(shù)學史，讓學生了解相關數(shù)學發(fā)展史，激發(fā)學生的學習興趣.

i是imagination(想象力)的首字母，瑞士數(shù)學家和物理學家歐拉(Leonhard Euler1707-1783)在1777年首次提出用i表示平方等于-1的新數(shù)，又由德國數(shù)學家、物理學家和天文學家高斯(Johann Carl Friedrich Gauss1777—1855)在1801年使之系統(tǒng)的通行于世.

(4)形成擴充——深化問題

問題3①引入新元i后，卡爾丹要找的數(shù)是什么呢？

我們把這些含i的數(shù)叫做虛數(shù).還能寫出其它的數(shù)？

②你能寫出一個形式把所有的實數(shù)和虛數(shù)都包含在內(nèi)嗎？

復數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)其中a是實部，b是虛部，i叫做虛數(shù)單位.后面還會學習復數(shù)的指數(shù)形式，三角形形式.

目前為止，把所有的實數(shù)和虛數(shù)都放在一起形成新的集合就叫做復數(shù)集.

追問：既然復數(shù)的代數(shù)形式既能表示實數(shù)，也能表示虛數(shù)，那什么時候表示實數(shù)，什么時候表示虛數(shù)呢？

設計意圖：先用卡爾丹的數(shù)引出虛數(shù)概念，然后再模仿、嘗試寫出其他數(shù)(包含實數(shù))，引導學生由特殊到一般，從而概括出復數(shù)的代數(shù)形式a+bi(a,b∈R)，并學習復數(shù)的有關概念，從而完成從實數(shù)集到復數(shù)集的擴充．又根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式再來對復數(shù)進行分類，從而深化復數(shù)概念，攻克本節(jié)課的重點，數(shù)系擴充表得以完善．

二、課堂，也要擴充

每一節(jié)課，其實就是學生和老師在知識上的擴充，知識的獲得是第一層次，學生在課堂上學到了新的內(nèi)容，擴充了自己的知識層面，教師通過學生的反饋，從教學能力的角度收獲也很大.但是知識獲取的多少，就要看第二層次，也就是知識的外延和內(nèi)涵，通過一節(jié)課的相關知識，了解知識的前身后世，從點的知識擴充到面的知識，另外通過所學知識能夠解決一些新的問題，掌握了一種數(shù)學工具.

要想通過本節(jié)課學習的知識受益終生，那就要看第三層次，知識的獲得方式和效率.本節(jié)課首先拋出一個問題——負數(shù)開方，在學生已有的實數(shù)集上無法解決這個問題，筆者帶著學生一起回顧數(shù)集發(fā)展歷史，從原始社會結繩記事、在獸皮上刻橫來計數(shù)，引入了自然數(shù)到欠賬，引入了負數(shù)，接著度量正方形邊長為1的對角線引入了無理數(shù)，再到一個蘋果四人分，引入了分數(shù)……都是根據(jù)社會生活實際需要引入了新數(shù)，另一邊，從數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展，從運算角度都是有必要擴充數(shù)集，加減乘除開奇次方在實數(shù)集范圍內(nèi)才能實行.通過這樣的引導，讓學生重新認識數(shù)學課堂，從數(shù)學史的角度出發(fā)，激發(fā)學生的探求欲望，并且能夠根據(jù)自己的已有知識，體會新數(shù)引出的歷程，感受數(shù)學知識產(chǎn)生的不凡與偉大數(shù)學家思考問題的普通.這樣的數(shù)學課堂才是非常飽滿的，學生學習到知識才足夠的有價值，課堂的擴充才顯性.

三、目標，更需擴充

三維目標是指教育教學過程中應該達到的三個目標維度，即：知識與技能(Knowledge & skills)；過程與方法(Process & steps )；情感態(tài)度與價值觀(emotional attitude & values).“三維目標”是一個教學目標的三個方面，而不是三個獨立的教學目標，它們是統(tǒng)一的不可分割的整體.關于三維目標，新課改方案中已提出多年，但在具體實施的過程中，有些教師總感覺很難把握，還是停留在傳統(tǒng)的知識灌輸?shù)膶哟紊?，不能真正理解三維目標就無法讓課堂真正成為學生的伊甸園，無法真正培養(yǎng)社會需要的人才.所以目標的理解是更加緊要的，每一節(jié)課都應該有明確的目標，不能只停留在傳授學生書本知識，要充分理解三維目標，三位一體只有當真正理解三維目標，才能在教學中貫徹目標的達成度，才能使得初定的目標得到進一步的擴充，從而讓學生的知識、思維、能力都得到進一步的擴充.

四、思維，素養(yǎng)的擴充

數(shù)系擴充到實數(shù)集以后解決不了負數(shù)開偶次方，歐拉首次提出i表示平方等于-1的新數(shù)，高斯系統(tǒng)地使用這個符號i并且使它通行于世，這樣把實數(shù)擴充到了復數(shù).這個偉大的擴充解決了負數(shù)開偶次方問題，縱觀整個擴充過程，如果每一個數(shù)學家都能為了解決某一類問題勤于思考，那數(shù)學的重大難題會一步一步克服，也能為生活實際解決更多的問題，這樣的解決問題的能力和決心，就是需要我們教師每一節(jié)課的課堂擴充和目標擴充，拓寬他們的眼界，讓學生的思維更加的活躍，從而助力于素養(yǎng)的提高.這樣的課堂教學容易激發(fā)學生的學習興趣，樹立遠大的理想，無形中教育學生要像偉大的數(shù)學家一樣從細微處著手，從生活實際著手敢于思考，讓自己的思維插上翅膀，翱翔天空，讓自身的數(shù)學素養(yǎng)有一種質的飛躍，從而拓寬數(shù)學研究的領域，解決更多的問題，這才是數(shù)學教學的真諦.總之，一句話“讓他們都有成為數(shù)學家的心”.