基于最速下降法的可展開索網(wǎng)天線型面調(diào)整方法

，,*，

1. 同濟大學(xué) 建筑工程系，上海 200092 2. 上海躍盛信息技術(shù)有限公司，上海 200240

無線通信、全球衛(wèi)星導(dǎo)航、高分辨率對地觀測、電子偵察及深空探測等領(lǐng)域?qū)π禽d天線提出了多功能、多頻段的要求。星載天線正趨于高精度、大型化發(fā)展。隨著新型航天材料的研制、設(shè)計理念和研究方法的更新,以及試驗技術(shù)的提高，可展天線在過去20年得到迅速發(fā)展[1-5]。索網(wǎng)天線作為空間可展開天線的一種重要結(jié)構(gòu)形式，合理地協(xié)調(diào)了精度與口徑的兼容性問題，具有高度的研發(fā)需求和應(yīng)用價值。根據(jù)支撐結(jié)構(gòu)與展開驅(qū)動方式的不同，索網(wǎng)天線主要包括傘形天線、環(huán)形桁架天線、模塊化構(gòu)架天線等結(jié)構(gòu)方案[6-8]。理論上，索網(wǎng)天線口徑最大可達50 m，型面精度最高可達0.2 mm[3]。

預(yù)應(yīng)力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)是索網(wǎng)天線反射面成型與精度保持的關(guān)鍵技術(shù)[9-10]。以最具代表性的環(huán)形桁架天線AstroMesh[7]為例，其雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)由前索網(wǎng)、背索網(wǎng)和張力陣三部分組成。雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部節(jié)點通過縱向張力陣連接，邊界節(jié)點與環(huán)形桁架的“硬點”連接。通常，背索網(wǎng)與前索網(wǎng)幾何對稱，以保證雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有良好的熱穩(wěn)定性。國內(nèi)外研究工作主要針對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的拓撲設(shè)計、預(yù)應(yīng)力優(yōu)化、熱穩(wěn)定性分析等內(nèi)容，已有較成熟的研究方法和大量的研究成果[11-15]。

此外，由于環(huán)境因素(重力)和各種誤差因素(制造、裝配等)的影響，索網(wǎng)天線必然存在初始型面誤差[16-17]。工程上，需要采用相應(yīng)的試驗手段和調(diào)整技術(shù)以降低上述不利因素引起的初始型面誤差[18-19]。在索網(wǎng)天線地面試驗中，對于不可消除的重力，需要設(shè)計一套合理的重力卸載裝置與卸載方案。對于制造與裝配誤差，傳統(tǒng)的調(diào)整方法主要依靠人工，經(jīng)過反復(fù)的型面幾何測量和張力陣彈簧拉力調(diào)整迭代過程，直至初始型面誤差滿足要求。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有強烈的幾何非線性，調(diào)整過程中索網(wǎng)節(jié)點位移之間高度耦合。隨著索網(wǎng)結(jié)構(gòu)單元與節(jié)點數(shù)量增多，傳統(tǒng)調(diào)整方法目的性差、效率低等缺點體現(xiàn)得尤為明顯。對此，一些學(xué)者提出基于數(shù)值優(yōu)化技術(shù)的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)型面調(diào)整算法，例如將遺傳算法[20]、序列二次規(guī)劃法[21]和進退法[22]與索網(wǎng)結(jié)構(gòu)非線性有限元模型相結(jié)合的型面調(diào)整方法。

本文從雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的拓撲關(guān)系和平衡方程出發(fā)，利用偏導(dǎo)方法推導(dǎo)出型面誤差對張力陣?yán)Φ奶荻裙?，確定任意平衡狀態(tài)下對型面精度影響最顯著的張力陣單元，結(jié)合最速下降法，提出一種快速、有效的型面調(diào)整方法，為實際工程提供理論依據(jù)。

1 分析方法

1.1 型面誤差梯度公式

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的型面調(diào)整過程，可以看作是索網(wǎng)從含有誤差的初始幾何逐漸向目標(biāo)反射面逼近的一系列變形過程。對于雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，最直接的調(diào)整對象為張力陣彈簧，即通過改變彈簧拉力使前索網(wǎng)節(jié)點位于目標(biāo)反射面上。因此，首先推導(dǎo)型面誤差對張力陣彈簧拉力的梯度公式，為確定型面調(diào)整的優(yōu)化路徑提供理論依據(jù)。推導(dǎo)過程如下：

在任意的平衡狀態(tài)下，雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)幾何為：

式中：xf為前索網(wǎng)(front net)節(jié)點坐標(biāo)；xr為背索網(wǎng)(rear net)節(jié)點坐標(biāo)。

雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的張力為：

式中：tf為前索網(wǎng)索單元拉力；tr為背索網(wǎng)索單元拉力；tt為張力陣(tension tie)彈簧拉力。

雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的節(jié)點外力為：

式中：pf為前索網(wǎng)節(jié)點外力；pr為背索網(wǎng)節(jié)點外力。

雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移為：

式中：uf為前索網(wǎng)節(jié)點位移；ur為背索網(wǎng)節(jié)點位移。

根據(jù)雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的拓撲關(guān)系，將全部前索網(wǎng)、背索網(wǎng)索單元及張力陣彈簧單元的方向向量組裝成平衡聯(lián)結(jié)矩陣C，并分塊表示為：

雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)張力與節(jié)點外力的平衡關(guān)系可寫作：

(1)

或簡記作：

Ct=p

將雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的柔度矩陣D分塊表示為：

雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的平衡方程可寫作：

(2)

或簡記作：

u=Dp

假設(shè)目標(biāo)反射面的幾何方程為：

(3)

式中：f為拋物面焦距。

型面誤差δrms為前索網(wǎng)節(jié)點坐標(biāo)的函數(shù)：

(4)

式中：Δxf為前索網(wǎng)節(jié)點相對于目標(biāo)拋物面的幾何偏差;N為前索網(wǎng)節(jié)點數(shù)。

型面誤差δrms對彈簧拉力tt的偏導(dǎo)可表示為：

(5)

首先，考慮式(5)右邊第一項，即型面誤差對前索網(wǎng)節(jié)點坐標(biāo)的偏導(dǎo)。對于前索網(wǎng)的某個節(jié)點xf,k(xf,k,yf,k,zf,k)，取其沿焦軸方向到拋物面的距離作為該節(jié)點誤差，即

結(jié)合式(4)，推導(dǎo)得到型面誤差對前索網(wǎng)節(jié)點坐標(biāo)的偏導(dǎo)表達式為：

其中，

然后，考慮式(5)右邊第二項，即前索網(wǎng)節(jié)點坐標(biāo)對節(jié)點外力的偏導(dǎo)。在數(shù)值優(yōu)化算法中，若通過控制優(yōu)化步長，使相鄰優(yōu)化步之間的雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)滿足小變形假設(shè)，則某一步優(yōu)化中前索網(wǎng)節(jié)點坐標(biāo)對節(jié)點外力的偏導(dǎo)可由前一步優(yōu)化所發(fā)生的前索網(wǎng)節(jié)點位移對節(jié)點外力的偏導(dǎo)代替，即

(6)

結(jié)合式(2)，式(6)可寫作:

(7)

最后，考慮式(5)右邊第三項，即節(jié)點外力對彈簧拉力的偏導(dǎo)。結(jié)合式(1)，該項可寫作：

(8)

綜上，將式(7)、(8)代入式(5)，得到型面誤差梯度的顯性表達式為：

(9)

由式(9)計算得到型面誤差梯度的無窮范數(shù)‖▽δrms(tt)‖∞，可確定該平衡狀態(tài)下對型面精度影響最顯著的張力陣彈簧單元，選其作為型面調(diào)整的控制變量，結(jié)合最優(yōu)化算法，快速降低型面誤差。

1.2 型面精度調(diào)整方法

考慮雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中索段長度誤差對型面精度的影響，采用最速下降法(即梯度法)進行型面調(diào)整。目標(biāo)函數(shù)為型面誤差δrms，優(yōu)化變量為張力陣彈簧拉力tt，選擇型面誤差值下降最快的方向(即負梯度方向)作為搜索方向，具體步驟如下：

2)指定優(yōu)化精度ε>0，在第k步優(yōu)化中，由式(8)計算型面誤差梯度向量的模量|▽δrms(tt)(k)|并判斷精度：如果|▽δrms(tt)(k)|>ε，則選擇(tt)(k)處的負梯度方向，即-▽δrms(tt)(k)作為優(yōu)化搜索方向；如果|▽δrms(tt)(k)|<ε，則停止計算，輸出(tt)(k)作為調(diào)整后的彈簧拉力；

3)第k步優(yōu)化步長λ(k)的計算公式為：

式中：α為步長調(diào)整因子；Δt為彈簧拉力的單位調(diào)整量。

4)令(tt)(k+1)=(tt)(k)-λ(k)▽δrms(tt)(k)，重復(fù)步驟2)～3)。

利用Fortran計算機語言編程實現(xiàn)上述基于最速下降法的型面調(diào)整方法。

2 雙層索網(wǎng)分析模型

建立一個5 m口徑環(huán)形桁架天線的雙層索網(wǎng)模型，如圖1所示。前索網(wǎng)、背索網(wǎng)均采用三向網(wǎng)格形式，二者幾何對稱，索段平均長度約為500 mm。索網(wǎng)邊界節(jié)點與環(huán)形桁架硬點連接，內(nèi)部節(jié)點通過張力陣連接。前索網(wǎng)節(jié)點均位于目標(biāo)拋物面，拋物面焦距為3.0 m。張力陣構(gòu)件由三段單元串聯(lián)組成，即中間拉伸段和上、下連接段。拉伸段為線性彈簧，連接段彈性剛度遠大于彈簧拉伸剛度。前索網(wǎng)和背索網(wǎng)索段的彈性模量為20 GPa，截面積為1.0 mm2。線性彈簧的拉伸剛度為1.0 N/mm。

圖1 環(huán)形桁架天線雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Double-layer cable-net structure of the ring truss antenna

在雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型中，前索網(wǎng)和背索網(wǎng)索單元、張力陣彈簧和連接段均為只能承受軸向拉力的兩節(jié)點單元。對于幾何確定的雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，不考慮結(jié)構(gòu)自重及邊界桁架的彈性變形，指定所有的張力陣彈簧拉力為6.0 N，通過找力分析得到設(shè)計狀態(tài)下雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力。前索網(wǎng)預(yù)張力分布如圖2所示，內(nèi)部索單元預(yù)張力分布均勻，最小值為18.71 N，最大值為26.78 N，邊界索單元預(yù)張力最大值為38.69 N。由于結(jié)構(gòu)對稱性，背索網(wǎng)預(yù)張力結(jié)果與前索網(wǎng)相同。

圖2 設(shè)計狀態(tài)下前索網(wǎng)預(yù)張力分布Fig.2 Pre-tension distribution of the front cable-net in the design state

3 型面調(diào)整算例

針對圖1所示的雙層索網(wǎng)模型，通過數(shù)值試驗驗證本文所提出型面調(diào)整方法的有效性。雙層索網(wǎng)模型中索段長度誤差為獨立的隨機數(shù)，假設(shè)其滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,σ2)。進行4組數(shù)值試驗，分別指定索段長度誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.05 mm(試驗1)、0.10 mm(試驗2)、0.15 mm(試驗3)、0.20 mm(試驗4)，依次將索段長度誤差引入設(shè)計狀態(tài)的雙層索網(wǎng)模型，靜力分析，得到初始的誤差平衡狀態(tài)，利用程序進行型面調(diào)整優(yōu)化計算，分析調(diào)整過程中型面誤差變化情況和雙層索網(wǎng)模型預(yù)張力分布情況。此外，假設(shè)彈簧拉力的單位調(diào)整量Δt為0.10 N，為滿足式(7)成立的小變形假設(shè)，調(diào)整因子α取為0.50。

圖3 型面調(diào)整過程型面誤差Fig.3 Surface error in the surface adjustment process

調(diào)整前、后雙層索網(wǎng)模型的彈簧拉力值分布如圖4所示。設(shè)計狀態(tài)下張力陣彈簧拉力均為6.0 N?？紤]型面調(diào)整前的初始狀態(tài)，由于索段長度誤差的存在，彈簧拉力會變得不均勻。對比4組試驗可以發(fā)現(xiàn)，隨著索段長度誤差的增大，彈簧拉力的不均勻程度增加。在同一組試驗內(nèi)，調(diào)整后的彈簧拉力最小值變得更小、最大值變得更大，彈簧拉力不均勻程度有進一步增加趨勢。

圖4 型面調(diào)整前、后彈簧拉力分布Fig.4 Spring tensions before and after the surface adjustment

表1 型面調(diào)整前、后前索網(wǎng)預(yù)張力系數(shù)

一方面，從誤差來源角度講，需提高索網(wǎng)制造與裝配工藝，降低由索網(wǎng)長度誤差引起的型面誤差。另一方面，可以改進基于最速下降法的型面調(diào)整方法，例如引入適當(dāng)?shù)募s束條件，使調(diào)整后的雙層索網(wǎng)模型預(yù)張力分布滿足工程要求。

4 結(jié)束語

本文針對空間可展天線的雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，基于拓撲關(guān)系和平衡方程，利用偏導(dǎo)方法推導(dǎo)了任意平衡狀態(tài)下型面誤差對張力陣?yán)Φ奶荻裙?。公式具有一般性，適用于不同形式的雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)型面調(diào)整。結(jié)論與展望如下：

1)根據(jù)型面誤差梯度向量的無窮范數(shù)，可以確定對型面誤差影響最顯著的張力陣單元；

2)基于最速下降法的雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)型面調(diào)整方法是有效的，采用型面誤差負梯度方向作為優(yōu)化搜索路徑，可實現(xiàn)快速降低型面誤差的目的；

3)在后續(xù)研究中，考慮引入適當(dāng)?shù)募s束條件，提高型面調(diào)整后雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預(yù)張力均勻程度。