郭珂甫，劉廣瑞，王慶海

（鄭州大學(xué) 機械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

近些年來，隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，以柔性機械臂為代表的剛?cè)狁詈隙囿w動力學(xué)系統(tǒng)得到迅速發(fā)展。柔性機械臂具有運作速度快、載重/自重比高以及工作容積大等諸多優(yōu)點，在航空航天、車輛工程、現(xiàn)代制造等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但在實際應(yīng)用中，柔性連桿由于材料等因素引起的彈性振動問題，導(dǎo)致其不能完成準確的定位和預(yù)定的軌跡，是該研究領(lǐng)域的一個熱點問題[1]。

柔性機械臂系統(tǒng)的研究內(nèi)容主要由動力學(xué)建模理論和振動控制策略兩部分組成。在動力學(xué)建模方法的研究中，文獻[2-3]基于假設(shè)模態(tài)法和Kane方程建立柔性機械臂的動力學(xué)模型，并分析不同模態(tài)階數(shù)下的動力學(xué)響應(yīng)；文獻[4]提出了基于全局模態(tài)法建立柔性機械臂的動力學(xué)模型，給出具體的計算過程；文獻[5]基于有限元法分析在不同模態(tài)頻率下角速度的變化，并通過實驗與仿真對比驗證；文獻[6]提出基于ANSYS和ADAMS聯(lián)合仿真方法分析不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下柔性機械臂的頻率響應(yīng)變化。對于抑振控制方法的研究，文獻[7]提出了基于Lyapunov穩(wěn)定性的模糊自適應(yīng)控制與模態(tài)速度反饋控制相結(jié)合的方法，抑制柔性臂彎曲和扭轉(zhuǎn)振動，達到了一定的預(yù)期效果；文獻[8]提出采用模糊控制算法和PD控制相結(jié)合的抑振策略，對彈性振動進行理論研究和實驗分析；文獻[9]提出一種新的線性力反饋控制策略，實驗結(jié)果證明能有效抑制末端彈性振動。有關(guān)動力學(xué)建模的研究，仍然沒有形成一個定性的建模理論。各種不同的主動控制方法在抑振方面都取得一定的效果，但仍然有很多不足。例如自適應(yīng)控制在外界參數(shù)發(fā)生較大變化時魯棒性變差等缺陷。在抑振控制方面，還有很多實際工程問題有待解決。線性二次型最優(yōu)控制具有很好的魯棒性，計算簡潔且易獲得最優(yōu)解，在結(jié)構(gòu)主動控制中得到廣泛應(yīng)用。結(jié)合遺傳算法高效的尋優(yōu)能力，該方法在實際工程中容易實現(xiàn)，具有很強的實用性。

首先分析柔性連桿的彈性變形，并在此基礎(chǔ)上采用lagrange方程，建立考慮阻尼作用的末端有集中質(zhì)量的柔性臂動力學(xué)模型，依據(jù)彎曲梁固有振型正交性對其進行簡化。確定二階模態(tài)下的系統(tǒng)的狀態(tài)變量后，推導(dǎo)出以驅(qū)動力矩為輸入，端部彈性變形和轉(zhuǎn)角為輸出向量的狀態(tài)空間表達式。設(shè)計柔性臂系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制策略，用遺傳算法對LQR控制中的加權(quán)矩陣進行參數(shù)優(yōu)化并建立Simulink仿真模型。分析研究優(yōu)化前后柔性機械臂末端位置彈性運動的穩(wěn)定性。

2 柔性機械臂的動力學(xué)描述

2.1 柔性機械臂的彈性變形描述

首先建立單連桿柔性機械臂的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。柔性機械臂是一個彈性懸臂梁，一端固定在旋轉(zhuǎn)電機軸上，另一端自由，末端具有集中質(zhì)量塊，在水平面內(nèi)繞電機轉(zhuǎn)軸做旋轉(zhuǎn)運動。圖中：坐標系XOY—慣性坐標系；坐標系xoy—固定在柔性機械臂上的浮動坐標系，并始終與柔性機械臂的軸線相切；θ（t）—柔性臂的角位移；u（t）—伺服電機驅(qū)動力矩；ml—柔性臂的末端集中質(zhì)量；ω（x，t）—固定在柔性機械臂上的浮動坐標x在t時刻的橫向彈性變形量；l—柔性機械臂連桿的長度；h—連桿橫截面高度；b—橫截面寬度。

圖1 柔性機械臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural Model of Flexible Manipulator

為簡化推導(dǎo)及動力學(xué)建模，對單連桿柔性機械臂做如下小變形假設(shè)：（1）忽略柔性臂軸向彈性變形及剪切變形，僅研究其橫向彈性變形；（2）柔性機械臂的連桿長遠大于其橫截面尺寸；（3）忽略柔性機械臂的重力和空氣阻尼等因素。

點P（X，Y）為連桿上的任意一點，根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)中等截面均質(zhì)梁的彎曲振動偏微分方程，P點橫向彈性變形量ω（x，t）可表示為

式中：ρ—柔性臂連桿材料的密度；E—材料的彈性模量；A—連桿的橫截面積；I—連桿的截面慣性矩。

采用分離變量的方法求解此四階常系數(shù)線性齊次微分方程，設(shè)

式中：W（x）—柔性機械臂在x處的橫向振動幅值函數(shù)；q（t）—描

述運動規(guī)律的時間函數(shù)。將式（2）代入式（1），整理后有：

式（3）左右分別等于獨立的常數(shù)，設(shè)這個常數(shù)為ω2，并定義β4=（ρA/EI）ω2，可分離出兩個獨立的常微分方程，求解就可以得到表示模態(tài)振型函數(shù)W（x）和時間函數(shù)q（t）。柔性機械臂作自由振動時彈性變形滿足的微分方程邊界條件可由如下表示：

在柔性機械臂與電機的固定端（x=0）處，橫向振動位移為0，橫向振動速度為0，即

在柔性機械臂的末端（x=l）處，彎矩為0和剪切力平衡分別滿足：

通過上述邊界條件，即可以得到柔性機械臂模態(tài)振型函數(shù)的表達式：

將ω（x，t）表示為與x有關(guān)的模態(tài)振型函數(shù)Wi（x）和僅與時間t有關(guān)的廣義彈性坐標qi（x）的乘積求和的形式，取前N階模態(tài)階數(shù)，即：

2.2 柔性機械臂的動力學(xué)模型建立

根據(jù)柔性機械臂的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。單連桿柔性機械臂任意一點P的位置坐標P（X，Y）為：

對式（5）求導(dǎo)，可得P點的速度表達式。對于柔性機械臂系統(tǒng)，總動能T包括驅(qū)動電機轉(zhuǎn)軸的動能T1，連桿的動能T2和末端附加質(zhì)量的動能T3。

連桿的動能T2：

柔性臂末端附加質(zhì)量動能T3：

考慮柔性機械臂的工作環(huán)境，忽略其重力勢能，勢能僅由連桿的彈性變形產(chǎn)生，則柔性機械臂系統(tǒng)總勢能為：

研究的柔性臂屬于懸臂梁，根據(jù)彎曲梁振動固有振型的正交性，其模態(tài)振型函數(shù)的正交條件可表示為：

當 i=j時，有 Ki=Mi，Mi、Ki分別表示柔性機械臂第 i階模態(tài)的廣義質(zhì)量和廣義剛度。

將系統(tǒng)的總動能式（6）和總勢能式（7）寫成拉格朗日函數(shù)形式L=T-V，應(yīng)用lagrange方程，并根據(jù)正交條件式（8）、（9）整理化簡后得到末端有附加質(zhì)量的柔性機械臂動力學(xué)方程：

考慮阻尼因素，關(guān)節(jié)處的阻尼為粘性阻尼，結(jié)構(gòu)阻尼采用結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的比例阻尼。由此可將上述得到的動力學(xué)方程改寫成如形式：

式中：ξi—柔性臂第i階彈性振動模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼；ωi—柔性臂第i階模態(tài)固有頻率。

3 控制模型建立

3.1 狀態(tài)空間表達式

不同模態(tài)階數(shù)[11]下柔性機械臂的動力學(xué)響應(yīng)，就末端彈性振動來看，第一階彈性振動模態(tài)起主導(dǎo)作用，研究截取前一階模態(tài)進行分析。設(shè)狀態(tài)向量 x=［θ，q1，θ˙，q˙1］T，用狀態(tài)空間方程：x˙（t）=Ax（t）+Bu（t）；y=Cx（t）表示柔性機械臂的動力學(xué)方程，得到柔性機械臂的狀態(tài)空間表達式為

3.2 線性二次型（LQR）理論推導(dǎo)

式中：矩陣 Q∈Rn×n，R∈Rm×m—非負定對稱和正定對稱常數(shù)加權(quán)系數(shù)矩陣。Q—對狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣。一般情況下，Q越大，控制系統(tǒng)達到穩(wěn)定的時間越短；R—對輸入量的加權(quán)矩陣。對于柔性機械臂系統(tǒng)來說，初始條件 x（t0）=［θ0，0，0，0］，終端條件 x（tf）=［θf，0，0，0］，設(shè) t0=0，tf=∞。

保證性能指標J達到最小的最優(yōu)控制量u*（t）的充分條件是：

式中：K=R-1BTP，為定常反饋增益矩陣；P—正定對稱常系數(shù)矩陣，并滿足Riccatti代數(shù)方程：

對于已建立的控制系統(tǒng)模型，采用現(xiàn)代控制理論中應(yīng)用最成熟的線性二次型方法，對柔性機械臂的末端彈性運動進行振動控制。設(shè)計一個最優(yōu)控制u（t），使如下性能指標J達到極小值：

4 遺傳算法優(yōu)化

遺傳算法（Genetic Algorithm）是一類以模擬生物界自然進化規(guī)律演化而來的一種隨機化、全局化的搜索尋優(yōu)方法，其借鑒了生物進化過程中的遺傳繁殖機制。具有良好的并行操作能力及全局的搜索尋優(yōu)能力，并采用概率化的尋優(yōu)方法，遺傳算法被廣泛應(yīng)用在信號處理、智能計算、智能控制等領(lǐng)域。遺傳算法一般包括編碼解碼、計算適應(yīng)度值、遺傳操作、參數(shù)控制等操作。

由于LQR控制的最優(yōu)性由加權(quán)矩陣Q和R決定，Q矩陣的選取直接影響控制結(jié)果，故對加權(quán)陣Q進行尋優(yōu)。因此可選取Q為四維半正定對角矩陣，R為一維正定矩陣。具體表示如下：

根據(jù)實踐經(jīng)驗，將Q矩陣中4個參數(shù)變量的范圍依次設(shè)置為 q11∈［1 2000］，q22∈［1 100］，q33∈［1 100］，q44∈［1 100］。

遺傳算法的具體步驟如下：

Step1：確定待優(yōu)化控制變量的約束范圍并產(chǎn)生初始種群；

Step2：將初始種群中的每一個個體的值依次賦給加權(quán)矩陣Q的變量q11、q22、q33、q44，并求出對應(yīng)的最優(yōu)控制反饋增益矩陣K，根據(jù)式（10）求出最優(yōu)控制輸入量u*（t），在Matlab軟件simulink環(huán)境下仿真系統(tǒng)的控制模型；

Step 3：將初始種群中的每個個體結(jié)合約束條件，分別計算每次參數(shù)下系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，求出柔性臂的振動量，經(jīng)計算后輸出每個個體的目標函數(shù)值J；

Step 4：將個體的適應(yīng)度取為對應(yīng)的目標函數(shù)J，根據(jù)計算結(jié)果判斷是否滿足遺傳算法終止條件，如果不滿足則進行遺傳操作，否則直接跳到Step 6；

Step 5：進行遺傳操作，設(shè)定初始群體大小M=20，終止進化代數(shù)G=100，交叉概率Pc=0.6，變異概率Pm=0.001。根據(jù)每個個體的目標函數(shù)值，按照給定的交叉概率和變異概率進行選擇、交叉和變異遺傳算子操作，產(chǎn)生新的種群個體，跳到Step 2，循環(huán)遺傳算法的尋優(yōu)過程；

Step 6：輸出目標函數(shù)最小值所對應(yīng)的種群個體值，并根據(jù)算法搜索得到的最優(yōu)結(jié)果計算柔性機械臂的最優(yōu)控制。

5 仿真實驗

實驗和計算用到的柔性臂為45號鋼，柔性臂的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 柔性機械臂幾何物理參數(shù)Tab.1 Parameters of Flexible Manipulator

為驗證遺傳算法優(yōu)化線性二次型最優(yōu)控制器控制下的柔性機械臂末端彈性振動抑振效果，利用MATLAB軟件進行數(shù)值分析和仿真實驗。首先依據(jù)經(jīng)驗值仿真LQR控制器抑制柔性臂末端彈性振動，根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗值選取 q11=1000，q22=10，q33=1，q44=1，此時所對應(yīng)的目標函數(shù)值J=78.95，最優(yōu)反饋增益矩陣K=［31.62，-14.75，4.30 ，1.86］。

遺傳算法優(yōu)化過程中獲得的最優(yōu)個體適應(yīng)度函數(shù)值，如圖2所示。從圖中可以看出，隨著種群的不斷變化，最優(yōu)個體適應(yīng)度函數(shù)值不斷變小，經(jīng)過10代左右計算，得到最優(yōu)個體。最終的最優(yōu)個體為：q11=970，q22=76，q33=30，q44=32，優(yōu)化后得到的最優(yōu)反饋增益控制矩陣：K=［31.14，-61.71，7.69，1.47］。

圖2 遺傳算法優(yōu)化曲線Fig.2 Optimal Individual Value Variation of GA

優(yōu)化前后柔性臂末端彈性振動的階躍響應(yīng)圖，如圖3、圖4所示。端部轉(zhuǎn)角的階躍響應(yīng)，如圖5、圖6所示?？梢钥闯?，優(yōu)化后的柔性機械臂末端彈性振動得到了明顯的抑制，穩(wěn)定時間加快，端部轉(zhuǎn)角的跟蹤響應(yīng)速度加快。

圖3 優(yōu)化前柔性機械臂末端變形Fig.3 Un-optimized Tip Deflection of Flexible Manipulator

圖4 優(yōu)化后柔性機 械臂末端變形Fig.4 Optimized Tip Deflection of Flexible Manipulator

圖5 優(yōu)化前端部轉(zhuǎn)角Fig.5 Un-optimized Angular Displacement Response of Flexible Manipulator

圖6 優(yōu)化后端部轉(zhuǎn)角Fig.6 Optimized Angular Displacement Response of Flexible Manipulator

6 結(jié)論

對具有集中質(zhì)量的單連桿柔性機械臂末端彈性振動進行研究，采用遺傳算法優(yōu)化線性二次型在振動控制中的權(quán)矩陣參數(shù)。實驗結(jié)果表明，經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后得到的加權(quán)矩陣能夠更好的權(quán)衡控制與端部響應(yīng)的要求，與傳統(tǒng)經(jīng)驗值相比，優(yōu)化后的結(jié)果能有效抑制末端彈性振動，加快振動衰減的同時系統(tǒng)端部定位速度更快，驗證了該方法的有效性。