□　海南省洋浦中學(xué)　黃發(fā)長(zhǎng)

□海南省洋浦中學(xué)黃發(fā)長(zhǎng)

一、釋題：

1.把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。

剛走上講臺(tái)的年青教師一般會(huì)有一段時(shí)間痛苦于學(xué)過的理論不能在課堂上運(yùn)用，自己的教學(xué)停留在教教材上。甚至不知道知識(shí)目標(biāo)教學(xué)這樣的評(píng)價(jià)概念，到了后來寫出了所謂的三維目標(biāo)，其中過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀兩個(gè)維度的目標(biāo)也大都是紙上談兵，千篇一律的現(xiàn)象非常普遍，普遍到懷疑自己寫后三維目標(biāo)的用處。

好多年前，我曾夢(mèng)想擁有一種教學(xué)模式——沒有固定教材。教學(xué)圍繞學(xué)科知識(shí)體系，以其框架為線索，單個(gè)課時(shí)設(shè)計(jì)相關(guān)命題或問題，教師引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中，概念、定理自然生成，伴隨抽象、分析、歸納、同化，教學(xué)目標(biāo)在探索過程中得到落實(shí)。還夢(mèng)想著這種課堂模式完全沒有我們課堂“一統(tǒng)天下”的五段式教學(xué)設(shè)計(jì)（或五環(huán)節(jié)教學(xué)，即引入復(fù)習(xí)、新課講解、鞏固提高、小結(jié)歸納、布置作業(yè)）的嚴(yán)格框架，更沒有“下面，我們學(xué)習(xí)××，這是××考試的必考內(nèi)容”等類似將學(xué)習(xí)結(jié)果明晰指向考試分?jǐn)?shù)的話語。一課時(shí)的活動(dòng)看起來很隨意，整個(gè)課堂始終跟著學(xué)生的思考走。學(xué)生思維是指向終極目標(biāo)——?jiǎng)?chuàng)造性思維的，是可持續(xù)發(fā)展的。

多年的實(shí)踐探索，我以為挖掘、激勵(lì)學(xué)生潛力，培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力應(yīng)該是課堂教學(xué)的核心關(guān)注。從學(xué)生創(chuàng)造力發(fā)展規(guī)律來說，一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)有一個(gè)或多個(gè)（多數(shù)情況下應(yīng)該有多個(gè)）預(yù)案，教師作為組織者，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)、根據(jù)課堂實(shí)際進(jìn)展適時(shí)選取、調(diào)整、修正或補(bǔ)充原有的相關(guān)設(shè)計(jì)。教師關(guān)注的（或者說圍繞的）的重心是學(xué)生的好奇、想像、疑問和批判思維發(fā)展之需要，課本（教材）充其量是類似《新華詞典》一樣的工具，作為科學(xué)和規(guī)范以一個(gè)直觀形象的存在幫助學(xué)生把新知識(shí)納入相應(yīng)的結(jié)構(gòu)體系。新的知識(shí)點(diǎn)好比一次馬拉松比賽終點(diǎn)的那條沖線，學(xué)生是這次比賽的主角、看點(diǎn)和成長(zhǎng)對(duì)象，教師是賽前幫助運(yùn)動(dòng)員（學(xué)生）成長(zhǎng)的教練和比賽時(shí)跑道外的服務(wù)員。

2.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注思維。

“數(shù)學(xué)的基本特征是：高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，應(yīng)用的廣泛性與描述的精確性，研究對(duì)象的多樣性與內(nèi)部的統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它像一個(gè)龐大的、多層次的、不斷生長(zhǎng)的、無限延伸的網(wǎng)絡(luò)，高層次的網(wǎng)絡(luò)是由低層次網(wǎng)絡(luò)和結(jié)點(diǎn)組成的，后者是各種概念、命題和定理。各種層次的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)點(diǎn)之間是用嚴(yán)密的邏輯連接起來的?！保ㄗⅲ褐锌圃簭埞c院士語）

課堂教學(xué)的核心關(guān)注是幫助學(xué)生構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系，并能通過教學(xué)促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)補(bǔ)充、完善學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)把關(guān)注重點(diǎn)放在對(duì)思維的研究，顯然是根據(jù)數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)來決定的。關(guān)注學(xué)生思維，從可持續(xù)發(fā)展角度看，關(guān)鍵在于解決一個(gè)矛盾，即處理好各種思維習(xí)慣的養(yǎng)成與各種思維習(xí)慣定式的突破之間的矛盾。

二、理論與實(shí)踐

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要講數(shù)學(xué)，這是共識(shí)。數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，數(shù)學(xué)課堂關(guān)注學(xué)生思維是重中之重。

1.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要注重學(xué)生思維的啟動(dòng)。

要學(xué)生主動(dòng)思考，舍棄解題套路，明確知識(shí)的來龍去脈，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就要注重引導(dǎo)學(xué)生啟動(dòng)思維。學(xué)生思維打開了，自主提出、思考并理解問題，總結(jié)思想方法，這就是學(xué)生的成長(zhǎng)內(nèi)涵。

下面以《二元一次方程組的解法》第一課時(shí)為例具體談一談對(duì)學(xué)生思維調(diào)動(dòng)的方法，以及存在的誤區(qū)。

（1）在網(wǎng)上隨意百度的一篇教學(xué)設(shè)計(jì)（部分），是所謂傳統(tǒng)的五環(huán)節(jié)教學(xué)模式的典型代表。

①?gòu)?fù)習(xí)引入：

1.什么叫做二元一次方程？

2.什么叫做二元一次方程組？

3.什么叫做二元一次方程組的解？

4.由 x+4y=-15得 x=______，或 y=______.

②授新（見下左圖）：

③鞏固練習(xí)（見下右圖）：

④小結(jié)：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？有什么感想？

⑤作業(yè)布置：（略）

這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)曾經(jīng)（現(xiàn)在也依然流行）統(tǒng)治或者說至少是絕大多數(shù)一線教師在課堂教學(xué)中所采用的五環(huán)節(jié)教學(xué)法：復(fù)舊引新、新課講解、鞏固提高、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。每個(gè)環(huán)節(jié)名稱的具體描述不一定相同，不過內(nèi)容大致一樣。

這篇教學(xué)設(shè)計(jì)存在兩個(gè)明顯的疑問：

其一，復(fù)習(xí)引入應(yīng)從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，其意義更值得研討。如該設(shè)計(jì)中第4個(gè)問題，多數(shù)課堂熱衷使用，其原因是為代入法作鋪墊。可是，我還清楚地記得我上學(xué)那會(huì)（30多年了），當(dāng)老師要我填空時(shí)，我首先想的是，要求出未知數(shù)的值？而我既感覺不能求出來，又不敢確認(rèn)自己的感覺是否正確，我糾結(jié)于如何解這個(gè)方程。當(dāng)老師帶領(lǐng)我們用關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)時(shí)，我是云里霧里的狀態(tài)，我不知道這個(gè)方程是不定方程，不可能求出唯一的數(shù)值化的解，也不知道老師這么做的目的是為了后面用代入法解二元一次方程組作準(zhǔn)備，在我看來老師的做法就是個(gè)游戲，是個(gè)無趣的游戲。換句話說，我沒有指向課堂后續(xù)內(nèi)容的需要，沒有指向發(fā)展或成長(zhǎng)思維的啟動(dòng)，有的頂多是被老師牽著做了個(gè)無趣游戲而已。

其次，例題的講解與鞏固練習(xí)的關(guān)系是典型的“葫蘆與畫瓢”的模仿式關(guān)系。試問：對(duì)于解一個(gè)二元一次方程組為什么非得先研究代入法？難道代入法比加減法簡(jiǎn)單？難道具備代入法特征的方程組一定是學(xué)生先碰到？這些可以隨時(shí)想到的簡(jiǎn)單問題很容易被教學(xué)設(shè)計(jì)者忽略，而它們涉及到課堂教學(xué)的核心問題，那就是學(xué)生主動(dòng)式成長(zhǎng)性思維是否得到了啟動(dòng)？

（2）教學(xué)要追求自身的規(guī)律，不能走形式、趕時(shí)髦，否則會(huì)失去本真。下面的設(shè)計(jì)（部分）也是來自網(wǎng)絡(luò)，從教學(xué)過程“二、探究新知”開始截取。

如果一個(gè)全蝦堡比一杯圣代多6元，買一杯圣代和兩個(gè)全蝦堡共需30元，你能算出一杯圣代多少元嗎？一個(gè)全蝦堡是多少元呢？

【活動(dòng)方略】

教師出示問題，學(xué)生回答，教師引入新問題。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引出解二元一次方程組的學(xué)習(xí)。

觀察你所列的二元一次方程組和一元一次方程有什么關(guān)系？能否將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而求得方程組的解呢？

分析我們發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組中第一個(gè)方程y－x＝6可變形為y＝6+x，再將第二個(gè)方程x＋2y＝30中的y換為（6+x），二元一次方程組就化為一元一次方程。解這個(gè)方程，得x＝6，再把x＝6代入y＝6+x，得y＝12，從而得到這個(gè)方程組的解。

歸納：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個(gè)未知數(shù)．這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的想法，叫做消元思想，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。

對(duì)這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，有以下幾個(gè)問題值得考量：

其一，聯(lián)系實(shí)際導(dǎo)出問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來自生活實(shí)際，這快成為當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的主流。本文也是“通過問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引出解二元一次方程組的學(xué)習(xí)”。經(jīng)驗(yàn)豐富的教師知道，這種設(shè)計(jì)在實(shí)際教學(xué)中往往會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)問題：首先，所謂的實(shí)際問題引入激發(fā)興趣，可事實(shí)是學(xué)生（至少有部分學(xué)生）不能準(zhǔn)確列出方程或方程組，從而出現(xiàn)課堂重難點(diǎn)偏移，如果想避免這種偏移，教師直接拿出結(jié)論（列出方程組，忽略構(gòu)建方程組的過程），學(xué)生帶著疑惑進(jìn)行后續(xù)活動(dòng)，請(qǐng)問學(xué)生興趣何在？另外，學(xué)生列出的方程可能是一元一次方程，而不能（解方程組沒有學(xué)，學(xué)生的潛意識(shí)中第一反應(yīng)肯定是一元一次方程）列出二元一次方程組。即使教師強(qiáng)行要學(xué)生尋求第二種方法，那可能也是算術(shù)法，這種情形下，請(qǐng)問如何引出新課？所以，彭翕成博士說“數(shù)學(xué)課的主要（或首要）任務(wù)是教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、解數(shù)學(xué)問題。而不是解決實(shí)際問題。將實(shí)際問題化為教學(xué)問題，這并不是教學(xué)的主要任務(wù)。這種能力的培養(yǎng)需要各門學(xué)科（如理、化、生、通用技術(shù)、信息技術(shù)等等）的綜合，不能全由數(shù)學(xué)課來承擔(dān)?！?/p>

其二，在設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)中，看到學(xué)生思維被忽視的影子。如“二元一次方程組中第一個(gè)方程y－x＝6可變形為y＝6+x，再將第二個(gè)方程x＋2y＝30中的y換為（6+x），二元一次方程組就化為一元一次方程。”教學(xué)過程中，教師要盡量想辦法讓學(xué)生“思”起來，然后在科學(xué)、恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)下，使課堂活動(dòng)隨著學(xué)生所思所想而動(dòng)，這才是有效教學(xué)的前提。本預(yù)設(shè)中“二元一次方程組中第一個(gè)方程y－x＝6可變形為y＝6+x”，試問此設(shè)計(jì)老師憑什么肯定學(xué)生列的第一個(gè)方程是yx＝6？這好比一場(chǎng)戰(zhàn)役開始前，作為指揮者的責(zé)任主要是制定戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)，至于士兵具體如何握槍、如何扣動(dòng)板機(jī)，這些絕不是制定作戰(zhàn)計(jì)劃時(shí)該考慮的問題。

（3）啟動(dòng)學(xué)生思維，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，要注意思維指向不能偏離。解二元一次方程組第一節(jié)課把知識(shí)目標(biāo)定為對(duì)代入法、加減法初步的整體感知，第二、三節(jié)課對(duì)代入法、加減法進(jìn)行深化研究和提煉，這樣處理學(xué)生對(duì)方程組的解法才可能易于同化，對(duì)消元思想的理解才能深入，學(xué)生思維才能順乎自然。我在自己的課堂中經(jīng)常是這樣做的：

首先從分層教學(xué)、因材施教的角度出發(fā)，要學(xué)生按自己的理解寫一個(gè)由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組，盡量寫自己可能會(huì)求解的二元一次方程組。寫完后，同周圍的某個(gè)同學(xué)相互交換方程組，試著解對(duì)方提供的方程組。接著由提供方程組的同學(xué)給對(duì)方講解自己寫方程組時(shí)的構(gòu)想，做題者再談自己的解題體會(huì)，討論的主題是解方程組的方法（或設(shè)想）、解方程組的疑惑。然后，讓每位同學(xué)再寫至少一個(gè)二元一次方程組，要求是自己不會(huì)解，或者估計(jì)其他同學(xué)不會(huì)解。之中，教師有意識(shí)地把比較典型的方程組在全班展示，如下面兩組方程是我曾經(jīng)的課堂上學(xué)生寫的比較典型的方程組。典型方程組展示出來之后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考這兩個(gè)方程組各自的解法，最后找學(xué)生演排，并組織全班評(píng)講及其他解法展示、交流。

我設(shè)計(jì)這節(jié)課的想法是把握從特殊到一般的思想，從學(xué)生現(xiàn)有理解層次出發(fā)，以對(duì)策（解法）反構(gòu)特征（當(dāng)然學(xué)生此時(shí)并不知道自己所寫方程組的特有特征）方程組、抽象出典型特征方程組及解法、尋求一般形式的方程組及解法。歸納提升二元一次方程組的概念及解法，經(jīng)歷這些過程的同時(shí)要特別注重?cái)?shù)學(xué)感覺的培養(yǎng)。在整個(gè)探索過程中，提出問題、分析問題、解決問題、總結(jié)問題是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生思維自然自覺打開的。

2.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)

人有哪些思維品質(zhì)？哪些又是與數(shù)學(xué)重點(diǎn)聯(lián)系的品質(zhì)？哪些是與生俱來的？哪些是可以通過一定的方式方法進(jìn)行培養(yǎng)的？尤其是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中能有效培養(yǎng)的？這些問題的答案可以不斷更新，這些問題值得探討，每次自覺思考這些問題會(huì)有不同層度的成長(zhǎng)。以下，我的思考只能說是在追尋這些問題答案過程中一些小經(jīng)驗(yàn)、小見解。

如果給思維附加定語，可以得到很多偏正詞組，如邏輯思維、分類思維、類比思維、結(jié)構(gòu)思維、整體思維、發(fā)散思維、聚合思維、批判性思維（審辯式思維）、創(chuàng)造性思維等等。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，哪些思維是常見的？如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)？關(guān)于這兩個(gè)問題，下面舉兩個(gè)例子進(jìn)行幾個(gè)側(cè)面的剖析。

（1）《有理數(shù)的加法》課堂教學(xué)之引入方法

對(duì)于初一的學(xué)生來說，加法不是陌生概念，那為什么還要學(xué)習(xí)呢？原因在于初中在小學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引入新的數(shù)——負(fù)數(shù)，數(shù)得到了擴(kuò)充，數(shù)擴(kuò)充后，曾經(jīng)的加、減、乘、除等各種運(yùn)算規(guī)則是否改變？這個(gè)問題對(duì)層次好的學(xué)生是個(gè)自然會(huì)想到的問題，對(duì)于層次差點(diǎn)的學(xué)生，在老師的引導(dǎo)下他們也是可以提出類似問題的。

按教師對(duì)學(xué)生的了解，下面分熟悉或不熟悉介紹不同的引入方法。下文所說的熟悉，是對(duì)我本人而言，指我自己的學(xué)生，不熟悉是指我曾經(jīng)在各種場(chǎng)合上示范課等類型課時(shí)，借用其他班級(jí)上課時(shí)的學(xué)生。

熟悉的學(xué)生。（注：課堂實(shí)錄，片段）

師：前面我們一起認(rèn)識(shí)了“有理數(shù)”，以及三個(gè)“工具”（數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值），還掌握了兩個(gè)有理數(shù)的大小關(guān)系。在學(xué)習(xí)的過程中，我們還了解了一些詞語的涵義，比如“規(guī)律”、“分類”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)過程，其實(shí)也是按一定的規(guī)律來進(jìn)行的。一般來說，都是先認(rèn)識(shí)它，知其名，然后解剖它，知其義，最后再運(yùn)用它，知其用。在引入負(fù)數(shù)后，我們所學(xué)習(xí)的數(shù)的范圍擴(kuò)充到了有理數(shù)，接下來，我們就有必要重新“審視”我們過去的各種運(yùn)算，并找尋之中的規(guī)律。今天，我們先研究有理數(shù)的加法。（板書課題）

根據(jù)有理數(shù)的分類，兩個(gè)有理數(shù)相加，可以分成哪些不同的類別？

（預(yù)想答案：?。﹥蓚€(gè)正數(shù)相加；ⅱ）兩個(gè)負(fù)數(shù)相加；ⅲ）一個(gè)正數(shù)與0相加；ⅳ）一個(gè)負(fù)數(shù)與0相加；ⅴ）一個(gè)正數(shù)與一個(gè)負(fù)數(shù)相加。）

師：在上述類別中，哪些是小學(xué)已經(jīng)學(xué)過的？哪些沒有學(xué)過？沒有學(xué)過的將是本節(jié)課研究的重點(diǎn)問題。

【說明】?。椭鷮W(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，也就是建構(gòu)知識(shí)體系，讓知識(shí)以“塊”或“結(jié)構(gòu)”的形式進(jìn)行內(nèi)化；ⅱ）對(duì)規(guī)律、分類等詞語的涵義進(jìn)行強(qiáng)化，明晰學(xué)習(xí)、探究問題的方法；ⅲ）有理數(shù)分類一般有“三分法”（見下左圖），“二分法”（見下右圖），課程標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)行教材對(duì)二分法一般不作要求，有的已刪減。

陌生（主要針對(duì)公開課、比賽課等而言）的學(xué)生，下面按學(xué)生水平層次分兩類分別介紹引入方法。

①對(duì)已學(xué)內(nèi)容掌握的比較好的學(xué)生。（注：課堂實(shí)錄，片段）

師（直接板書課題）：（手指課題）加法？有必要學(xué)嗎？為什么？

（預(yù)想答案：有必要學(xué)習(xí)。因?yàn)橐M(jìn)負(fù)數(shù)后，有些加法規(guī)則就可能要變了，比如兩個(gè)負(fù)數(shù)相加等于什么？一個(gè)正數(shù)與一個(gè)負(fù)數(shù)相加又等于什么？還有0與一個(gè)負(fù)數(shù)相加會(huì)等于什么？）

②對(duì)已學(xué)內(nèi)容掌握的不夠好的學(xué)生。（注：課堂實(shí)錄，片段）

師（直接板書課題）：（手指課題）當(dāng)引入負(fù)數(shù)后，負(fù)數(shù)參與了運(yùn)算，原來的運(yùn)算法則會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的變化。今天，我們先從兩個(gè)數(shù)相加進(jìn)行學(xué)習(xí)。請(qǐng)大家先試做或猜想下列各題的結(jié)果，然后我們一起“驗(yàn)證”，最后爭(zhēng)取總結(jié)出規(guī)律。

【說明】對(duì)照有理數(shù)加法法則，先讓學(xué)生猜想計(jì)算結(jié)果，加強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)理性思維，最后總結(jié)規(guī)律，并加以運(yùn)用，構(gòu)建知識(shí)體系，學(xué)生易于接受，也樂于接受。

從培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的角度審視以上有理數(shù)加法新課引入的方法，我們可以窺見：提出問題、推廣問題是多運(yùn)用到邏輯思維，在分析問題時(shí)多用到分類思維、類比思維，在歸納總結(jié)過程中，結(jié)構(gòu)性思維會(huì)發(fā)揮巨大作用，而這些疊加在一起，學(xué)生的創(chuàng)造性思維也就自然得到了發(fā)展與培養(yǎng)。

（2）在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，尤其教學(xué)比武類的課堂教學(xué)中，單節(jié)課容易以碎片的形式出現(xiàn)，授課者、評(píng)課者也往往忽視教學(xué)的長(zhǎng)期性、缺乏整體性的思考。下面以《特殊的平行四邊形》一章的教學(xué)設(shè)計(jì)為例（本文因篇幅所限，僅以部分內(nèi)容圍繞設(shè)計(jì)與教學(xué)進(jìn)行探討），大體論述一下教師在教學(xué)中對(duì)整體章節(jié)教學(xué)的關(guān)注方法，重點(diǎn)探討整體性思維培養(yǎng)的策略。

對(duì)這章的學(xué)習(xí)，學(xué)什么？發(fā)展什么？按傳統(tǒng)應(yīng)付考試拿高分的目標(biāo)，關(guān)于知識(shí)點(diǎn)（定義、判定、性質(zhì)）的教學(xué)無疑是重中之重，導(dǎo)致模仿式、機(jī)械式學(xué)習(xí)占有大量市場(chǎng)，主動(dòng)探索，提出問題、解決問題相反就成了教學(xué)的附屬品。這章蘊(yùn)含的理性美，諸如邏輯美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、公平與公正（平衡之美）就會(huì)被忽略掉。顯然，這樣的教學(xué)是有失偏頗的，是要糾正的。

平行四邊形、矩形、菱形、正方形，對(duì)初中生而言，這些在小學(xué)時(shí)他們已有感性認(rèn)識(shí)，層次好的學(xué)生可以大致分清它們的隸屬關(guān)系。以華東師大版教材為例，這章在定義、性質(zhì)、判定的規(guī)范上，是一個(gè)完整嚴(yán)密的體系，其與自然是融合的。下面以特殊平行四邊形的同層級(jí)圖形，即矩形、菱形的判定為例說明其來自自然，又被提煉后的這種融洽、和諧之美。矩形有兩個(gè)判定，一個(gè)是關(guān)于角的，建立在四邊形的基礎(chǔ)上：“平面中有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”；另一個(gè)是關(guān)于對(duì)角線的，建立在平行四邊形的基礎(chǔ)上：“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”。菱形也有兩個(gè)判定，一個(gè)是關(guān)于邊的，同樣建立在四邊形的基礎(chǔ)上：“四條邊相等的四邊形是菱形”；另一個(gè)是關(guān)于對(duì)角線的，同樣又建立在平行邊形的基礎(chǔ)上：“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”。在這里，平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系之融洽，可以把平行四邊形比作父輩，矩形、菱形好比是一對(duì)雙胞胎兒子，判定定理好比父母送給雙胞胎孩子非常公平的禮物。具體看其判定的“公平之美”，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)矩形定義中關(guān)注了角，“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”，于是它的第一個(gè)判定以角作為切入點(diǎn)；而菱形的定義關(guān)注的是邊，“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，于是它的第一個(gè)判定以邊為切入點(diǎn)；作為本章研究圖形的三個(gè)切入點(diǎn)之角、邊、對(duì)角線，前面的判定用到了角與邊，剩下的就只有對(duì)角線了，“所以”在對(duì)角線上矩形、菱形都存在判定。公平、公正存在于自然中，在教材判定布局中，正是抓住了公平之特點(diǎn)，其判定看起來才那么自然、和諧，充滿著理性美。

綜合以上分析，對(duì)這章的學(xué)習(xí)，完全可以打破教材編寫框架，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，把平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合為一個(gè)整體，從定義、判定、性質(zhì)出發(fā)，以結(jié)構(gòu)形式、語言邏輯、演繹關(guān)系為研究入口，靈活設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)。比如對(duì)定義的教學(xué)，可以把平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合起來作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。因?yàn)槭紫?，從形式上看平行四邊形定義在四邊形圖形的基礎(chǔ)上，矩形、菱形建立在平行四邊形圖形上，正方形也建立在平行四邊形圖形的基礎(chǔ)上。作為第三層級(jí)的正方形，其定義為什么不定義在矩形或菱形的基礎(chǔ)上？若定義在矩形或者菱形基礎(chǔ)上，一方面其形式結(jié)構(gòu)是不美的、不對(duì)稱的，也是“不公平”的；另一方面，從數(shù)學(xué)感覺（感性認(rèn)識(shí)）上看，平行四邊形強(qiáng)調(diào)的是平行，“兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行邊形”，矩形強(qiáng)調(diào)的是正（角為90°為正），菱形強(qiáng)調(diào)了長(zhǎng)度（四條邊的長(zhǎng)度）相等，而作為第三層級(jí)的正方形在這里有如大海，大海海納百川，所以它建立在平行四邊形的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)正、也強(qiáng)調(diào)了長(zhǎng)度相等，“有一個(gè)角是直角、且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形”，這樣更符合它們間的隸屬關(guān)系。其次，從語言上看本章蘊(yùn)藏的邏輯美、簡(jiǎn)潔美更值得進(jìn)行整體教學(xué)，這樣容易在比較中發(fā)掘特質(zhì)，給人以深刻印象。如對(duì)于矩形、菱形的定義，矩形定義中說“有一個(gè)角是直角”，為什么不說四個(gè)角是直角？因?yàn)橛扇€八角、多邊形內(nèi)角和公式、平行四邊形的定義等輕松推出另三個(gè)角是直角，既然可以推得，所以就只需說一個(gè)角是直角了，否則說“四個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”，那就重復(fù)啰嗦了；類似的，菱形的定義也是如此，只需說鄰邊相等，就自然可推得四條邊相等。把定義作為一個(gè)整體進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)到定義的建構(gòu)之美，這也是屬于自然本身的魅力。

3.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)終極關(guān)注為創(chuàng)造性思維的發(fā)展

“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型。？”（東北師范大學(xué)史寧中教授語）“數(shù)學(xué)教學(xué)到底教什么呢？根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素，可以很自然地得出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該教理解、教思維、教思想方法。（華東師范大學(xué)出版社基礎(chǔ)教育分社李文革語）

下面以《整式的乘除》第一單元第二課時(shí)《冪的乘方》教學(xué)為例，介紹對(duì)學(xué)生潛意識(shí)的發(fā)掘，及對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的關(guān)注。后面課堂實(shí)錄著重于真實(shí)記錄課堂上給學(xué)生營(yíng)造自由環(huán)境后，學(xué)生好奇心漸漲、思維打開后的教學(xué)效果。

《冪的乘方》是《整式的乘除》這章鋪墊單元第一單元4個(gè)課時(shí)的第二課，第一課時(shí)是《同底數(shù)冪的乘法》，第三課時(shí)是《積的乘方》，第四課時(shí)是《同底數(shù)冪的除法》，前三個(gè)課時(shí)相對(duì)是一個(gè)整體。由于這章內(nèi)容依課程標(biāo)準(zhǔn)、教材（華東師大版）安排在八年級(jí)（初二）學(xué)習(xí)，與之前七年級(jí)（初一）學(xué)習(xí)的有理數(shù)的乘方運(yùn)算在時(shí)間上相隔太久，所以對(duì)這三個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)，我將其分為兩個(gè)階段。第一階段引導(dǎo)學(xué)生專門研究《同底數(shù)冪的乘法》，除達(dá)成應(yīng)有的知識(shí)目標(biāo)之外，在研究方法、知識(shí)點(diǎn)的回顧與儲(chǔ)備上為后續(xù)研究作準(zhǔn)備。第二階段將第2、3課時(shí)的內(nèi)容揉合在一起，分兩至三個(gè)課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)：首先，在前面第一課時(shí)的基礎(chǔ)上，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，給學(xué)生充分的時(shí)間，讓他們展開想象的翅膀，結(jié)合分類思想、類比思維，猜想、分析，并把所思所想（包括疑問）通過展示的方式表達(dá)出來（下面記錄的兩個(gè)課堂片段，就屬于本內(nèi)容的教學(xué)實(shí)錄）；其次，在上述學(xué)生展示的基礎(chǔ)上組織學(xué)生分析他們交流展示的內(nèi)容；最后，再結(jié)合教材內(nèi)容規(guī)范地將其進(jìn)行歸納總結(jié)。

［課堂實(shí)錄●片段］

課前問題設(shè)計(jì)：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法，我相信大家昨晚按以往的習(xí)慣對(duì)該內(nèi)容進(jìn)行了溫習(xí)，同時(shí)在上節(jié)課內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一定的拓展。下面，請(qǐng)同學(xué)們就溫習(xí)中思考或碰到的疑問，以及對(duì)新課的預(yù)想（猜想本節(jié)課將要研究的內(nèi)容），以代數(shù)式的形式表示出來。大家先獨(dú)自思考3分鐘，3分鐘之后，大家可以自由地、輪流上黑板把自己所想寫在黑板上。（注：以下是同一天在兩個(gè)不同班級(jí)上課時(shí)，學(xué)生寫在黑板上的代數(shù)式，以學(xué)生演排順序進(jìn)行記錄。）

●三班：

如果仔細(xì)研究學(xué)生的思考，會(huì)有很多的結(jié)論。比如把兩個(gè)班的情況進(jìn)行對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)至少有如下幾點(diǎn)特別突出：

其一，給學(xué)生思考的自由，就會(huì)有奇跡。結(jié)合數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，學(xué)生完全可以通過自己的創(chuàng)造性思維品質(zhì)輕松推得將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)點(diǎn)。如四班第一位同學(xué)在思考：上節(jié)課學(xué)的是“同底數(shù)”冪的乘法，那“同指數(shù)”冪的乘法會(huì)是什么情況呢？這實(shí)際上是教材安排的第三節(jié)課內(nèi)容《積的乘方》中公式（ab）n=anbn的逆用。相比之下三班的第一位同學(xué)看起來，好像寫了很好笑（不能再計(jì)算）的式子（a2b3），但他有思考，他在思考：上節(jié)課學(xué)了“同底數(shù)”冪的乘法，要是底數(shù)不相同呢？四班這位同學(xué)是把指數(shù)與底數(shù)概念地位等同，主要運(yùn)用了類比思維思考問題。三班這位同學(xué)呢？他是否定思維，或者說運(yùn)用了審辨式思維?，F(xiàn)在，你能判斷這兩名同學(xué)孰優(yōu)孰劣嗎？顯然不能，他們各自都有自己的優(yōu)點(diǎn)，只是思考問題的角度不同而已。

其二，學(xué)生的水平層次決定他們的所思所想，兩個(gè)平行班學(xué)生按通常所謂優(yōu)、中、差水平層次來說，各類層次的人數(shù)都差不多，所以他們的思考幾乎也是類似的，這是很奇妙的現(xiàn)象。比如兩個(gè)班都有學(xué)生提到243（（-3）2×243；3a=243,求 a），究其原因（事后我也咨詢過當(dāng)事學(xué)生），原來他們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)乘方運(yùn)算時(shí)曾在做作業(yè)時(shí)遇到過243=35，而當(dāng)時(shí)覺得很好奇（好奇在243的末尾數(shù)是3，為奇數(shù)，可243=35），于是就記下來了，至今印象深刻。還比如兩個(gè)班學(xué)生都提到了絕對(duì)值，其原因在于這兩個(gè)學(xué)生在過去學(xué)習(xí)中，他們害怕有絕對(duì)值參與的運(yùn)算，所以在課堂上提出來，想讓別人幫助他解惑。

另外，前面演排的同學(xué)會(huì)對(duì)后面同學(xué)的思考與演排產(chǎn)生積極或者消極的影響，也就是前面同學(xué)的發(fā)言對(duì)后面同學(xué)發(fā)言存在暗示，它可能是積極的啟迪，也可能產(chǎn)生消極的定勢(shì)思維、負(fù)遷移，但所有的真實(shí)思考都是值得尊重的。為了盡量避免這種現(xiàn)象，所以在學(xué)生展示前給學(xué)生足夠的時(shí)間獨(dú)立思考是非常必要的。比如四班第一位同學(xué)寫的代數(shù)式?jīng)]有用字母，而用的具體數(shù)，這一點(diǎn)直接影響了緊接著上臺(tái)演排的后兩位同學(xué)，他們也都用具體數(shù)字來描述所思。而第四位演排的同學(xué)又開始用字母了，為什么？其實(shí)他很可能在老師提出問題后，3分鐘的獨(dú)自思考時(shí)間里就想好了，只是沒有第一個(gè)上臺(tái)演排而已。