熊 濤， 黃 勇， 靳 瑩

(陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系， 北京 100072)

多鐵性層合材料在制備和使用的過程中，因受苛刻環(huán)境的影響，容易在界面處產(chǎn)生損傷[1]。其中：受拉載荷作用時(shí)，界面處容易發(fā)生法向機(jī)械損傷，表現(xiàn)為脫粘張開；受剪切載荷作用時(shí)，界面處容易發(fā)生切向機(jī)械損傷，表現(xiàn)為脫粘滑動(dòng)。多鐵性層合材料的界面脫粘滑動(dòng)問題還未得到深入研究。根據(jù)傳統(tǒng)理論：界面滑動(dòng)可由剪切線彈簧模型來(lái)模擬。該模型認(rèn)為界面上應(yīng)力連續(xù)而位移不連續(xù)，利用界面處的位移間斷量來(lái)描述損傷，并假設(shè)層間應(yīng)力等于界面剛度系數(shù)與位移間斷量的乘積[2]。盡管該模型描述了界面滑動(dòng)所需的切應(yīng)力，但忽略了摩擦作用。對(duì)于實(shí)際的層合結(jié)構(gòu)，界面脫粘所形成的新表面往往較為粗糙，因此界面滑動(dòng)時(shí)其2個(gè)側(cè)面之間難免會(huì)產(chǎn)生摩擦。當(dāng)層狀多鐵性結(jié)構(gòu)承受壓、剪載荷作用時(shí)，滑動(dòng)界面的摩擦作用尤其不能忽略，且這種摩擦作用也勢(shì)必會(huì)影響結(jié)構(gòu)的斷裂力學(xué)行為。為彌補(bǔ)剪切線彈簧模型的上述缺陷，通過假設(shè)滑動(dòng)界面上、下側(cè)面間的切應(yīng)力與法向應(yīng)力滿足庫(kù)侖摩擦定律擴(kuò)展剪切線彈簧模型，建立了一種界面阻滑/促滑模型，并聯(lián)合采用Green函數(shù)和Cauchy奇異積分方程，對(duì)多鐵性層合材料層內(nèi)開裂問題進(jìn)行了斷裂力學(xué)分析，并通過研究界面法向應(yīng)力和裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子(Stress Intensity Factor, SIF)，給出了多鐵性層合材料層內(nèi)開裂的局部阻滑/促滑機(jī)制。

1 理論模型

1.1 幾何模型

圖1為含損傷摩擦界面的鐵磁/鐵電層合板。其中：鐵磁層、鐵電層的厚度分別為hⅠ和hⅡ，其內(nèi)部各有一條平行于界面的裂紋(分別記為裂紋Ⅰ和裂紋Ⅱ)，其半長(zhǎng)分別是a0Ⅰ和a0Ⅱ，到界面的距離分別為dⅠ和dⅡ。以界面為x軸、界面法線為z軸建立直角坐標(biāo)系，裂紋Ⅰ和裂紋Ⅱ左右尖端的橫坐標(biāo)分別為aⅠ、bⅠ和aⅡ、bⅡ。為方便起見，將區(qū)域0

1.2 基本方程

假設(shè)圖1所示的鐵磁/鐵電層合板沿z軸極化，則xOz面內(nèi)的電磁場(chǎng)將與面內(nèi)變形相耦合。此時(shí)，鐵磁層與鐵電層的本構(gòu)方程為

(1)

鐵磁層與鐵電層的控制方程為[3]

(2)

式中：i=1,2。

1.3 界面阻滑/促滑模型

假設(shè)界面層存在剪切損傷，即鐵電層和鐵磁層在一定程度上能沿界面方向滑動(dòng)。為方便起見，稱這種含剪切損傷的界面為滑動(dòng)界面。根據(jù)傳統(tǒng)線彈簧模型，切應(yīng)力與界面滑動(dòng)位錯(cuò)成正比[4]，即

τzx(x,0)=β(uQ1(x,0)-uQ2(x,0))。

(3)

式中：uQ1(x,0)-uQ2(x,0)為界面滑動(dòng)位錯(cuò)；τzx(x,0)為界面產(chǎn)生滑動(dòng)位錯(cuò)對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力；β為滑動(dòng)界面的彈簧系數(shù)或者界面損傷系數(shù)(N/m3)。當(dāng)界面損傷最大達(dá)到脫粘時(shí)，β=0；當(dāng)界面完好時(shí)，β→∞。

式(3)描述了界面滑動(dòng)損傷和對(duì)應(yīng)切應(yīng)力之間的關(guān)系，但并沒有闡述界面法向應(yīng)力σz(x,0)和界面滑動(dòng)的關(guān)系。根據(jù)庫(kù)侖摩擦定律可知：界面法向應(yīng)力σz(x,0)和界面滑動(dòng)切應(yīng)力τzx(x,0)線性相關(guān)。因此，引入σz(x,0)對(duì)式(3)進(jìn)行修正，即

τzx(x,0)=β(uQ1(x,0)-uQ2(x,0))-fσz(x,0)。

(4)

式中：f為界面滑動(dòng)系數(shù)。顯然，當(dāng)界面受壓縮載荷作用(即σz(x,0)<0)時(shí)，f越大、τzx(x,0)越大，界面越不容易滑動(dòng)，此時(shí)f為“界面阻滑系數(shù)”；當(dāng)界面受拉伸載荷作用(即σz(x,0)>0)時(shí)，f越大、τzx(x,0)越小，表示界面越容易滑動(dòng)，此時(shí)f為“界面促滑系數(shù)”。基于此，可稱f為界面阻滑/促滑系數(shù)，式(4)則表示界面阻滑/促滑模型。

1.4 邊界條件和連續(xù)性條件

假設(shè)裂紋面受xOz平面內(nèi)的等效剪切載荷-τ0的作用，而層合板上下表面不受載荷。此時(shí)，圖1中斷裂問題的邊界條件和連續(xù)性條件為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2 斷裂分析

2.1 位錯(cuò)密度函數(shù)

首先，對(duì)圖1中的2組平行裂紋Ⅰ、Ⅱ用位錯(cuò)進(jìn)行模擬，相應(yīng)的連續(xù)分布位錯(cuò)密度函數(shù)為[3]

g1(x)=

(12)

g2(x)=

(13)

顯然，引入位錯(cuò)密度函數(shù)后，式(9)可得到滿足。

由式(1)、(2)、(4)-(13)可見：圖1中的斷裂力學(xué)問題屬于線性問題。根據(jù)疊加原理：式(12)、(13)中的連續(xù)分布位錯(cuò)聯(lián)合作用的總響應(yīng)等于它們分別單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。為求解連續(xù)分布位錯(cuò)問題，一般需要先求解相應(yīng)的位錯(cuò)點(diǎn)源的Green函數(shù)。因此，先將式(12)和(13)中的2個(gè)連續(xù)分布位錯(cuò)分別用2個(gè)位錯(cuò)點(diǎn)源來(lái)代替[3]：

uQ3,x(x,dⅠ)-uQ4,x(x,dⅠ)=

0.5(λ1(x)+ω1(x));

(14)

uQ5,x(x,-dⅡ)-uQ6,x(x,-dⅡ)=

0.5(λ2(x)+ω2(x))。

(15)

式中：

λk(x)=δ(x-sk)+δ(x+sk),
ωk(x)=δ(x-sk)-δ(x+sk),

分別為x的偶函數(shù)和奇函數(shù)，其中k=1,2，代表2個(gè)位錯(cuò)點(diǎn)源，sk為第k個(gè)位錯(cuò)點(diǎn)源的橫坐標(biāo)，δ(·)為狄拉克Delta函數(shù)。由于λk(x)和ωk(x)的奇偶性，因此位錯(cuò)點(diǎn)源1、2所引起的廣義位移場(chǎng)可分別表示為對(duì)稱部分與反對(duì)稱部分之和。對(duì)式(2)進(jìn)行傅里葉變換，可將這2部分的解表示為含待定系數(shù)的形式，進(jìn)而得到廣義位移的表達(dá)式，將此表達(dá)式代入式(1),可得到廣義應(yīng)力的表達(dá)式(見附錄A)。

2.2 Cauchy奇異積分方程

利用式(4)-(8)、(10)、(11)來(lái)確定待定系數(shù)。對(duì)于位錯(cuò)點(diǎn)源1單獨(dú)作用的問題，將式(A-1)-(A-8)代入式(4)-(7)、(10)，分離奇偶部并作傅里葉逆變換，得到一個(gè)代數(shù)方程組。類似地，對(duì)于位錯(cuò)點(diǎn)源2單獨(dú)作用的問題，可將式(A-1)-(A-8)代入式(4)-(6)、(8)、(11)，分離奇偶部并作傅里葉逆變換，得到另一個(gè)代數(shù)方程組。通過求解這2個(gè)代數(shù)方程組，可確定式(A-1)-(A-8)中的待定系數(shù)，進(jìn)而通過式(A-3)、(A-4)、(A-7)、(A-8)可得到2位錯(cuò)點(diǎn)源分別單獨(dú)作用下切應(yīng)力的Green函數(shù)在z=dⅠ和z=-dⅡ處的表達(dá)式為

(16)

(17)

根據(jù)Green函數(shù)理論和疊加原理，可進(jìn)一步求得式(12)、(13)所示的2組連續(xù)分布位錯(cuò)共同作用下z=dⅠ和z=-dⅡ處所產(chǎn)生的剪應(yīng)力為

(18)

將式(18)代入式(10)、(11)，可得一組Cauchy奇異積分方程:

(19)

根據(jù)Cauchy奇異積分方程理論，式(19)中的位錯(cuò)密度函數(shù)的解可表示為

(20)

(21)

當(dāng)計(jì)算得到式(21)中未知非奇異函數(shù)的數(shù)值解之后，可利用其求得各裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，即

(22)

式中：當(dāng)k=1時(shí)j=Ⅰ；當(dāng)k=2時(shí)j=Ⅱ。

3 數(shù)值結(jié)果

3.1 裂紋縱向間距的影響

當(dāng)2條平行裂紋相互靠近時(shí)，它們會(huì)產(chǎn)生相互作用(如屏蔽作用和干涉作用)；即使它們之間存在一個(gè)界面，這種相互作用也不會(huì)消除。在研究界面對(duì)其兩側(cè)平行裂紋的影響時(shí)，為更有針對(duì)性地研究界面剪切損傷及滑動(dòng)系數(shù)的影響，有必要排除裂紋間相互作用的干擾。因此，假設(shè)2條裂紋在x軸方向上相距(即縱向間距)足夠遠(yuǎn)。為此，需要研究2條裂紋縱向間距c對(duì)SIF的影響，以確定能消除裂紋相互作用的c的合理取值。

另外，圖2所示的規(guī)律與文獻(xiàn)[3]中圖4有2處不同：1) 圖2中SIF在局部振蕩中出現(xiàn)了明顯的波峰，與文獻(xiàn)[3]中機(jī)械應(yīng)變能釋放率(與SIF正相關(guān))局部振蕩所產(chǎn)生的波谷正好相反；2)當(dāng)相關(guān)界面損傷參數(shù)為0時(shí)，圖2中SIF存在局部振蕩，而文獻(xiàn)[3]中機(jī)械應(yīng)變能釋放率不存在局部振蕩。這可能是由裂紋面等效載荷加載模式和界面損傷情況的不同所引起的：在文獻(xiàn)[3]中，裂紋面等效載荷包括等效拉伸載荷、等效剪切載荷、等效電學(xué)載荷和等效磁學(xué)載荷，當(dāng)相關(guān)界面損傷參數(shù)取0時(shí)，界面的法向、切向都失去力學(xué)連接功能，且電磁不可通；本文中，僅有等效剪切載荷作用于裂紋面，界面只存在剪切損傷，即使剪切損傷參數(shù)為0，界面仍有法向的力學(xué)連接功能，且電磁可通。

3.2 局部阻滑/促滑現(xiàn)象

3.3 界面滑動(dòng)系數(shù)的影響機(jī)制

上述現(xiàn)象可用3.2節(jié)中的局部阻滑/促滑現(xiàn)象來(lái)解釋：

2) 當(dāng)f=0時(shí)，界面法向應(yīng)力對(duì)界面切應(yīng)力沒有影響(見式(4))。此時(shí)，局部阻滑/促滑現(xiàn)象不存在，且|c|>20 mm，導(dǎo)致裂紋間相互作用可以忽略，則同一裂紋左右尖端SIF相同。

3.4 界面剪切損傷系數(shù)的影響機(jī)制

上述現(xiàn)象可用界面損傷、局部阻滑/促滑效應(yīng)的綜合影響來(lái)解釋：

1) 當(dāng)f>0時(shí)，尖端aⅠ(bⅡ)靠近界面局部阻滑區(qū)，而尖端aⅡ(bⅠ)靠近界面局部促滑區(qū)，因此尖端aⅠ(bⅡ)的SIF小于尖端aⅡ(bⅠ)。

4 結(jié)論

根據(jù)建立的界面阻滑/促滑模型，對(duì)多鐵性層合材料層內(nèi)開裂問題進(jìn)行了斷裂力學(xué)分析，給出了多鐵性層合材料層內(nèi)開裂的局部阻滑/促滑機(jī)制。主要結(jié)論如下：1)當(dāng)材料僅受平面內(nèi)剪切載荷作用時(shí)，在靠近裂紋尖端的局部界面區(qū)域內(nèi)會(huì)產(chǎn)生非零的法向應(yīng)力，正、負(fù)界面法向應(yīng)力分別會(huì)引起局部促滑、阻滑效應(yīng)；2)增大界面滑動(dòng)系數(shù)或界面剪切損傷系數(shù)均會(huì)增強(qiáng)局部促滑或阻滑效應(yīng)。

上述結(jié)論對(duì)該類智能結(jié)構(gòu)的防斷裂優(yōu)化設(shè)計(jì)具有較好的實(shí)用價(jià)值。然而，上述研究?jī)H僅針對(duì)板狀智能結(jié)構(gòu)，對(duì)工程中柱狀鐵電/鐵磁智能結(jié)構(gòu)而言，其界面對(duì)層內(nèi)裂紋的影響可能會(huì)更加復(fù)雜，因此相關(guān)問題仍需進(jìn)一步研究。

附錄A:兩位錯(cuò)點(diǎn)源的解

位錯(cuò)點(diǎn)源1單獨(dú)作用下，區(qū)域Qi(i=3,4)的廣義位移為

(A-1)

區(qū)域Q2的廣義位移為

(A-2)

區(qū)域Qi(i=3,4)的廣義應(yīng)力為

(A-3)

區(qū)域Q2的廣義應(yīng)力為

(A-4)

位錯(cuò)點(diǎn)源2單獨(dú)作用下，區(qū)域Q1的廣義位移為

(A-5)

區(qū)域Qi(i=5,6)的廣義位移為

(A-6)

區(qū)域Q1的廣義應(yīng)力為

(A-7)

區(qū)域Qi(i=5,6)的廣義應(yīng)力為

(A-8)

附錄B:積分核函數(shù)

sin(ξs1)cos(ξx)]dξ;

(B-1)

sin(ξs1)cos(ξx))dξ;

(B-2)

(B-3)

sin(ξs2)cos(ξx)]dξ;

(B-4)

(B-5)

附錄C:已知函數(shù)

(C-1)

(C-2)

式中：i=1,2。