應(yīng)用網(wǎng)格走時(shí)的射線路徑計(jì)算方法

魏脯力 孫建國(guó) 孟祥羽

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130026)

1 引言

射線路徑和射線走時(shí)是描述波場(chǎng)傳播運(yùn)動(dòng)學(xué)特征的兩個(gè)基本概念[1]，均來自于關(guān)于波場(chǎng)傳播的高頻漸近理論。其中：射線路徑給出高頻波場(chǎng)的傳播路徑，是純幾何量； 射線走時(shí)描述高頻波場(chǎng)沿射線的傳播時(shí)間，具有明確的物理含義。根據(jù)高頻漸近波動(dòng)理論，走時(shí)滿足程函方程，射線滿足程函方程的特征線方程[2]。這意味著，走時(shí)和射線路徑均來自于同一個(gè)非線性偏微分方程，即程函方程。因此，通過解程函方程，既可得到射線走時(shí)，也可得到射線路徑。如果利用關(guān)于非線性偏微分方程的特征線法首先求出射線路徑，則可通過對(duì)慢度沿射線路徑的積分得到走時(shí)。這是傳統(tǒng)射線追蹤的基本內(nèi)容。如果直接利用數(shù)值方法，例如有限差分法[3，4]，則只能得到走時(shí)，而不能得到射線路徑。這是現(xiàn)代計(jì)算走時(shí)的基本途徑。為了解決射線路徑的計(jì)算問題，需在得到全部計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)上的走時(shí)之后利用射線路徑與走時(shí)場(chǎng)梯度之間的關(guān)系計(jì)算射線路徑[5，6]。這是現(xiàn)代射線走時(shí)和射線路徑計(jì)算的基本內(nèi)容。

由于程函方程源自于幾何射線級(jí)數(shù)理論，所以基于程函方程數(shù)值解的網(wǎng)格走時(shí)計(jì)算方法[7-15]只能給出初至波走時(shí)，從而與其對(duì)應(yīng)的射線路徑計(jì)算結(jié)果也只能是初至波射線的路徑。為解決多種波型的走時(shí)和射線路徑(多值走時(shí)和多路徑射線)的計(jì)算問題，一種途徑是將對(duì)應(yīng)的多值走時(shí)分解成不同的單值走時(shí)求解，如Benamou[16]根據(jù)射線追蹤結(jié)果將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列初至波走時(shí)計(jì)算區(qū)域，它們的重疊部分則對(duì)應(yīng)著多值走時(shí)或多路徑的位置。另外，可根據(jù)走時(shí)場(chǎng)的互易性計(jì)算多值走時(shí)與多路徑射線。正是基于這一事實(shí)，Rawlinson等[17]提出了子射線法(Raylet method)。根據(jù)定義，子射線為局部射線線段。在具體計(jì)算過程中，子射線的起點(diǎn)被視為是一個(gè)新源點(diǎn)，而其終點(diǎn)被視為是一新的接收點(diǎn)。根據(jù)Fermat原理，子射線在其起點(diǎn)和終點(diǎn)之間具有極小走時(shí)。因此，只要子射線的起點(diǎn)與終點(diǎn)之間距離足夠小，就可計(jì)算出與全部繞射和散射波所對(duì)應(yīng)的射線。

在Rawlinson等[17]的子射線法中，為計(jì)算多路徑射線，需要計(jì)算地下每一網(wǎng)格點(diǎn)到源點(diǎn)和接收點(diǎn)的走時(shí)之和，然后拾取總走時(shí)場(chǎng)的極值確定射線路徑。因?yàn)閷?shí)際射線路徑附近的總走時(shí)本身變化緩慢，所以所尋找的極值點(diǎn)大多位于非網(wǎng)格點(diǎn)上。這給實(shí)際計(jì)算帶來了一定的難度和問題。針對(duì)這個(gè)問題，提出了利用源點(diǎn)到給定點(diǎn)和接收點(diǎn)到給定點(diǎn)的總走時(shí)的(橫向或縱向)導(dǎo)數(shù)計(jì)算射線路徑。由于極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，所以問題就轉(zhuǎn)化為如何尋找總走時(shí)(橫向或縱向)一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問題。為了精確地確定一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的位置，引入反插值法[18]。

本文首先簡(jiǎn)要回顧Rawlinson等[17]提出的子射線法，然后詳述基于反插值法的子射線法改進(jìn)方案及其實(shí)現(xiàn)步驟，最后給出若干數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果。

2 方法原理

2.1 子射線法原理

借助于圖1[17]，介紹“子射線”概念。假設(shè)源點(diǎn)S和接收點(diǎn)R之間存在3條射線路徑，按照旅行時(shí)的大小將這些射線分別稱為初至射線，“二至”射線和“三至”射線。在圖1中，用線段示意性地展示了“三至”射線的幾個(gè)傳播階段： 第一條直線給出了射線由源點(diǎn)到接收點(diǎn)發(fā)生兩處波型轉(zhuǎn)換的過程，即由最初S1段對(duì)應(yīng)的初至波，到S2段對(duì)應(yīng)的“二至”波，再到后來S3段的“三至”波。根據(jù)互易性原理，射線由接收點(diǎn)到源點(diǎn)會(huì)經(jīng)歷相同的演化過程，即圖中第二條直線所給出的R1到R2，再到R3?，F(xiàn)在綜合考慮源點(diǎn)到接收點(diǎn)及接收點(diǎn)到源點(diǎn)這兩個(gè)演化過程，對(duì)應(yīng)的可將該“三至”射線劃分為圖中第三條直線展示的幾部分?？芍猄1R1段射線對(duì)應(yīng)的源點(diǎn)走時(shí)場(chǎng)和接收點(diǎn)走時(shí)場(chǎng)均屬于初至波，將其稱為一階子射線，而S1R2和S2R1段射線對(duì)應(yīng)的接收點(diǎn)走時(shí)場(chǎng)或源點(diǎn)走時(shí)場(chǎng)為“二至”波，稱這樣的射線段為二階子射線。依此類推，S1R3和S3R1被稱為三階子射線。因此該“三至”射線可看作由不同階的子射線構(gòu)成。上述定義中假設(shè)源點(diǎn)與接收點(diǎn)之間存在3條射線路徑，實(shí)際上任意條數(shù)射線都可得到同樣的定義。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，子射線法是利用網(wǎng)格走時(shí)完成局部多值走時(shí)的。首先，利用有限差分法得到計(jì)算區(qū)域內(nèi)每一網(wǎng)格點(diǎn)到源點(diǎn)和接收點(diǎn)的走時(shí)并將其相加，得到所計(jì)算區(qū)域的局部總走時(shí)場(chǎng)。然后，求取總走時(shí)場(chǎng)的局部極值點(diǎn)并將其作為最終的射線點(diǎn)。因此，子射線法得到的射線路徑對(duì)應(yīng)著上文中定義的一階子射線。當(dāng)兩點(diǎn)之間只有一條射線路徑時(shí)，其求解得到的一階子射線即為全域性的最短時(shí)間射線路徑。

圖1 子射線的定義[17]

2.2 反插值法與射線點(diǎn)求取

假設(shè)函數(shù)f(x)的離散節(jié)點(diǎn)為

(xi,f(xi))i=0,1,2,…,n

則插值問題就是計(jì)算x0,x1,x2,…,xn之間的x點(diǎn)處f(x)的近似值，一般通過構(gòu)造插值函數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)。根據(jù)不同的構(gòu)造方法，可分為L(zhǎng)agrange、Newton和Hermite等不同插值法。

與此相反，反插值問題[18]則是計(jì)算f(x)=c時(shí)x的近似值，其中c為f(x0),f(x1),f(x2),…,f(xn)之間的值。反插值有兩種實(shí)現(xiàn)方式：一種是利用f(x)的插值多項(xiàng)式，一般為低階多項(xiàng)式；另一種則是在f(x)存在反函數(shù)f-1(x)的情況下，構(gòu)造f-1(x)的插值多項(xiàng)式。當(dāng)f-1(x)存在時(shí)，有

x=f-1(c)

反插值就是求反函數(shù)f-1(x)在c處的近似值。當(dāng)c=0時(shí)，反插值即為求方程f(x)=0的近似解。因?yàn)樯渚€路徑對(duì)應(yīng)走時(shí)的極小值，即對(duì)應(yīng)走時(shí)(橫向或縱向)一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，所以借助反插值可較精確地求取射線點(diǎn)位置。

2.3 算法實(shí)現(xiàn)

子射線法的計(jì)算效率與網(wǎng)格走時(shí)計(jì)算方法有關(guān)。為了快速地計(jì)算出局部走時(shí)場(chǎng)，采用了基于快速推進(jìn)迎風(fēng)線性插值法的走時(shí)計(jì)算策略[12-15]。

實(shí)際計(jì)算表明，尋找總走時(shí)(源點(diǎn)到給定點(diǎn)走時(shí)與接收點(diǎn)到給定點(diǎn)走時(shí)之和)的極值確定射線路徑具有兩個(gè)明顯的問題：射線附近的總走時(shí)場(chǎng)變化緩慢，因此需要較為苛刻的走時(shí)計(jì)算精度；非網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的極值點(diǎn)計(jì)算比較困難。為解決這兩個(gè)問題，采用局部總走時(shí)場(chǎng)的(橫向或縱向)導(dǎo)數(shù)確定射線路徑。具體的算法由下列4個(gè)步驟組成。

(1)總走時(shí)場(chǎng)計(jì)算

首先將地下速度空間劃分為正方形網(wǎng)格，然后利用基于快速推進(jìn)迎風(fēng)線性插值法的走時(shí)計(jì)算策略分別計(jì)算源點(diǎn)到每一網(wǎng)格點(diǎn)和接收點(diǎn)到每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的初至波走時(shí)。對(duì)每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的這兩個(gè)走時(shí)值求和得到總走時(shí)。考慮到射線理論的高頻假設(shè)和后續(xù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的需要，對(duì)速度模型進(jìn)行一定光滑是有必要的[19，20]。

(2)總走時(shí)場(chǎng)的一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算

對(duì)總走時(shí)場(chǎng)求導(dǎo)可以看作是計(jì)算總走時(shí)場(chǎng)的橫向?qū)?shù)與縱向?qū)?shù)，因?yàn)樽罱K的目的是拾取極值點(diǎn)構(gòu)成射線路徑。當(dāng)射線路徑非近水平時(shí)，只拾取橫向?qū)?shù)為零的點(diǎn)往往是足夠的。下面不加證明地直接給出3點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子和5點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子[21]公式

(1)

(2)

式中： Δh為網(wǎng)格間距；τ為總走時(shí)；i-2,i-1,i,i+1,i+2分別對(duì)應(yīng)相鄰的橫向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)；q為總走時(shí)場(chǎng)的橫向?qū)?shù)。通過式(1)或式(2)，就可得到總走時(shí)場(chǎng)在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處的橫向?qū)?shù)。

(3)一階子射線計(jì)算

假設(shè)所求的射線路徑非近水平，則可通過拾取總走時(shí)場(chǎng)橫向?qū)?shù)為零的點(diǎn)構(gòu)成所求的射線路徑，一種簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)方式是利用反插值隨深度計(jì)算導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。

圖2為計(jì)算射線路徑的方法示意圖。其中實(shí)線表示待求的射線路徑，且已知量為每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處的橫向?qū)?shù)值。將計(jì)算網(wǎng)格橫、縱向從零開始編號(hào)，i和j分別對(duì)應(yīng)當(dāng)前計(jì)算位置的橫、縱向編號(hào)。因?yàn)樯渚€點(diǎn)是總走時(shí)場(chǎng)的極值點(diǎn)，所以此時(shí)射線點(diǎn)處的橫向?qū)?shù)為零，其兩側(cè)相鄰網(wǎng)格點(diǎn)處的橫向?qū)?shù)異號(hào)，即

qi·qi+1<0

(3)

式中q表示總走時(shí)場(chǎng)的橫向?qū)?shù)。

假設(shè)射線點(diǎn)附近的橫向?qū)?shù)線性變化，則可由其兩側(cè)相鄰網(wǎng)格點(diǎn)處的橫向?qū)?shù)值反插值得到射線點(diǎn)的橫向和縱向位置

(4)

z0=jΔh

(5)

在式(4)中，當(dāng)qi=0時(shí)，x0=iΔh；當(dāng)qi+1=0，x0=(i+1)Δh。即式(4)對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)上的射線點(diǎn)同樣滿足，不過此時(shí)的判定條件應(yīng)改為

qi·qi+1≤0

(6)

利用上述公式，該算法可概述為：從源點(diǎn)深度開始，利用式(6)、式(4)和式(5)得到當(dāng)前深度射線點(diǎn)(多路徑時(shí)對(duì)應(yīng)多個(gè)射線點(diǎn))的坐標(biāo)，然后進(jìn)行下一深度的計(jì)算，直到檢波點(diǎn)深度為止。

圖2 射線點(diǎn)計(jì)算示意圖

從圖2可看到，通過線性反插值計(jì)算得到的射線路徑(虛線)其實(shí)是對(duì)準(zhǔn)確射線路徑(實(shí)線)的一種近似?？紤]多路徑的可能性，上述算法得到的實(shí)質(zhì)上是一階子射線的計(jì)算結(jié)果。

(4)高階子射線計(jì)算

當(dāng)射線存在多路徑時(shí)，上述算法只能完整地計(jì)算出最短時(shí)間射線路徑，其他射線路徑只有一階子射線的計(jì)算結(jié)果。若想完整地計(jì)算出整條射線路徑，只需要分別計(jì)算得到源點(diǎn)到子射線端點(diǎn)和接收點(diǎn)到子射線端點(diǎn)的射線部分即可，也就是計(jì)算其他階的子射線。具體實(shí)現(xiàn)途徑只需要重復(fù)上述的步驟(1)～(3)，直到計(jì)算出整條射線路徑為止。

上述算法針對(duì)于非近水平的射線路徑計(jì)算，只利用了總走時(shí)場(chǎng)的橫向?qū)?shù)；實(shí)際上對(duì)于近水平的射線路徑計(jì)算，同理可以利用總走時(shí)場(chǎng)的縱向?qū)?shù)得到，或者對(duì)于一些復(fù)雜的射線路徑計(jì)算，綜合利用橫、縱向?qū)?shù)可能會(huì)更便于計(jì)算。

3 誤差分析

3.1 均勻介質(zhì)

均勻介質(zhì)中的射線路徑為直線，為了說明計(jì)算網(wǎng)格尺度與導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度對(duì)算法的影響特點(diǎn)，將算法應(yīng)用于圖3所示的速度為2000m/s的均勻介質(zhì)中。模型長(zhǎng)度和深度分別為8、6km，源點(diǎn)位置為(4km，0)，首先采用10m的網(wǎng)格常數(shù)和3點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子，分別計(jì)算了源點(diǎn)到不同接收點(diǎn)位置的射線路徑，圖3中虛線對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果，作為對(duì)比，圖中用實(shí)線繪出了精確的射線路徑。直觀來看，兩者具有很高的一致性。為了定量表示計(jì)算偏差，引入絕對(duì)誤差均值的定義。

因?yàn)椴捎枚ㄉ疃鹊挠?jì)算方式，所以只需討論射線路徑橫向位置的計(jì)算誤差，定義計(jì)算結(jié)果相對(duì)于精確結(jié)果的絕對(duì)誤差均值為

(7)

圖3 均勻介質(zhì)中的射線路徑

式中：j=0,1,2,…,J-1，對(duì)應(yīng)縱向網(wǎng)格編號(hào)，即對(duì)應(yīng)不同的計(jì)算深度；xj和x0j分別為相應(yīng)深度的計(jì)算結(jié)果與精確結(jié)果，因此絕對(duì)誤差均值定量表示了計(jì)算得到的射線路徑相對(duì)于精確射線路徑的偏差。

針對(duì)圖3中的3條射線路徑A、B和C，進(jìn)一步采用5m的網(wǎng)格常數(shù)和5點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子進(jìn)行計(jì)算，對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差如表1所示。

表1 不同網(wǎng)格常數(shù)與導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度下的射線路徑誤差

從表1可知：較小計(jì)算網(wǎng)格尺度對(duì)應(yīng)較高計(jì)算精度，但導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度并不是越長(zhǎng)精度越高；相反，較小導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)較高計(jì)算精度，這主要是因?yàn)楸?中的誤差其實(shí)是網(wǎng)格常數(shù)與導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度的一種綜合效應(yīng)，而網(wǎng)格常數(shù)的影響要明顯大于導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度。圖4詳細(xì)給出了3條射線(A、B、C)在不同深度處的橫向位置計(jì)算誤差(考慮了誤差的正負(fù)性)，圖中實(shí)線對(duì)應(yīng)10m的計(jì)算網(wǎng)格，虛線對(duì)應(yīng)5m的計(jì)算網(wǎng)格，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度的影響甚微，圖中并未加以區(qū)別。通過圖4可見，隨著網(wǎng)格間距變小，射線的光滑性顯著降低，所以在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)綜合考慮計(jì)算精度與射線光滑性的影響。

圖4 均勻介質(zhì)下深度域的射線(A、B、C)的橫坐標(biāo)誤差

3.2 垂向梯度介質(zhì)

當(dāng)速度只隨深度變化，且變化梯度為常數(shù)時(shí)，可推導(dǎo)出射線路徑橫向位置隨深度變化關(guān)系式[22]

(8)

式中： (x0,z0)為源點(diǎn)坐標(biāo)； (x,z)為射線上任意點(diǎn)坐標(biāo)；v0為源點(diǎn)所在水平面上的速度；p為射線參數(shù)，在橫向速度不變的情況下，即為源點(diǎn)旅行走時(shí)場(chǎng)的橫向?qū)?shù)；β對(duì)應(yīng)速度梯度，即

v(z)=v0(1+βz)

(9)

為了得到解析結(jié)果，首先需得知射線參數(shù)p(或源點(diǎn)走時(shí)場(chǎng)的橫向?qū)?shù))的大小。因?yàn)榛诳焖偻七M(jìn)迎風(fēng)線性插值的網(wǎng)格走時(shí)計(jì)算方法在遠(yuǎn)離源點(diǎn)的位置誤差很小[9]，所以可近似認(rèn)為由其求導(dǎo)得到的橫向?qū)?shù)是精確的。

如圖5所示，垂向梯度模型的長(zhǎng)度和深度分別為8、6km，地表速度為1500m/s，速度梯度為0.8s-1。數(shù)值計(jì)算中，源點(diǎn)位于(4km，0)，計(jì)算網(wǎng)格間距10m，分別計(jì)算了圖5所示的A、B和C共3條射線路徑，虛線對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果，實(shí)線對(duì)應(yīng)精確的解析結(jié)果。同樣可看到，數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果具有很高的一致性。

圖5 垂向梯度模型中的射線路徑

網(wǎng)格間距m導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度絕對(duì)誤差均值/mA射線B射線C射線1034.428013.620610.808954.514213.669310.8980

表2分別給出了3點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子和5點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子下的絕對(duì)誤差均值，與均勻介質(zhì)下的相同，較小的導(dǎo)數(shù)算子長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)著較高的計(jì)算精度。同時(shí)，圖6具體給出了不同深度下數(shù)值計(jì)算偏差。圖中A射線在較深處誤差較大，這是因?yàn)樯渚€路徑近水平引起橫向反插值出現(xiàn)較大偏差所致。

圖6 垂向梯度介質(zhì)下三條射線的橫坐標(biāo)誤差

3.3 橫向變速介質(zhì)

為了測(cè)試本文算法對(duì)橫向速度變化的適應(yīng)能力，采用如圖7a所示的橫向變速模型，討論當(dāng)射線路徑通過不同程度的橫向速度變化時(shí)，本文算法與常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤結(jié)果的計(jì)算偏差的相對(duì)大小。

在圖7b中，網(wǎng)格常數(shù)為10m，源點(diǎn)位置是(4km，0)。圖中實(shí)線給出了常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤結(jié)果，射線出射角度范圍是-12°～12°，角度間隔為2°。從這些射線路徑上挑選一點(diǎn)(圖中A～F)，利用本文算法計(jì)算其到源點(diǎn)之間射線路徑，計(jì)算結(jié)果用虛線展示。同時(shí)，表3定量給出了本文算法相對(duì)于常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤的計(jì)算誤差，需說明的是圖8中G射線為垂直入射，兩種方法的計(jì)算都是精確的。

與常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤結(jié)果較好的一致性可說明，本文算法對(duì)于橫向速度的變化具有很強(qiáng)的適應(yīng)能力。

圖7 橫向變速模型(a)及其射線路徑(b)

4 計(jì)算實(shí)例

4.1 多路徑計(jì)算

圖8a為一個(gè)低速球體模型，模型的長(zhǎng)度和深度均為8km。待計(jì)算射線路徑對(duì)應(yīng)的源點(diǎn)位置為(4.00km，0.50km)，接收點(diǎn)位置為(3.62km，6.38km)。該圖中實(shí)線給出了經(jīng)典試射法計(jì)算結(jié)果，可見有三條射線路徑連接源點(diǎn)和接收點(diǎn)，分別記為A、B、C，那么通過本文算法能否給出這3條射線路徑的計(jì)算結(jié)果？

采用10m的網(wǎng)格常數(shù)與3點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子進(jìn)行計(jì)算，圖8a 中用虛線給出了計(jì)算得到的一階子射線，除了完整計(jì)算出初至波射線A以外，算法還得到了射線B和射線C的一部分。為了完整計(jì)算出射線B與射線C， 采用分級(jí)次計(jì)算的策略，即分別計(jì)算一階子射線端點(diǎn)到源點(diǎn)和接收點(diǎn)之間的射線路徑。圖8b用灰色虛線給出了射線B其他部分計(jì)算結(jié)果，同理圖8c對(duì)應(yīng)射線C。至此，得到A、B、C三條射線路徑的完整計(jì)算，其與經(jīng)典試射法結(jié)果幾乎完全重合，也說明了該多路徑算法的有效性與準(zhǔn)確性。

圖8 低速體模型中的射線路徑(a)、二階及以上子射線(b，c)計(jì)算結(jié)果

4.2 Marmousi模型

為了測(cè)試本文算法在復(fù)雜介質(zhì)中的應(yīng)用效果，對(duì)比了常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤在復(fù)雜的Marmousi模型下的計(jì)算結(jié)果。

圖9a所示為Marmousi模型的一部分，其長(zhǎng)度和深度分別為4.88、6.00km。在射線路徑的計(jì)算中，采用10m的網(wǎng)格常數(shù)將速度模型網(wǎng)格化，同時(shí)根據(jù)射線理論的高頻假設(shè)與導(dǎo)數(shù)計(jì)算的需要，對(duì)速度模型進(jìn)行適當(dāng)光滑是有必要的。圖9b中用實(shí)線給出了常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤的結(jié)果，其中源點(diǎn)位置為(3km，0)，射線出射角度范圍是-20°～20°，出射角度間隔為2°，因此共追蹤到了11條射線路徑。為了將本文算法與常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)應(yīng)這11條射線路徑，分別計(jì)算了射線路徑上一點(diǎn)(圖9b中A～K)到源點(diǎn)之間的射線路徑，計(jì)算結(jié)果被用虛線表示在圖9b中，可看到其與常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤結(jié)果幾乎完全重合，也說明了算法在復(fù)雜地質(zhì)條件下同樣具有很好的應(yīng)用效果。

圖9 Marmousi模型(a)及其射線路徑(b)

5 討論

根據(jù)程函方程，沿著射線路徑走時(shí)梯度矢量的長(zhǎng)度等于慢度。因此，這里所指的走時(shí)梯度不是沿著射線路徑的走時(shí)梯度，而是在給定接收點(diǎn)附近與相應(yīng)射線場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的走時(shí)梯度。原則上，只要不是沿著射線路徑求導(dǎo)，則利用任意方向上的導(dǎo)數(shù)均可以找到走時(shí)場(chǎng)的局部極值。

此外，在利用反插值法計(jì)算射線點(diǎn)時(shí)，曾假設(shè)射線點(diǎn)附近的總走時(shí)導(dǎo)數(shù)呈線性變化。理論上，這個(gè)假設(shè)不是必須的。事實(shí)上，可以考慮其他局部走時(shí)變化模型，以改進(jìn)子射線的光滑性。

6 結(jié)論

根據(jù)子射線法的基本原理，通過引入反插值法，并結(jié)合基于快速推進(jìn)迎風(fēng)線性插值法的走時(shí)計(jì)算策略提出了一種計(jì)算多路徑射線的改進(jìn)子射線法。數(shù)值計(jì)算表明：基于反插值法的子射線計(jì)算精度主要依賴于計(jì)算網(wǎng)格尺度。較小的網(wǎng)格常數(shù)具有較小的射線路徑偏差。然而，隨著網(wǎng)格的逐漸變小，所得到的射線路徑也逐漸變得不光滑，且計(jì)算時(shí)間也成倍增加。因此，在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)綜合考慮各種因素來選取最佳網(wǎng)格常數(shù)。此外，數(shù)值計(jì)算表明：在實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)盡量選擇較短的求導(dǎo)算子。