賈傳果 周 越 胡鵬飛

(1.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué)),重慶 400045; 2.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,重慶 400045)

0 引 言

結(jié)構(gòu)耗能減震是通過在結(jié)構(gòu)中設(shè)置耗能阻尼器,耗散輸入結(jié)構(gòu)的地震能量,從而減小結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng),減輕結(jié)構(gòu)的損傷。合理的減震設(shè)計(jì),可使強(qiáng)震作用下主體結(jié)構(gòu)基本保持線彈性工作狀態(tài),而非線性狀態(tài)主要集中在局部布置的若干耗能減震裝置上,形成了典型的局部非線性問題[1]。耗能減震裝置從其工作機(jī)理上可分為位移型阻尼器和速度型阻尼器[2]。本文研究主要針對速度型阻尼器,如黏滯阻尼器。

對于非線性黏滯阻尼器,其阻尼力模型一般表示為F=sgn(v)C·|v|α的形式[3](sgn(·)為符號函數(shù),C為阻尼系數(shù),α為阻尼指數(shù)),其中阻尼指數(shù)取值范圍通常為0.1～1.0[4]。非線性阻尼器的優(yōu)點(diǎn)在于其可以避免由于速度過大而導(dǎo)致的阻尼器超載現(xiàn)象,但較線性黏滯阻尼器,整體結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析變得更為復(fù)雜[5]。

有文獻(xiàn)[6]提出簡化方法,通過估計(jì)非線性粘滯阻尼器的等效阻尼比,進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析。文獻(xiàn)[7]基于估計(jì)的等效阻尼比計(jì)算阻尼減震因子,該方法已被寫入FEMA450。這種方法給出的等效阻尼比與阻尼器的最大位移相關(guān),故整體結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析仍需要迭代。事實(shí)上,等效阻尼比大多根據(jù)非線性阻尼器和線性阻尼器的能量消耗相等的原則確定的[8]。文獻(xiàn)[9]通過數(shù)值模擬比較了模態(tài)阻尼法、半功率點(diǎn)法等規(guī)范以外計(jì)算等效阻尼比的方法。但文獻(xiàn)[10]指出在阻尼比相同的條件下線性阻尼器減震結(jié)構(gòu)與非線性阻尼器減震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)有明顯區(qū)別,這在一定程度上也說明采用等效阻尼比進(jìn)行非線性阻尼器減震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析存在一定的誤差。

要提高精度,有必要對所得的局部非線性運(yùn)動(dòng)方法進(jìn)行直接積分。傳統(tǒng)的顯式積分方法主要是針對非線性恢復(fù)力而言的[11]。對于安裝有阻尼器的結(jié)構(gòu),非線性阻尼使得原本顯式的積分方法不再是顯式的,故求解時(shí)仍需迭代求解[12]。而對于隱式積分方法,非線性阻尼力需要更多的迭代步數(shù),增加了計(jì)算量。對于非線性黏滯阻尼器,上述常規(guī)的顯式或隱式積分方法可能出現(xiàn)嚴(yán)重的數(shù)值脈沖現(xiàn)象,從而導(dǎo)致時(shí)域分析方法的失穩(wěn)現(xiàn)象[13]。

為避免迭代和提高計(jì)算穩(wěn)定性,本文采用具有線性隱式特性的Rosenbrock積分方法。該方法主要有兩個(gè)特點(diǎn):一是需要計(jì)算每個(gè)積分步起始時(shí)刻的Jacobian矩陣;二是每個(gè)積分步均存在逆矩陣求解過程。這兩個(gè)特點(diǎn)也是影響其計(jì)算量大小的關(guān)鍵因素。為此,本文對黏滯阻尼器的非線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化處理,并通過引入阻尼器方位矩陣,得到阻尼器減震結(jié)構(gòu)的線性化運(yùn)動(dòng)方程。為進(jìn)一步提高計(jì)算效率,本文在每一步積分過程中引入Sherman-Morrison求逆定理[13]簡化逆矩陣求解過程。本文還對每個(gè)積分步的放大矩陣進(jìn)行了譜分析,驗(yàn)證了該方法在求解非線性阻尼問題方面的穩(wěn)定性。最終本文通過編制Matlab有限元程序?qū)?層黏滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震響應(yīng)分析,驗(yàn)證了該方法的計(jì)算效率和可靠性。

1 Rosenbrock積分方法簡介

Rosenbrock積分方法是在隱式Runge-Kutta方法[14]基礎(chǔ)上,采用內(nèi)嵌牛頓迭代法實(shí)現(xiàn)顯式化,被稱為線性隱式方法[15],常用于一階剛性系統(tǒng)初值問題的求解。Rosenbrock方法保持了Runge-Kutta方法的穩(wěn)定性,同時(shí)避免了迭代。對于一階非線性常微分方程,其初值問題可寫為

(1)

將總計(jì)算時(shí)間等分為N個(gè)長度為△t的時(shí)間步長,記tk=k△t,yk為tk時(shí)刻的狀態(tài)變量,應(yīng)用二階Rosenbrock法(2-stage L-stable Real Time Compatible method即LSRT2方法)[16]得出tk+1時(shí)刻的狀態(tài)變量為

yk+1=yk+k2,

(2)

k1=(I-γΔtJ)-1f(yk,tk)Δt

(3)

對于安裝有阻尼器的結(jié)構(gòu),可以假定結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力為線性,阻尼力為非線性,其運(yùn)動(dòng)方程為

Ma(t)+C0v(t)+FD(v(t))+Kd(t)=P(t)

(4)

式中:M為質(zhì)量矩陣;C0為結(jié)構(gòu)固有阻尼矩陣;FD為非線性阻尼力向量;K為剛度矩陣;d為位移向量;v為速度向量;a為加速度向量;P為外界激勵(lì)。

為采用LSRT2法,將二階動(dòng)力方程式(4)轉(zhuǎn)化為一階形式:

(5)

通過對無阻尼自由振動(dòng)的分析計(jì)算,文獻(xiàn)[9]對LSRT2方法進(jìn)行了譜分析,給出了LSRT2法、Generalized-α法和Chang法的譜曲線對比圖(圖1),其中,ρ為普半徑,Ω為數(shù)值頻率(Ω=ωΔt)。由圖1看出,LSRT2方法在整個(gè)Ω的取值范圍內(nèi)均小于等于1,高頻區(qū)間(Nyquist frequency右側(cè))ρ隨Ω的增大逐步趨近于0,低頻區(qū)間(Nyquist frequency左側(cè))ρ隨Ω的減小逐步趨近于1,說明LSRT2方法具備高頻過濾特性,且能保證低頻響應(yīng)精度。文獻(xiàn)[18]證明了Rosenbrock方法是能量衰減或保守的算法,這樣的特性有利于其非線性穩(wěn)定性[19]。

圖1 LSRT2法的ρ-Ω關(guān)系曲線Fig.1 ρ-Ω curves of LSRT2 method

2 阻尼力模型線性化處理

為表述方便,假設(shè)阻尼指數(shù)為既約分?jǐn)?shù),即α=q/p,且q和p均為奇數(shù),則阻尼力公式轉(zhuǎn)化為F=C·vα。采用LSRT2法求解非線性問題時(shí),每步均需求解當(dāng)前步初始時(shí)刻的Jacobian矩陣。為簡化積分過程,首先對阻尼力在tk時(shí)刻進(jìn)行線性化處理,即對阻尼力在tk時(shí)刻按泰勒級數(shù)展開,并僅取線性項(xiàng):

(6)

式中:vk為阻尼器tk時(shí)刻的相對位移。

令線性化后的阻尼系數(shù)為

(7)

則式(6)的阻尼力方程可以簡化為

(8)

3 建立線性化運(yùn)動(dòng)方程

以平面框架模型為例,假設(shè)有m個(gè)自由節(jié)點(diǎn),其位移和速度向量可表示為

d={x1,y1,β1,x2,…,xi,yi,βi,…,xm,ym,βm}

(9)

(10)

式中:xi,yi,βi為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的水平位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角位移。

假設(shè)有n個(gè)阻尼器,且均與結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)處鉸接,其中第i個(gè)阻尼器的阻尼參數(shù)分別為Ci和αi,其與水平方向的夾角為θi?，F(xiàn)引入阻尼器方位向量Li。如果阻尼器i一端與地面相連,一端與結(jié)點(diǎn)j相連,列向量Li的第3j-2個(gè)元素為cos(θi),第3j-1個(gè)元素為sin(θi),其余元素均為0,即

Li={0,…,cos(θi),sin(θi),0,…}T

文中所有上標(biāo)T均表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置。

如果阻尼器i一端與結(jié)點(diǎn)j相連,一端與結(jié)點(diǎn)k相連,那么列向量Li的第3j-2個(gè)元素為cos(θi),第3j-1個(gè)元素為sin(θi),第3k-2個(gè)元素為-cos(θi),第3k-1個(gè)元素為-sin(θi),其余元素為0,即

Li={…,cos(θi),sin(θi),…,

-cos(θi),-sin(θi),…}T

阻尼器i的軸向相對速度則可表示為

(11)

按公式(7)可得到阻尼器i的阻尼參數(shù)

(12)

式中:v(tk)為tk時(shí)刻的速度向量,后簡寫為vk。

按公式(8),可得到阻尼器i的附加阻尼力為

(13)

結(jié)構(gòu)上阻尼器產(chǎn)生的阻尼力向量可以表示為

(14)

式中:A和D均為對角矩陣,

L矩陣是由每個(gè)阻尼器的方位列向量組成方位矩陣的轉(zhuǎn)置,即

L={L1,L2,…,Li,…Ln}T

阻尼力向量左乘L矩陣的轉(zhuǎn)置可得到所有節(jié)點(diǎn)所承受的阻尼力向量,

FD=LTF*=LTADLvk+LTDLv=

LTALPLTDLvk+LTDLv

(15)

式中:LP為矩陣LT的偽逆矩陣[12],若令W=LTALP,Ca=LTDL,式(15)可簡化為

FD=WCavk+Cav

(16)

再代入結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程(4)可得

Ma+(Ca+C0)v+Kd=P-WCavk

(17)

因此,對于一個(gè)含有相同類型阻尼器(阻尼系數(shù)C和阻尼指數(shù)α均相同)的結(jié)構(gòu),其運(yùn)動(dòng)方程就可以寫為

(18)

4 改進(jìn)Rosenbrock積分方法

對于線性化后的運(yùn)動(dòng)微分方程式(17),轉(zhuǎn)化成一階方程即為

(19)

其中,

應(yīng)用LSRT2求解常微分方程式(17),則式(2)和式(3)的k1和k2可以表示為

(20)

k2=[I-γΔtJ]-1

(21)

在式(20)和式(21)中存在矩陣求逆的過程。這是影響整個(gè)積分過程計(jì)算效率的關(guān)鍵。根據(jù)Sherman-Morrison定理[12],其中的逆矩陣求解可轉(zhuǎn)化為

G=[I-γΔtJ]-1=[I-γΔtJ0-γΔtXDYT]-1=

H-γΔtHXBYTH

(22)

其中,H=[I-γΔtJ0]-1,B=[D-1-γΔtYTAX]-1。H矩陣可以在積分之前計(jì)算。因此,每個(gè)積分步中矩陣求逆只是計(jì)算B矩陣。B矩陣的維數(shù)與阻尼器的個(gè)數(shù)n相等。而G矩陣的維數(shù)與有限元的節(jié)點(diǎn)相關(guān),大致為6m。一般情況下,阻尼器是局部布置的,故m?n。原有Rosenbrock積分方法需要對一個(gè)6m維的矩陣求逆,而本文考慮Sherman-Morrison求逆定理后,只需要對一個(gè)n維矩陣求逆,理論上計(jì)算量得以大幅降低。

此外,由于非線性阻尼力模型的存在,原有Rosenbrock積分方法需要三次進(jìn)行冪函數(shù)計(jì)算,即Jacobian矩陣更新、起點(diǎn)時(shí)刻f(yk,tk)和中點(diǎn)時(shí)刻f(yk+1/2,tk+1/2)計(jì)算。統(tǒng)一對線性化后的方程(17)進(jìn)行積分,只需要一次冪函數(shù)計(jì)算,這也在一定程度上提高了計(jì)算效率。

5 穩(wěn)定性分析

文獻(xiàn)[17]對LSRT2方法求解無阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了譜分析。改進(jìn)的LSRT2方法每一步積分過程都是針對一個(gè)線性方程,但在線性化后運(yùn)動(dòng)方程的右邊有一個(gè)項(xiàng)與初始時(shí)刻的速度相關(guān)。因此,本文采用譜分析方法對帶有非線性阻尼力模型的單自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析。假設(shè)單自由度系統(tǒng)質(zhì)量m=1 kg;剛度k=1 N/m;結(jié)構(gòu)固有阻尼系數(shù)c0=0。圖2和圖3給出了當(dāng)附加阻尼器的阻尼系數(shù)為0.1,不同阻尼指數(shù)對應(yīng)的ρ-Ω關(guān)系曲線。

圖2 LSRT2法求解非線性阻尼單自由度結(jié)構(gòu)的ρ-Ω關(guān)系曲線Fig.2 ρ-Ω curves of LSRT2 for solving nonlinear damping single-DOF structures

圖3 LSRT2法求解非線性阻尼單自由度結(jié)構(gòu)的ρ-Ω關(guān)系曲線LFig.3 ρ-Ω curves of LSRT2 for solving nonlinear damping single-DOF structures

從圖2和圖3可見,當(dāng)阻尼指數(shù)α>0時(shí),LSRT2法放大矩陣對應(yīng)的譜半徑ρ恒小于1;相反,當(dāng)阻尼指數(shù)α<0時(shí),在數(shù)值頻率Ω數(shù)值較小時(shí)LSRT2法放大矩陣對應(yīng)的譜半徑ρ大于1,即其零穩(wěn)定性[9]不滿足。譜分析法給出的結(jié)論可以解釋如下:當(dāng)數(shù)值頻率Ω數(shù)值較小時(shí)(即采用的積分步長較小時(shí)),公式(18)右邊的速度相關(guān)項(xiàng)起到與左邊類似的阻尼作用。若0<α<1,則起到正阻尼作用,公式(18)本身是穩(wěn)定的。當(dāng)α=1時(shí),右側(cè)速度相關(guān)項(xiàng)為0,公式(18)本身是穩(wěn)定的線性運(yùn)動(dòng)方程。一般阻尼器,阻尼指數(shù)取值0<α≤1,但本文從數(shù)值分析角度,也對其他取值范圍進(jìn)行研究。若α>1,右側(cè)速度相關(guān)項(xiàng)起到負(fù)阻尼作用,但公式(18)左邊有正阻尼項(xiàng),總體效果是正阻尼作用?？傊?當(dāng)α>0,非線性阻尼器起到正阻尼的效果,采用LSRT2求解是穩(wěn)定的。反之,當(dāng)α<0,采用LSRT2求解有失穩(wěn)現(xiàn)象。

6 數(shù)值算例

基于以上計(jì)算過程,對一安裝有非線性粘滯阻尼器的7層平面框架模型[20]進(jìn)行數(shù)值模擬。結(jié)構(gòu)為9度區(qū)7層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu),抗震等級為一級,Ⅱ類場地,結(jié)構(gòu)立面圖如圖4所示。其中,每層高度為3.3 m,柱截面尺寸為500 mm×500 mm,梁截面為600 mm×300 mm。

現(xiàn)取一榀框架進(jìn)行計(jì)算,二維框架結(jié)構(gòu)采用平面剛架模型。阻尼器在結(jié)構(gòu)中的位置如圖4示,其阻尼力公式為F=1.8467v0.759 2。對于9度區(qū),多遇地震加速度時(shí)程的最大值為0.14g?，F(xiàn)采用El Centro波的x方向地震波對結(jié)構(gòu)進(jìn)行加載。整個(gè)計(jì)算過程(包括有限元建模和數(shù)值積分等)均在Matlab計(jì)算環(huán)境中完成。

圖4 結(jié)構(gòu)立面尺寸及阻尼器布置示意圖(單位:mm)Fig.4 The dimensions of the structure and the arrangement of the dampers (Unit:mm)

圖5為多遇地震下結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線(前15 s)。從圖5可以發(fā)現(xiàn),采用改進(jìn)前和改進(jìn)后的LSRT2法計(jì)算所得的位移響應(yīng)相近。但需要指出的是:采用LSRT2法,占用微機(jī)CPU的時(shí)間是28.314 2 s;而改進(jìn)的LSRT2法占用CPU時(shí)間為8.546 8 s。因此,改進(jìn)后計(jì)算效率大幅提高。

圖5 地震作用下結(jié)構(gòu)頂層位移時(shí)程曲線Fig.5 Displacement time-history curves of structure topunder the action of earthquake

7 結(jié) 論

黏滯阻尼器等減震裝置一般局部設(shè)置在建筑結(jié)構(gòu)的部分樓層,形成了典型的局部非線性問題。直接采用數(shù)值積分方法進(jìn)行求解勢必導(dǎo)致計(jì)算量大和計(jì)算程序復(fù)雜等問題。于此,本文基于線性隱式的Rosenbrock積分方法,提出黏滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析方法。具體結(jié)論如下:

(1) 針對冪函數(shù)形式的非線性阻尼力,進(jìn)行線性化處理,并引入阻尼器方位矩陣,形成了黏滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程。

(2) 在Rosenbrock方法中,引入Sherman-Morrison定理,簡化矩陣求逆的計(jì)算,形成求解局部非線性運(yùn)動(dòng)方程的方法。

(3) 對Rosenbrock方法求解非線性阻尼問題的穩(wěn)定性進(jìn)行了譜分析。結(jié)果表明,當(dāng)阻尼指數(shù)大于0時(shí),Rosenbrock方法是穩(wěn)定的。

(4) 設(shè)計(jì)了一個(gè)裝有黏滯阻尼器的七層平面框架模型,通過編制Matlab程序進(jìn)行了地震響應(yīng)分析,結(jié)果證實(shí)本文所提方法的可靠性和計(jì)算效率。

本文相關(guān)處理方法對于位移型阻尼器減震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析亦有參考價(jià)值。