，，，

1. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，合肥 230026 2. 西安衛(wèi)星測(cè)控中心 宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710043

地球靜止衛(wèi)星(Geostationary Satellites，GEO)被廣泛應(yīng)用于通信、氣象等諸多領(lǐng)域，其工作特點(diǎn)決定了它在整個(gè)飛行生命內(nèi)必須保持在特定的經(jīng)度和緯度位置上。但是在自然攝動(dòng)力的作用下，GEO衛(wèi)星會(huì)逐漸偏離其標(biāo)稱位置，所以，需要一個(gè)合適的軌道保持策略來(lái)抵消自然攝動(dòng)力的作用。

早期的GEO衛(wèi)星大多配置化學(xué)推力器，運(yùn)用的是一個(gè)等待式的保持策略：只在衛(wèi)星將超出位置保持死區(qū)時(shí)進(jìn)行控制，對(duì)應(yīng)的軌道要素修正量由位置死區(qū)的大小確定。這個(gè)策略只粗略地將必要控制次數(shù)減少，從減少地面對(duì)衛(wèi)星的操作這一角度來(lái)看效果是顯著的。為了抵消軌道要素的變化，推力器通常每?jī)芍茳c(diǎn)火一次，每次持續(xù)數(shù)十分鐘，提供數(shù)十牛的推力。由于點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)和GEO軌道周期的比率很小，化學(xué)推力器的推力可以視為脈沖推力。文獻(xiàn)[1]給出了一套系統(tǒng)的靜止軌道定點(diǎn)控制和多星共軌控制的策略、模型和算法，在中國(guó)靜止軌道衛(wèi)星管理工作中發(fā)揮著巨大的作用，取得了顯著的成果。文獻(xiàn)[2-3]也都給出了經(jīng)過(guò)工程檢驗(yàn)的經(jīng)典脈沖控制方法。

近年來(lái)，電推進(jìn)技術(shù)逐漸成熟，由于其具有節(jié)約速度增量(燃料消耗)、提高長(zhǎng)期定位精度等顯著優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)逐漸取代化學(xué)推進(jìn)在GEO衛(wèi)星軌道保持上的應(yīng)用[4]，電推進(jìn)平臺(tái)已經(jīng)成為商用通信GEO衛(wèi)星的標(biāo)配。但是，由于電推進(jìn)推力器只能提供很小的推力(通常小于100 mN)，要達(dá)到和化學(xué)推力器同樣的軌道保持目標(biāo)，必須運(yùn)用一個(gè)預(yù)防式的策略，除了滿足位置保持死區(qū)的約束，還要阻止航天器位置超出單一小推力能夠修正的范圍。在這種情況下，電推進(jìn)推力器可能需要每天開(kāi)機(jī)數(shù)小時(shí)，脈沖假設(shè)不再成立，傳統(tǒng)控制策略也不再適用，所以需要設(shè)計(jì)新的方法來(lái)求解這個(gè)控制問(wèn)題。

文獻(xiàn)[5-6]用非線性規(guī)劃技術(shù)來(lái)優(yōu)化求解電推進(jìn)GEO軌道保持策略。文獻(xiàn)[7]首先將動(dòng)力學(xué)模型在靜止衛(wèi)星定點(diǎn)位置處線性化，然后分兩步求解控制策略：1)利用微分包含方法求解推力連續(xù)變化的保持策略；2)將推力連續(xù)變化的策略轉(zhuǎn)化為開(kāi)關(guān)控制。

然而這些方法或者沒(méi)有考慮東西控制和南北控制的耦合，或者沒(méi)有考慮東西控制和南北控制的時(shí)刻沖突問(wèn)題。為了減少地面控制次數(shù)，本文假設(shè)在一天之內(nèi)推力器只開(kāi)機(jī)一次，并且兩次開(kāi)機(jī)之間要保持一定的時(shí)間間隔。動(dòng)力學(xué)模型參考文獻(xiàn)[7-8]的線性化方法，在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步將模型擬平均化，得到線性時(shí)變模型?；跓o(wú)控條件下模型的預(yù)報(bào)和軌道要素的控制約束，用序列二次規(guī)劃方法對(duì)控制量和控制時(shí)間進(jìn)行最優(yōu)化求解。對(duì)于長(zhǎng)期軌道保持問(wèn)題，采用閉環(huán)思路，在滿足狀態(tài)約束的較短周期內(nèi)(周期時(shí)長(zhǎng)由衛(wèi)星定點(diǎn)位置的攝動(dòng)條件和控制死區(qū)的大小確定)，對(duì)控制進(jìn)行規(guī)劃，將結(jié)果帶入模型預(yù)報(bào)下一個(gè)周期的軌道修正量，以此類(lèi)推，從而在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)燃料消耗和地面對(duì)衛(wèi)星操作次數(shù)的最優(yōu)化。文章利用仿真驗(yàn)證了策略和優(yōu)化計(jì)算方法的可行性。

1 動(dòng)力學(xué)與控制模型

和化學(xué)推力器相比，電推進(jìn)推力器能夠提供的推力很小，在GEO衛(wèi)星位保機(jī)動(dòng)中開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)和次數(shù)都大大增加。這時(shí)，脈沖位?？刂撇呗灾械囊恍┽槍?duì)攝動(dòng)長(zhǎng)期項(xiàng)設(shè)計(jì)的“控制環(huán)”不再適用，電推進(jìn)控制序列的規(guī)劃應(yīng)當(dāng)基于包含長(zhǎng)期項(xiàng)和長(zhǎng)周期項(xiàng)的平根軌道外推。為了提高序列優(yōu)化求解的計(jì)算效率，本文將攝動(dòng)矩陣進(jìn)一步線性化[9]。

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于一條理想的地球靜止軌道，傾角i=0°，偏心率e=0，半長(zhǎng)軸a為地球靜止軌道半徑，而升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω、近地點(diǎn)幅角ω和平近點(diǎn)角M的值只是數(shù)學(xué)意義上的奇異值。為了避免在軌道計(jì)算中出現(xiàn)奇異值，本文采用文獻(xiàn)[3]定義的春分點(diǎn)軌道要素：

(1)

式中：l=ω+M+Ω-Θ，Θ=Θ0+ωet，Θ0為t=0時(shí)刻格林尼治恒星時(shí)角，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度；ey=esin(ω+Ω)，ex=ecos(ω+Ω)；iy=isinΩ，ix=icosΩ。

在歷元真赤道坐標(biāo)系(True of Date，TOD)下，考慮地球非球型引力攝動(dòng)(四階主項(xiàng))、日月引力攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)，建立微分方程：

(2)

(3)

式中：R為攝動(dòng)函數(shù)，推導(dǎo)見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]，由于軌道保持考慮的是長(zhǎng)期操作，只需要控制軌道平根在一定范圍內(nèi)即可，因此將式(3)中的短周期項(xiàng)忽略，僅保留半月及以上的周期項(xiàng)和長(zhǎng)期項(xiàng)，具體形式限于篇幅這里不再列出。

fG(x,t)為推力作用方程，由高斯行星方程可得：

(4)

從而建立狀態(tài)變量方程

(5)

衛(wèi)星在空間中相對(duì)地球的真實(shí)位置角度由真經(jīng)度λ、真緯度φ反映：

λ=l+2exsin(l+Θ)-2eycos(l+Θ)

(6)

φ=ixsin(λ+Θ)-iycos(λ+Θ)

(7)

1.2 解析控制方程

在優(yōu)化求解過(guò)程中，由動(dòng)力學(xué)模型積分計(jì)算推力作用效果難以實(shí)現(xiàn)，所以需要一個(gè)合適的解析形式的控制方程來(lái)近似計(jì)算推力作用效果。

在連續(xù)小推力的條件下，平經(jīng)度增量不僅僅由徑向加速度引起，切向加速度也會(huì)引起漂移率的變化，在一次控制中，推力對(duì)平經(jīng)度的作用方程變成：

(8)

式中：VS為地球靜止軌道標(biāo)稱速度；Tf為控制計(jì)算周期的終點(diǎn)時(shí)刻；T為連續(xù)推力開(kāi)始時(shí)刻；Δt為連續(xù)推力持續(xù)時(shí)長(zhǎng)；ar，at分別為徑向和切向加速度。推力對(duì)其他要素的作用方程參考文獻(xiàn)[1]，統(tǒng)一的形式如下：

(9)

(10)

2uTksinLk)

(11)

2uTkcosLk)

(12)

(13)

(14)

式中：K為總開(kāi)機(jī)次數(shù)；tk和τk為第k次開(kāi)機(jī)的中點(diǎn)時(shí)刻和時(shí)長(zhǎng)；Lk為第k次控制中點(diǎn)時(shí)刻的衛(wèi)星平赤經(jīng)；uRk，uTk，uNk分別為第k次控制徑向，切向和法向推力大小。

2 軌道保持策略

2.1 策略設(shè)計(jì)

電推進(jìn)GEO衛(wèi)星軌道保持需要頻繁開(kāi)關(guān)機(jī)，所以通常采用多天多次控制的整體優(yōu)化策略[10]。根據(jù)定軌數(shù)據(jù)、控制周期、位置死區(qū)和動(dòng)力學(xué)模型的無(wú)控預(yù)報(bào)，求解控制序列(包括推力器組合、對(duì)應(yīng)的控制時(shí)刻和時(shí)長(zhǎng))，然后將序列發(fā)送至衛(wèi)星，由衛(wèi)星按照序列自主進(jìn)行軌道保持控制，當(dāng)前控制周期完成后，由測(cè)控網(wǎng)重新確定軌道數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 電推進(jìn)GEO衛(wèi)星軌道保持控制流程Fig.1 Station keeping control flow of GEO satellites by electric propulsion

通過(guò)這樣的策略，將控制計(jì)算問(wèn)題歸結(jié)為多次控制序列的求解[11]。式(8)中有線性項(xiàng)，所以在進(jìn)行非線性規(guī)劃時(shí)，如果控制周期內(nèi)存在多組東西控制，控制時(shí)刻最早的一組收益最大，序列中將只有第1組非零(在不進(jìn)行偏心率控制時(shí)，僅第一組中的1個(gè)非零)，導(dǎo)致軌道要素變化路徑無(wú)法滿足狀態(tài)約束。所以，在進(jìn)行較長(zhǎng)周期序列計(jì)算時(shí)，需要考慮衛(wèi)星定點(diǎn)位置的漂移率和控制死區(qū)的大小，將一個(gè)控制周期劃分為若干子周期，每個(gè)子周期內(nèi)包含一組東西控制和數(shù)次南北控制。

2.2 控制序列的最優(yōu)化求解

設(shè)計(jì)變量為開(kāi)機(jī)時(shí)刻和開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)，分別有n個(gè)，一一對(duì)應(yīng)。

性能指標(biāo)為總的速度增量最小，電推進(jìn)推力器推力恒定，所以等價(jià)于總的開(kāi)機(jī)時(shí)間最短：

(15)

式中：nk為第k次開(kāi)機(jī)使用的推力器個(gè)數(shù)；τk為開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)。

約束條件為：

1)推力器本身的開(kāi)關(guān)機(jī)約束：?jiǎn)未伍_(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)4 h；后一次開(kāi)機(jī)時(shí)刻比前一次關(guān)機(jī)時(shí)刻至少推遲15 min。

2)控制目標(biāo)約束：軌道傾角約束，偏心率約束，平經(jīng)度約束。通過(guò)對(duì)這3個(gè)軌道要素的約束，就能將GEO衛(wèi)星的位置限制在相應(yīng)的死區(qū)內(nèi)。

3)序列本身數(shù)學(xué)約束：最后一次關(guān)機(jī)時(shí)間不超出控制周期終點(diǎn)時(shí)刻。

3 仿真分析

3.1 模型無(wú)控預(yù)報(bào)

衛(wèi)星質(zhì)量4 500 kg，面質(zhì)比0.02，光壓系數(shù)1.5，推力器推力恒定0.045 N，假設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量恒定，初始軌道平根數(shù)(TOD)為：歷元時(shí)刻2016年12月1日00:00:00，半長(zhǎng)軸42 165.7 km，偏心率0.000 194 58，軌道傾角0.01°，升交點(diǎn)赤經(jīng)293.219°，近地點(diǎn)幅角359.949°，平近點(diǎn)角180°。

在相同初始條件下(對(duì)應(yīng)的瞬根和平根輸入)，本文建立的平根外推模型MEPP和STK軟件HPOP模型4周軌道外推結(jié)果對(duì)比情況如圖2所示。

由MEPP的平根和HPOP的瞬根外推結(jié)果比對(duì)可知，平根半長(zhǎng)軸變化趨勢(shì)呈線性且位于瞬根震蕩的中心處，傾角變化趨勢(shì)完全重合，偏心率變化趨勢(shì)同樣位于瞬根偏心率震蕩的中心處，真經(jīng)度平根和瞬根的比對(duì)也基本重合。所以，通過(guò)MEPP模型能夠高效地獲取GEO衛(wèi)星軌道要素的平均變化趨勢(shì)，且精度滿足控制設(shè)計(jì)的精度需求。

圖2 模型無(wú)控預(yù)報(bào)與HPOP外推對(duì)比Fig.2 Comparison between model of this paper and HPOP

3.2 控制序列的最優(yōu)化求解

本文研究的衛(wèi)星推力器配置方式參照文獻(xiàn)[3]，為二推力器配置，如圖3所示。3種推力組合的加速度分量如表1所示。

圖3 衛(wèi)星電推進(jìn)推力器配置Fig.3 Thruster configuration of satellites by electric propulsion

推力組合加速度分量徑向切向法向推力器1bRbTbN推力器2-bR-bTbN推力器1+2002bN

衛(wèi)星質(zhì)量4 500 kg，面質(zhì)比0.02，光壓系數(shù)1.5，推力器推力恒定為0.045 N，假設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量恒定，初始軌道要素同第3.1節(jié)。

線性模型無(wú)控和按照優(yōu)化求解的序列控制情況下的軌道外推對(duì)比情況如圖4所示。4周一天一控優(yōu)化序列結(jié)果如表2所示。

按照第2.1節(jié)的策略，首先進(jìn)行東西控制序列規(guī)劃，將4周均分為7個(gè)子周期，每個(gè)子周期內(nèi)包含一組東西控制項(xiàng)(一東一西兩次控制)，總計(jì)14次東西控制。由表2可知，規(guī)劃得到的非零東西控制項(xiàng)有9個(gè)，其中第5、7子周期的一組東西控制項(xiàng)都非零。將這9次控制的時(shí)刻和時(shí)長(zhǎng)加入約束，進(jìn)行南北控制序列規(guī)劃。由表2顯示的序列可知，南北序列規(guī)劃結(jié)果近似于bang-bang控制，每次控制時(shí)長(zhǎng)相同，傳統(tǒng)的脈沖南北位保固定在升降交點(diǎn)進(jìn)行控制[12]，而序列規(guī)劃會(huì)以燃料最優(yōu)為目標(biāo)搜索出控制周期內(nèi)傾角向量的最佳控制方向，所以南北控制序列中每天的控制時(shí)刻也相近。

圖4 無(wú)控-受控對(duì)比Fig.4 Comparison between controlled and uncontrolled

控制次序推力組合控制時(shí)長(zhǎng)/h開(kāi)始時(shí)刻/d控制次序推力組合控制時(shí)長(zhǎng)/h開(kāi)始時(shí)刻/d11+23.4300.169151+23.43014.13121+23.4301.1661620.72815.33931+23.4302.1631710.10216.000421.4033.2201821.20517.35051+23.4304.158191+23.43018.12061+23.4305.155201+23.43019.11771+23.4306.153211+23.43020.114821.3987.179221+23.43021.11291+23.4308.147231+23.43022.109101+23.4309.1442421.21223.350111+23.43010.1422510.21024.8891221.09511.319261+23.43025.101131+23.43012.1362720.46126.380141+23.43013.133281+23.43027.095

圖4中前7個(gè)圖顯示了受控(一天一次開(kāi)關(guān)電推進(jìn)控制)和無(wú)控兩種情況下的4周軌道要素變化情況。在控制序列的優(yōu)化求解中，軌道要素約束設(shè)置為i≤0.01°，e≤1.8×10-4，-0.01°≤l-lS≤0.01°，可見(jiàn)，求解得到的控制序列滿足要求。圖4中最后一個(gè)圖顯示了兩天一次控制時(shí)，真經(jīng)度和真緯度無(wú)控-受控變化情況，14個(gè)控制項(xiàng)中有4個(gè)東西控制項(xiàng)和10個(gè)南北控制項(xiàng)，減少控制次數(shù)限制了控制能力，軌道參數(shù)變化路徑也波動(dòng)更大，所以也要相應(yīng)地增大控制死區(qū)、放松參數(shù)約束條件。圖5顯示了推力器1、2的開(kāi)關(guān)機(jī)時(shí)間。

圖5 4周一天一控推力器開(kāi)關(guān)機(jī)時(shí)刻Fig.5 Thrusters switch time under once a day control

由上述仿真結(jié)果可知，文章提出的GEO衛(wèi)星軌道保持控制策略能夠通過(guò)優(yōu)化求解得到精確、平穩(wěn)的電推進(jìn)控制序列，控制結(jié)果滿足約束條件，軌道參數(shù)演化路徑滿足控制死區(qū)要求，且控制時(shí)刻分布均勻(一天一次)。相比而言，文獻(xiàn)[7]的控制策略中總的控制次數(shù)很多，且頻繁時(shí)一天數(shù)次開(kāi)關(guān)機(jī)，優(yōu)化求解和工程應(yīng)用的復(fù)雜度都大大增加。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了電推進(jìn)地球靜止衛(wèi)星的軌道保持問(wèn)題。針對(duì)現(xiàn)有方法的優(yōu)缺點(diǎn)，建立了攝動(dòng)和開(kāi)關(guān)型連續(xù)小推力條件下的線性模型，給出了離散條件下的解析形式推力作用方程，提出了考慮工程適用性的長(zhǎng)期軌道保持控制策略，給出了對(duì)應(yīng)優(yōu)化求解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型和求解方法。按照本文的方法，對(duì)二推力器配置下的電推進(jìn)GEO衛(wèi)星28天軌道保持控制序列進(jìn)行求解，并仿真驗(yàn)證了序列的可行性和準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，相比現(xiàn)有的方法，本文提出的電推進(jìn)GEO衛(wèi)星軌道保持策略燃料消耗近似最優(yōu)、控制頻次自主可控、軌道參數(shù)變化穩(wěn)定，有一定的工程實(shí)用價(jià)值。