2018年2月號(hào)問題解答

(解答由問題提供人給出)

2406在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的內(nèi)切圓O分別與邊BC,CA,AB相切于D,E,F，連接AD與內(nèi)切圓O相交于點(diǎn)P，連接BP,CP.若∠BPC=90°，求證：

AE+AP=PD.

(山東省滕州市第一中學(xué) 顏?zhàn)羽?277500)

證明設(shè)AP=1,BD=BF=x,

CE=CD=y,AE=AF=m(m>1)，

AF2=AP·AD?AD=m2,

PD=AD-AP=m2-1，

BP2=12+(m+x)2-2(m+x)·1·cos ∠BAD，

因?yàn)镃P2+BP2=(y+x)2，

=y2+x2+2xy，

所以(m2-1)(x+y)=mxy

①

又cos ∠ADC+cos ∠ADB

由①②得m4-m2=4(m2-1)，

即m4-5m2+4=0,即(m2-4)(m2-1)=0，

又m>1,所以m2=4,m=2，

所以AD=4,AE=2，

得PD=4-1=3，

所以PD=AE+AP.

(浙江省溫州市洞頭區(qū)第二中學(xué) 陳展 325701)

證明記原不等式為 (1)

其中分母恒大于0.

?(λ+2)a3>(1-λ)a3+(1-λ)λa2b+(1-λ)ab2

?(2λ+1)a3+(λ-1)λa2b+(λ-1)ab2>0

?(2λ+1)a2+(λ-1)λab+(λ-1)b2>0

?(λ-1)λa2b+(λ-1)ab2>0

?(λ-1)λa2b>(1-λ)ab2

?λb3+2b3≥b3+λb2c+bc2

?(λ+1)b3-λb2c-bc2≥0

?b[(λ+1)b+c](b-c)≥0也顯然成立.

所以(1)式成立.

所以(1)式也成立.

綜上可知(1)式成立.

2408如圖，AC是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，AC⊥BD，垂足為E．F在DA的延長線上，G在BA的延長線上，且BF∥DG，GF的延長線與DB的延長線相交于I．H在線段IF上，且H、B、E、F四點(diǎn)共圓，IC的延長線與GD的延長線相交于K．求證：IK⊥GK．

(河南省南陽市宛城區(qū)新店二中向中軍473113)

證明連結(jié)BC、BH、CG、CH、EH、EF.

AC是直徑，AC⊥BD，

所以AB=AD，∠ABC=∠BEC=90°，

有AB2=AE·AC.

由BF∥DG，有 △ABF∽△AGD，

又 ∠BAE=∠DAE，∠BAF=∠GAD，

故∠EAF=∠GAC，

所以 △AEF∽△AGC，

故∠AEF=∠AGC，∠FEB=∠BCG.

由H、B、E、F四點(diǎn)共圓，

有 ∠FEB=∠IHB，故∠BCG=∠IHB，

所以H、B、C、G四點(diǎn)共圓，

所以∠GHC=∠ABC=90°，

∠IHC=90°=∠BEC，

故H、I、C、E四點(diǎn)共圓，

故∠ICH=∠IEH=∠IFB.

由BF∥DG，有∠IFB=∠IGD，

故∠IGD=∠ICH，

故G、H、C、K四點(diǎn)共圓，

故∠K+∠GHC=180°，

故∠K=90°，IK⊥GK．

2409設(shè)△ABC中的三邊長分別為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院李永利467000)

(2)

故(2)式成立．

2.其次證明

(3)

?(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)

(注：ab+bc+ca=p2+4Rr+r2，abc=4Rrp，a+b+c=2p)

?(p2+4Rr+r2)2≥24Rrp2

?p4+2(4Rr+r2)p2+(4Rr+r2)2≥24Rrp2

?p2·p2+(4Rr+r2)2≥(16Rr-2r2)p2.

由Gerretsen不等式p2≥16Rr-5r2可知，只需證

(16Rr-5r2)p2+(4Rr+r2)2

≥(16Rr-2r2)p2

?(4Rr+r2)2≥3r2p2

?(4R+r)2≥3p2.

由上式和Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知，只需證明

(4R+r)2≥3(4R2+4Rr+3r2)

?4R2-4Rr-8r2≥0

?R2-Rr-2r2≥0

?(R+r)(R-2r)≥0.

而由Euler不等式R≥2r可知上式顯然成立，從而(3)式成立．

3.最后證明

(4)

?12R2p2≥(p2+4Rr+r2)2

?12R2p2≥p2·p2+(8Rr+2r2)p2+(4Rr+r2)2.

由上式和Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知，只需證明

12R2p2≥(4R2+4Rr+3r2)p2+(8Rr+2r2)p2+(4Rr+r2)2

?(8R2-12Rr-5r2)p2≥(4Rr+r2)2.

由上式和Gerretsen不等式p2≥16Rr-5r2可知，只需證明

?(8R2-12Rr-5r2)(16Rr-5r2)

≥(4Rr+r2)2

?(8R2-12Rr-5r2)(16R-5r)

≥r(4R+r)2

?128R3-232R2r-20Rr2+25r3

≥16R2r+8Rr2+r3

?128R3-248R2r-28Rr2+24r3≥0

?32R3-62R2r-7Rr2+6r3≥0

?(32R2+2Rr-3r2)(R-2r)≥0.

而由Euler不等式R≥2r可知上式成立，從而(4)式成立．

由(2)，(3)，(4)式可知(1)式成立．

2410如圖，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c，延長AO,BO,CO交△ABC的三邊和外接圓分別為D,E,F,A1,B1,C1，求證：

(安徽省安慶市岳西縣湯池中學(xué) 蘇岳祥 楊續(xù)亮246620)

在△A1DC中，由正弦定理可得

而∠DCA1=∠DAB=∠DAC-α=A-α，

∠BA1C=∠ABC=B，

由正余弦定理可得

以上三式相加可得

2018年3月號(hào)問題

(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

2411設(shè)x,y為正整數(shù),x2+y2-2017xy>0且不是完全平方數(shù),求x2+y2-2017xy的最小值.

(四川省成都七中 方廷剛 610041)

2412在銳角△ABC中，O為外心，H為垂心，I

( 安徽省安慶市岳西縣湯池中學(xué)楊續(xù)亮246620)

2413設(shè)AB和CD為圓O的兩弦，AB的延長線與CD的延長線交于點(diǎn)E，AD與CB交于點(diǎn)F，以EF為直徑的圓O′與圓O交于點(diǎn)P和Q，證明：圓O和圓O′在交點(diǎn)P或Q處的切線互相垂直.

(河南省輝縣市一中賀基軍453600)

2414已知a,b,c>0,a+b+c=3,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

(四川省西充中學(xué)李光俊637200)