翟 爽
(北京市日壇中學(xué) 北京 100020)
在地面參考系中,多個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是比較復(fù)雜的.例如:對(duì)于不同條件下的兩體碰撞問(wèn)題,我們需要對(duì)碰撞前后的動(dòng)量和機(jī)械能進(jìn)行分析,通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算來(lái)判斷碰撞前后物體運(yùn)動(dòng)的變化情況.本文從質(zhì)心系中看問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)兩體碰撞前后,物體的速度及動(dòng)量變化遵循非常簡(jiǎn)單的規(guī)律.
如圖1所示,空間有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2.根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律知:在不受其他外力情況下,兩個(gè)物體相互作用時(shí),普遍遵循如下的方程
(1)
(2)
圖1 空間兩質(zhì)點(diǎn)相互作用
將式(1)和式(2)相加得
(3)
上式可以變形為
(4)
如果把這個(gè)方程看作是某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,并稱這個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)為質(zhì)心,如圖2中的c,則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量mc和位置rc分別為
mc=m1+m2
(5)
(6)
即質(zhì)心的質(zhì)量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量之和,質(zhì)心的位置為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的“平均位置”.
圖2 引入質(zhì)心
若m1=m2,則
質(zhì)心在兩質(zhì)點(diǎn)正中間;當(dāng)m1>m2時(shí), 質(zhì)心的位置離質(zhì)點(diǎn)1比較近,當(dāng)m1 把兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)看成一個(gè)整體,當(dāng)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組不受外力,只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力相互作用時(shí),無(wú)論是碰撞前、碰撞后或者是碰撞的過(guò)程中,式(4)恒成立.即無(wú)論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間碰撞的內(nèi)力多么復(fù)雜,質(zhì)心總是保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)于質(zhì)心c的位置r1c為 r1c=r1-rc= (7) 質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心c的位置r2c為 r2c=r2-rc= (8) 可以看出矢量r1c與r2c互相平行,這說(shuō)明質(zhì)心是處于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連線上,如圖3所示.兩個(gè)矢量的長(zhǎng)度之比為 即質(zhì)心到質(zhì)點(diǎn)1,2的距離與質(zhì)點(diǎn)1,2的質(zhì)量成反比.且質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)1,2的位置不會(huì)因?yàn)樽鴺?biāo)系的選取不同而不同. 圖3 位置關(guān)系 由于質(zhì)點(diǎn)組不受其他外力,只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力相互作用,由式(4)可知:質(zhì)心總是保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài),即質(zhì)心處于平衡狀態(tài). 若將直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)選取在質(zhì)心上,即以質(zhì)心為參考系(簡(jiǎn)稱質(zhì)心系),那么這個(gè)參考系為慣性參考系. 設(shè)碰撞前質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于地面的速度分別為 碰撞后質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于地面的速度分別為u1,u2.根據(jù)動(dòng)量守恒關(guān)系,有 m1v1+m2v2=m1u1+m2u2 (9) 牛頓根據(jù)碰撞過(guò)程中動(dòng)能的損失情況,引入了恢復(fù)系數(shù)e,其定義為 (10) 實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明,恢復(fù)系數(shù)的值處于0和1之間[1].當(dāng)e=0時(shí),碰撞后的動(dòng)能損失最大,稱為完全非彈性碰撞;當(dāng)e=1時(shí),碰撞后的動(dòng)能沒(méi)有損失,稱為彈性碰撞.由式(9)和式(10)得到碰撞后的速度為 (11) (12) 將式(7)和式(8)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到碰撞前質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于質(zhì)心的速度v1c和v2c,即 設(shè)碰撞后質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于質(zhì)心的速度為u1c和u2c,則 當(dāng)e=0時(shí),u1c=u2c=0,即碰撞后的質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于質(zhì)心系的速度為零,說(shuō)明碰撞后兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)粘在一起,且相對(duì)質(zhì)心靜止. 當(dāng)e=1時(shí),u1c=-v1c,u2c=-v2c,這表明在質(zhì)心系中去觀測(cè)兩體的彈性碰撞,兩質(zhì)點(diǎn)在碰撞前后相對(duì)于質(zhì)心c的速度大小相等,方向相反. 此外,因?yàn)橘|(zhì)心系中彈性碰撞前后質(zhì)點(diǎn)的速度大小不變,所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能也保持不變. 碰撞前,質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量為 可以看出m1v1c=-m2v2c,這說(shuō)明在碰撞前,從質(zhì)心系中觀測(cè)質(zhì)點(diǎn)1和2的動(dòng)量是大小相等方向相反的,兩者之和為零. 碰撞后,質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量為 對(duì)于完全非彈性碰撞,e=0時(shí),有 m1u1c=m2u2c=0 即兩質(zhì)點(diǎn)都靜止在質(zhì)心處,兩者之和為零. 對(duì)于彈性碰撞,e=1時(shí),有 m1u1c=-m2u2c 即從質(zhì)心系中觀測(cè)質(zhì)點(diǎn)1和2的動(dòng)量,還是大小相等方向相反,兩者之和為零.且m1u1c=m2v2c,m2u2c=m1v1c,這說(shuō)明質(zhì)心系中碰撞的兩個(gè)物體,碰撞的效果是兩個(gè)物體的動(dòng)量進(jìn)行交換. 從質(zhì)心系中看兩體發(fā)生完全非彈性碰撞,碰后兩物體都將靜止在質(zhì)心處.從質(zhì)心系中看兩體發(fā)生彈性碰撞,遵循如下規(guī)律: (1)從質(zhì)心系中觀測(cè)兩個(gè)物體碰撞前后的速度時(shí),其大小均不變,但是方向變?yōu)榉聪? (2)從質(zhì)心系中觀測(cè)兩個(gè)物體的動(dòng)量時(shí),碰撞前后總動(dòng)量始終為零,且碰撞的效果是兩個(gè)物體的動(dòng)量互換. (3)從質(zhì)心系中觀測(cè)兩個(gè)物體的動(dòng)能時(shí),碰撞前后,兩個(gè)物體的動(dòng)能均不變.2 從質(zhì)心系中看兩體碰撞
2.1 從質(zhì)心系中看兩體的位置
2.2 從質(zhì)心系中看碰撞前后的速度變化規(guī)律
2.3 從質(zhì)心系中看碰撞前后的動(dòng)量變化規(guī)律
3 結(jié)束語(yǔ)