張棟華

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，遼寧 大連 116025)

一、引 言

隨著指數(shù)公式類型及其數(shù)量越來越多，如何選擇其中具有優(yōu)良性質(zhì)的指數(shù)成為一個(gè)重要議題。Fisher①Irving Fisher是美國(guó)最偉大的經(jīng)濟(jì)學(xué)家之一，是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和價(jià)格指數(shù)理論的先驅(qū)，其中著名的費(fèi)雪方程式是其在1911年《貨幣的購(gòu)買力》中提出的。首次系統(tǒng)地提出時(shí)間維度下的公理化檢驗(yàn)方法，并且應(yīng)用該方法將列舉的134種指數(shù)劃分至worthless至superlative等7個(gè)組別中，其中通過檢驗(yàn)公式越多的指數(shù)，其越接近于superlative②Irving Fisher提出的superlative indices與Diewert(1976)提出的superlative indices有所區(qū)別。組別[1]246-257。在Fisher提出該方法后，通過公理化檢驗(yàn)方法來判別指數(shù)的好壞成為選擇指數(shù)的重要準(zhǔn)則，并且多位學(xué)者對(duì)該方法作出了進(jìn)一步的闡述、擴(kuò)展，這些方面包括：Eichhorn指出公理化檢驗(yàn)方法并不是一個(gè)可以將所有檢驗(yàn)公式納入的兼容體系[2]69-94；Olt和Balk對(duì)該方法進(jìn)行了系統(tǒng)的整理、闡述和擴(kuò)展[3]270-275[4]；Diewert和Balk在時(shí)間維度下公理化檢驗(yàn)方法的基礎(chǔ)上提出空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法[5][6]68-74[7]；此外，部分國(guó)內(nèi)學(xué)者將公理化檢驗(yàn)方法應(yīng)用到具體的問題當(dāng)中，其中馮星光和張曉靜采用公理化檢驗(yàn)方法中的部分公式對(duì)貧困測(cè)度指標(biāo)進(jìn)行了綜合評(píng)價(jià)[8]。

公理化檢驗(yàn)方法作為構(gòu)建指數(shù)理論方法中的一種，一方面可以作為指數(shù)的檢驗(yàn)方法，如Fisher、Balk等學(xué)者通過該檢驗(yàn)方法對(duì)大量的指數(shù)進(jìn)行了對(duì)比總結(jié)，并選擇出其中具有優(yōu)良性質(zhì)的指數(shù)；另一方面，可以通過相關(guān)的檢驗(yàn)公式來推導(dǎo)所要求的指數(shù)。從公理化檢驗(yàn)方法的兩個(gè)作用來看，具體可以描述為拋開指數(shù)的具體公式形式和無需具體公式形式的實(shí)際數(shù)據(jù)，用來提出指數(shù)應(yīng)該所具備的一些特征，進(jìn)而歸納形成指數(shù)的檢驗(yàn)方法，并且可以從集中化、抽象化的公理檢驗(yàn)公式出發(fā)，演繹出各類指數(shù)公式，可見公理化檢驗(yàn)方法在篩選指數(shù)，構(gòu)建指數(shù)上有著重要的作用。

二、時(shí)間維度下的公理化檢驗(yàn)方法演化

(一)時(shí)間維度下公理化方法的初步提出

指數(shù)公理化方法的出現(xiàn)是一種非常自然的事情，隨著眾多指數(shù)的提出，如以拉氏指數(shù)為代表的Young指數(shù)，以帕氏指數(shù)為代表的調(diào)和平均形式指數(shù)、以C-D指數(shù)為代表的幾何平均形式指數(shù)，以及后來以Vartia-I和Vartia-II指數(shù)為代表的對(duì)數(shù)算術(shù)平均形式的指數(shù)和在它們基礎(chǔ)上演變而來的Fisher等其他指數(shù)，這些指數(shù)面臨的一個(gè)問題是哪種指數(shù)的性質(zhì)更加優(yōu)良，有沒有一種最優(yōu)指數(shù)的存在，伴隨著這些問題，公理化檢驗(yàn)方法隨之產(chǎn)生。

在指數(shù)公理化方法產(chǎn)生的過程中，首先出現(xiàn)的是各個(gè)檢驗(yàn)公式，并且這些檢驗(yàn)公式是在各個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家在指數(shù)構(gòu)造的基礎(chǔ)上，通過指數(shù)的本質(zhì)特性、所具有的經(jīng)濟(jì)意義和 目的用途等方面提出并發(fā)展而來，如Laspeyres提出的Identity test，表明了指數(shù)的運(yùn)動(dòng)方向；Fisher 提出的product test和the factor reversal test，指明了價(jià)格指數(shù)與物量指數(shù)的對(duì)偶性和經(jīng)濟(jì)意義，本文在此將一些檢驗(yàn)公式總結(jié)為表1。

表1 一些雙邊指數(shù)公理化檢驗(yàn)公式匯總表

隨著大量指數(shù)和諸多檢驗(yàn)公式的提出，F(xiàn)isher 首次系統(tǒng)地對(duì)各類公理化檢驗(yàn)公式進(jìn)行了總結(jié)，并且提出8種具體的指數(shù)檢驗(yàn)公式，認(rèn)為指數(shù)滿足的檢驗(yàn)公式越多，那么該指數(shù)就更加優(yōu)越[1]246-251。指數(shù)公理化檢驗(yàn)方法的創(chuàng)立代表了人們對(duì)指數(shù)的認(rèn)識(shí)從直觀上升到了抽象的階段，從初步、簡(jiǎn)單的認(rèn)知到系統(tǒng)、全面的認(rèn)知。

(二)時(shí)間維度下公理化方法的動(dòng)態(tài)演化

在Fisher提出系統(tǒng)公理化檢驗(yàn)方法后，諸多學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了深入地分析和擴(kuò)展，主要是對(duì)公理化檢驗(yàn)公式之間的兼容性檢驗(yàn)，公理化檢驗(yàn)方法的進(jìn)一步擴(kuò)展以及公理化檢驗(yàn)方法的演繹作用。本文對(duì)這三方面進(jìn)行詳細(xì)的論述。

1.公理化方法中各類公式之間的兼容性檢驗(yàn)。在Fisher提出公理化檢驗(yàn)方法后，部分學(xué)者對(duì)其檢驗(yàn)公式之間的相容性提出質(zhì)疑，認(rèn)為系統(tǒng)中的這些檢驗(yàn)公式并不能被全部包含入內(nèi)，即部分檢驗(yàn)公式與其他檢驗(yàn)公式存在一定的排斥性。其中，F(xiàn)risch和Wald采用舉證的方法首次對(duì)此進(jìn)行了相關(guān)的論證，其中Wald指出，P和Q在一定假設(shè)條件下，Identity test、circular test和product test是不兼容的[9-10]。Eichhorn采用數(shù)理推導(dǎo)對(duì)公理化檢驗(yàn)方法中公式之間的不兼容性進(jìn)行了全面地證明和論述[2]69-94。正是因?yàn)閷?duì)公理化檢驗(yàn)公式之間互斥性的認(rèn)知，在實(shí)際構(gòu)造指數(shù)或者選出最優(yōu)指數(shù)時(shí)，應(yīng)該選擇一些具有互相獨(dú)立性質(zhì)的檢驗(yàn)公式。

2.公理化檢驗(yàn)方法的進(jìn)一步擴(kuò)展。公理化檢驗(yàn)方法是一種動(dòng)態(tài)發(fā)展的體系，隨著統(tǒng)計(jì)學(xué)家對(duì)指數(shù)認(rèn)知的逐步加深，其檢驗(yàn)的公式數(shù)量也在不斷地增加，在該方法發(fā)展過程中，部分學(xué)者對(duì)公理化檢驗(yàn)方法中的公式做了進(jìn)一步的補(bǔ)充、總結(jié)，從表1提出的檢驗(yàn)公式來看，各個(gè)學(xué)者從不同的角度對(duì)指數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征提出了自我的認(rèn)知；此外，Olt和Balk對(duì)公理化檢驗(yàn)方法分別做了系統(tǒng)性的描述、總結(jié)，指出公理化檢驗(yàn)方法的適用范圍和不足之處。公理化檢驗(yàn)方法的動(dòng)態(tài)發(fā)展，保證了其是一個(gè)兼容并蓄的方法體系，可以為不同指數(shù)的優(yōu)劣作為一個(gè)評(píng)判的參考標(biāo)準(zhǔn)。

3.公理化檢驗(yàn)方法的演繹作用。公理化檢驗(yàn)方法的演繹作用，主要是指通過相關(guān)的檢驗(yàn)公式來推導(dǎo)所要求的指數(shù)，即可以從集中化、抽象化的公理檢驗(yàn)公式出發(fā)，演繹出各類指數(shù)公式，具體可用式(1)的形式來進(jìn)行具體說明：

F(k1,...,kN)=P

(1)

從公理化檢驗(yàn)方法的演變來看，其是一個(gè)不斷發(fā)展包容完善的過程。從發(fā)展階段來看，首先出現(xiàn)的是各類公理化檢驗(yàn)公式來檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)指數(shù)的優(yōu)劣，其次又通過檢驗(yàn)公式演繹出所需要的指數(shù)。

三、空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法演化

(一)空間維度下公理化檢驗(yàn)方法提出的背景

隨著全球經(jīng)濟(jì)的一體化發(fā)展，要求不同國(guó)家、區(qū)域經(jīng)濟(jì)水平或者諸如人均收入、工業(yè)產(chǎn)值等其他指標(biāo)進(jìn)行比較，以此來分析國(guó)家或區(qū)域間經(jīng)濟(jì)水平等多方面的狀況。在多國(guó)或多區(qū)域比較中，由于國(guó)家的重要程度不同，以及更加復(fù)雜的加總計(jì)算等問題，特別是如果選擇雙邊指數(shù)直接進(jìn)行多邊比較計(jì)算，其結(jié)果可能依賴基期國(guó)家的選擇性，即選擇不同的國(guó)家作為基期國(guó)家，其帶來的最終結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)不同，這種多邊國(guó)家之間比較的特征決定了雙邊指數(shù)直接應(yīng)用在其上可能存在偏誤，因此在測(cè)度多個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)水平對(duì)比上，雙邊指數(shù)所計(jì)算出的數(shù)值與真實(shí)的數(shù)值之間會(huì)存在一定程度的偏差。

隨著時(shí)間的推進(jìn)，諸如GEKS(Gini-Eltet?- K?ves-Szulc method)、GK(Geary-Khamis method)和CPD(The Country-Product-Dummy method)等多邊指數(shù)方法被提出，這些方法的性質(zhì)如何，特別是在一些相似方法的比較中其優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)比說明，因此如何像Fisher提出對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)公式來分析比較這些方法就顯得很有必要。

(二)空間維度下公理化檢驗(yàn)方法的提出及其特征

Diewert*Diewert是當(dāng)今價(jià)格指數(shù)領(lǐng)域中最出名的學(xué)者之一，是《Consumer Price Index Manual Theory and Practice》(2004)、《Operational Guidelines and Procedures for Measuring the Real Size of the World Economy》(2011)等價(jià)格指數(shù)領(lǐng)域書籍的主要編撰者之一，是《The New Palgrave Dictionary of Economics》中統(tǒng)計(jì)指數(shù)一欄的編寫者。提出多邊比較下(空間維度)的公理化檢驗(yàn)方法，將多邊指數(shù)的公理化檢驗(yàn)公式總結(jié)為9種，在此本文將其中的9種公理化檢驗(yàn)公式歸納為表2。

從Diewert提出的一系列檢驗(yàn)公式可以看到：

第一，由于在多邊指數(shù)方法中包含雙邊指數(shù)方法的特征，并且多邊指數(shù)的公理化檢驗(yàn)方法是基于雙邊指數(shù)公理化檢驗(yàn)方法發(fā)展而來的。因此，空間維度下的檢驗(yàn)方法一方面反映出理論方法上的連續(xù)性特征，如物量比率檢驗(yàn)和價(jià)格比率檢驗(yàn)是基于時(shí)間維度下公理化方法中的比率檢驗(yàn)發(fā)展而來，Diewert提出的公度性檢驗(yàn)是基于Jenvos、Pierson、Fisher所提出的公度性檢驗(yàn)發(fā)展而來；另一方面，空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法又有其個(gè)性的一面，如多邊國(guó)家互換檢驗(yàn)測(cè)度的意義在于保證各個(gè)國(guó)家在比較中有公平的、不偏不倚的地位，防止在購(gòu)買力評(píng)價(jià)的測(cè)度中出現(xiàn)格申科龍效應(yīng)[5,12]。

表2 一些多邊指數(shù)公理化檢驗(yàn)公式匯總表

第二，空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法更加側(cè)重檢驗(yàn)物量指數(shù)*購(gòu)買力平價(jià)(Purchasing Power Parity，PPP)，在多邊比較(International Comparison Program，ICP)中，僅僅作為一個(gè)中間過程，最終目的在于求解各國(guó)國(guó)力等物量方面的比較。，如Diewert和Balk基于Sk(P,Y)來檢驗(yàn)其所提出的各類公理化檢驗(yàn)方法，原因在于區(qū)域或世界范圍內(nèi)的多邊比較，其目的往往是比較各國(guó)的經(jīng)濟(jì)水平、產(chǎn)出水平等，即物量水平上的比較[5,13]。

第三，在空間多邊比較中，其比較的范圍內(nèi)國(guó)家之間應(yīng)該保持一種“均勻”狀態(tài)，因此在空間維度下的公理化檢驗(yàn)公式中，多邊國(guó)家互換檢驗(yàn)意味著在區(qū)域內(nèi)的多個(gè)國(guó)家中，不能存在一個(gè)國(guó)家獨(dú)大，即區(qū)域內(nèi)的每個(gè)國(guó)家都應(yīng)該被公平對(duì)待，Kravis等將該檢驗(yàn)視為基期國(guó)家的不變性[14]376。在多邊國(guó)家經(jīng)濟(jì)水平比較中，該檢驗(yàn)被認(rèn)為是一個(gè)非常重要的檢驗(yàn)。

(三)空間維度下公理化檢驗(yàn)方法的動(dòng)態(tài)演化

在Diewert之后，Balk等部分學(xué)者對(duì)空間維度下的公理化方法進(jìn)行了擴(kuò)展與修正，其中Balk通過采用不同國(guó)家的權(quán)重對(duì)其中的檢驗(yàn)公式進(jìn)行了修正處理，在對(duì)比10種多邊比較方法后，對(duì)Diewert所提出的9種多邊指數(shù)的公理化檢驗(yàn)方法作了進(jìn)一步的修正，并通過這些檢驗(yàn)指出GK方法和the Van I Jzeren方法要更加優(yōu)越[13,15]。在Balk提出修正后的檢驗(yàn)公式基礎(chǔ)上，Diewert對(duì)空間維度下公理化檢驗(yàn)公式進(jìn)行了系統(tǒng)性總結(jié)，并提出了包含可加性等12種檢驗(yàn)公式[12]?？梢哉f，空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法在不斷的動(dòng)態(tài)演化，在這個(gè)動(dòng)態(tài)過程中，公理化檢驗(yàn)方法中的各種公式是被學(xué)者不斷提出的，這些檢驗(yàn)公式提出的過程也是對(duì)多邊指數(shù)結(jié)構(gòu)認(rèn)知逐步加深的過程。

四、對(duì)公理化檢驗(yàn)方法的評(píng)析

(一)公理化檢驗(yàn)方法與指數(shù)之間可以進(jìn)行互相推導(dǎo)

公理化檢驗(yàn)方法作為反映指數(shù)本質(zhì)特征和經(jīng)濟(jì)意義的方法，其具體的檢驗(yàn)公式是通過指數(shù)的運(yùn)動(dòng)特征和其他特性推導(dǎo)得出的，并且隨著對(duì)指數(shù)的認(rèn)知越加深刻，推導(dǎo)而出的公理化檢驗(yàn)公式也會(huì)逐步得到增加；另一方面，公理化檢驗(yàn)方法中的檢驗(yàn)公式也可以在一定條件下進(jìn)行結(jié)合，進(jìn)而推導(dǎo)出所需要的指數(shù)。在這種相互的推導(dǎo)過程中，也反映出對(duì)指數(shù)的本質(zhì)特性了解越加深刻。

(二)時(shí)間和空間維度下的指數(shù)公理化檢驗(yàn)方法，兩者側(cè)重點(diǎn)并不相同

時(shí)間維度下的公理化檢驗(yàn)方法其檢驗(yàn)的不僅包括物量指數(shù)，也包括價(jià)格指數(shù)，而空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法更加側(cè)重于物量指數(shù)，其原因可能在于時(shí)間維度下的指數(shù)目的不僅偏向于測(cè)度同一個(gè)體在不同時(shí)間上經(jīng)濟(jì)水平的比較，也包括測(cè)度對(duì)價(jià)格的變動(dòng)，如通貨膨脹上的測(cè)度，而多邊比較方法更加注重物量上的比較*盡管在多邊比較中，也存在測(cè)度區(qū)域通貨膨脹率和世界通貨膨脹率，然而由于目前的ICP只是幾年才能測(cè)度一次，因此中間的年份數(shù)據(jù)只能通過推導(dǎo)而獲得，所以其最終獲得的世界通貨膨脹率數(shù)值也是不準(zhǔn)確的。，即多個(gè)國(guó)家的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值等方面的比較。

(三)在一定條件下，公理化檢驗(yàn)方法可以演繹出任意指數(shù)

從理論上而言，在條件足夠的前提下，無論是時(shí)間維度的公理化檢驗(yàn)方法還是空間維度的公理化檢驗(yàn)方法都可以演繹出所需要的指數(shù)，這正是公理化檢驗(yàn)方法可以作為構(gòu)建指數(shù)理論的原因所在。然而，這些檢驗(yàn)公式如何去找，怎么將這些公式形成一個(gè)獨(dú)立的體系，仍然需要去不斷地驗(yàn)證和發(fā)展。

(四)時(shí)間和空間維度下的指數(shù)公理化檢驗(yàn)方法，兩者既有共性又有個(gè)性

由于許多空間多邊指數(shù)是基于時(shí)間雙邊指數(shù)的原理提出和設(shè)計(jì)的，作為反映空間指數(shù)本質(zhì)特征的公理化檢驗(yàn)方法與反映時(shí)間指數(shù)本質(zhì)特征的公理化檢驗(yàn)方法有著諸多的共性，如時(shí)間維度下的公理化檢驗(yàn)方法對(duì)應(yīng)的公度性檢驗(yàn)和空間維度下的公理化檢驗(yàn)方法對(duì)應(yīng)的公度性檢驗(yàn)基本類似。然而，國(guó)家或者區(qū)域的多邊比較與時(shí)間雙邊比較也存在很大的不同，如時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的雙邊指數(shù)，其在時(shí)間上是無限的，并且有著自然的排序和同等的位置。但是，在多邊比較中，國(guó)家的數(shù)量是一定的，并且國(guó)家并沒有一種自然性的排序和不同的位置，這種位置可能是由于國(guó)家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力、人數(shù)等原因所引起的，這種比較上和方法上的差異性導(dǎo)致了公理化檢驗(yàn)方法必然在共性中存在著個(gè)性特征，如多邊國(guó)家互換檢驗(yàn)意味著在多個(gè)國(guó)家的比較中，不應(yīng)該存在一個(gè)不對(duì)稱性的國(guó)家，即區(qū)域內(nèi)的每個(gè)國(guó)家都應(yīng)該是對(duì)稱和均勻的，而在時(shí)間維度下的公理化檢驗(yàn)方法并沒有類似的檢驗(yàn)。

五、結(jié) 論

(一)公理化檢驗(yàn)方法為統(tǒng)計(jì)指數(shù)的編制、設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)提供了框架準(zhǔn)則

從公理化檢驗(yàn)方法與指數(shù)之間的互相推導(dǎo)來看，第一，在對(duì)指數(shù)的逐步認(rèn)知中，不斷歸納和總結(jié)出各類公理化檢驗(yàn)公式，這體現(xiàn)了對(duì)指數(shù)的認(rèn)知從個(gè)別上升到一般的過程，也為后續(xù)公理化檢驗(yàn)方法的演繹作用提供了先決條件；第二，在歸納和總結(jié)的基礎(chǔ)上，公理化檢驗(yàn)方法又可以從中演繹出各類所需的指數(shù)公式，這體現(xiàn)了對(duì)指數(shù)認(rèn)知從一般、普遍的視角中回到個(gè)別、具體的指數(shù)當(dāng)中，并且公理化檢驗(yàn)方法演繹作用的挖掘與發(fā)展是對(duì)歸納作用的一個(gè)重要補(bǔ)充，可以為各類公理化檢驗(yàn)公式的歸納指明一定的方向。在公理化檢驗(yàn)方法的兩種作用中，通過歸納作用總結(jié)出的各類檢驗(yàn)公式，為以后統(tǒng)計(jì)指數(shù)公式的創(chuàng)建提供了依據(jù)和指導(dǎo)，并且通過這些檢驗(yàn)公式，為不同指數(shù)之間的比較、評(píng)價(jià)提供了框架準(zhǔn)則；通過演繹作用，在不同的假設(shè)前提下，可以推導(dǎo)出各類所需要的統(tǒng)計(jì)指數(shù)，進(jìn)而為測(cè)度各類經(jīng)濟(jì)目標(biāo)服務(wù)。

(二)公理化檢驗(yàn)方法是數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法的一種結(jié)合

公理化檢驗(yàn)方法中的各類檢驗(yàn)公式，本質(zhì)是通過數(shù)學(xué)的方法來描述和檢驗(yàn)各類統(tǒng)計(jì)指數(shù)，并且在逐步抽象出各類數(shù)學(xué)公式的過程中，需要查看和分析各類指數(shù)公式以及其他資料，因此這一過程又是描述統(tǒng)計(jì)分析的過程。數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)的方法為統(tǒng)計(jì)指數(shù)的邏輯性、可比性與可分析性提供了基本的理論依據(jù)和保障，也是統(tǒng)計(jì)指數(shù)可以逼近現(xiàn)實(shí)問題的基本保證。