考慮后悔厭惡的私募股權(quán)基金投資組合優(yōu)化模型

胡支軍,賀 陽

(1.貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,貴州貴陽550025;2.貴州省公共大數(shù)據(jù)重點實驗室,貴州貴陽550025)

1 引 言

私募股權(quán)(private equity,PE)投資,是指以非公開的方式向少數(shù)機構(gòu)投資者或個人募集資金,對未上市企業(yè)進行權(quán)益性投資,通過被投資企業(yè)上市或轉(zhuǎn)讓退出,獲得高額資本回報的一種投資方式.PE基金投資與對公開證券市場投資的主要區(qū)別在于,它以放棄資本的流動性來換取追求長期投資的更高收益為特點.在過去的十幾年間,私募股權(quán)投資在全球范圍內(nèi)獲得了高速的發(fā)展.據(jù)普華永道2017年3月發(fā)布的一項報告顯示,2016年,在人民幣募資金額大幅增加的推動下,中國私募股權(quán)及風險投資基金募資創(chuàng)歷史新高,達725.1億美元.同時,2006年至2016年期間,中國大陸及香港市場總共募集資金超過5 320億美元,在亞洲私募股權(quán)/風險投資基金中依舊保持主導地位.

發(fā)展PE投資,對一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟增長、技術創(chuàng)新與勞動就業(yè)都具有明顯的正面促進效應.然而,盡管PE基金作為一種資產(chǎn)類別已經(jīng)起到越來越重要的作用,但是目前學術界關于如何將PE基金納入整體投資組合的研究工作還相當有限.

PE基金的三個特點使得相應的投資組合優(yōu)化模型變得復雜[1].首先,PE基金是非流動性投資,通常不能在其整個生命周期內(nèi)(通常為10到14年)出售[2].這種非流動性是由于缺乏一個成熟的二級市場,以及對出售PE基金的合同限制.其次,PE基金的股權(quán)不能像普通股票和債券那樣可以立即購買.投資者首先做出一個初始資本承諾,并在隨后的時間里,作為對資本募集的回應,轉(zhuǎn)移特定數(shù)量的資金給普通合伙人.第三,PE基金的現(xiàn)金分紅不能再投資于基金,而這些支出是重要的,因為基金的生命周期是有限的.這三個特點導致投資者不能直接控制他們對PE基金的投資組合權(quán)重,而只能選擇對PE基金的新承諾的規(guī)模,這將在某些滯后時間間接的影響未來的投資組合權(quán)重[1].這與現(xiàn)有的許多投資組合優(yōu)化模型中研究的情況大不相同,在這些模型中,投資者可以動態(tài)地再調(diào)整其投資組合中所有資產(chǎn)的權(quán)重.

近年來,具有非流動性資產(chǎn)的投資組合問題引起了學術界的重視.Cumming等[3]給出了一個新的PE基準指數(shù),討論了新的指數(shù)如何改進包含PE基金的投資組合業(yè)績,但該模型沒有考慮PE基金投資的非流動性特征.Longstaff[4]在一個具有異質(zhì)代理人的多資產(chǎn)交換經(jīng)濟中研究了市場非流動性對資產(chǎn)定價模型的影響.Ang等[5]給出了具有流動性資產(chǎn)和非流動性資產(chǎn)的投資組合選擇模型,發(fā)現(xiàn)非流動性風險將導致遞增的和狀態(tài)依賴的風險厭惡并且減少對流動和非流動風險資產(chǎn)的配置.Sorensen等[6]通過求解具有風險厭惡的有限合伙人投資于由一個普通合伙人管理的PE基金的資產(chǎn)組合選擇問題,給出了對PE基金投資的動態(tài)評價模型.Liu等[7]利用實物期權(quán)模型研究了非流動性和報酬結(jié)構(gòu)對PE投資決策的影響,發(fā)現(xiàn)高度非流動性可能加速或延遲投資決策,管理費或提成費將導致對PE的低投資.但是,這些文獻都是在經(jīng)典的CRRA或HARA效用框架下研究投資者的最優(yōu)投資決策問題.

在現(xiàn)實投資環(huán)境,投資者在投資前會對不同市場狀態(tài)下各風險資產(chǎn)的價值進行預估,他們的判斷與決策過程通常會受到認知、情緒等各種心理因素的影響,會表現(xiàn)出“有限理性”行為.后悔理論認為[8?10],決策者在決策過程中會將自己考慮選擇方案的結(jié)果與其他方案可能獲得的結(jié)果進行比較,如果發(fā)現(xiàn)選擇其他方案可以獲得更好的結(jié)果,那么決策者會感到后悔,反之則會感到欣喜.文獻[11]指出,后悔理論在應用上比展望理論更具有優(yōu)勢.因此,在包含PE基金的投資決策中,如何考慮投資者的后悔厭惡行為偏好,選擇令投資者感到最為滿意的一個或多個PE基金,是一個值得關注的問題,具有重要的理論價值和現(xiàn)實意義.

已有不少學者應用后悔理論研究只包括流動性資產(chǎn)的投資組合問題.例如,Michenaudc等[12]應用后悔理論導出了最優(yōu)貨幣對沖決策的封閉解;Mulaudzi等[13]研究了具有后悔厭惡偏好的銀行對貸款和國庫卷的最優(yōu)配置問題;Egozcue等[14]分析了一個后悔厭惡型投資者對兩個流動性風險資產(chǎn)的最優(yōu)投資選擇問題,并對后悔厭惡投資者與風險厭惡投資者的投資行為進行了比較.目前,還尚未有文獻在后悔理論框架下研究具有非流動性PE基金資產(chǎn)類的連續(xù)時間投資組合優(yōu)化問題.

隨著金融市場的迅速變化,投資者通常需要根據(jù)市場環(huán)境的變化不斷調(diào)整投資策略,因此,連續(xù)時間投資組合問題成為學術界廣為關注的研究領域.本文的主要貢獻是:1)在經(jīng)典的Merton投資組合模型[15]框架內(nèi),引入非流動的PE基金,并考慮具有后悔厭惡行為的投資組合問題,給出了投資者的動態(tài)資本承諾策略,以及如何在流動性股票和債券之間最優(yōu)地進行再調(diào)整;2)比較分析了不同偏好假設下的最優(yōu)投資組合策略.以往的文獻幾乎都只考慮單一的CRRA或HARA效用函數(shù)[16],本文則同時選取CRRA和后悔厭惡兩種效用函數(shù),研究不同行為偏好對投資組合配置的影響.研究發(fā)現(xiàn):后悔厭惡型投資者對PE基金的資本承諾比率低于CRRA型投資者的承諾比率,會以更謹慎的態(tài)度對待PE基金.此外,當股票與PE基金收益的相關性水平由正變?yōu)樨摃r,后悔厭惡型投資者和CRRA型投資者對PE基金的承諾比率均由低到高逐漸增加.

2 經(jīng)濟環(huán)境與市場模型

2.1 經(jīng)濟環(huán)境

假設一個具有無限期投資機會的機構(gòu)投資者(有限合伙人),可以投資三種類型的資產(chǎn):無風險債券B,公開上市的股票S,非流動的PE基金F.無風險債券和股票代表經(jīng)典Merton模型[15]中的標準投資機會.

無風險債券(或貨幣市場基金)的價格過程Bt滿足

其中r表示連續(xù)復利無風險利率.為了簡便,r假設為一常數(shù).

流動性股票的動態(tài)價格St服從如下幾何布朗運動

其中μS(μS＞r＞0)表示股票的預期收益率,σS表示股票收益的波動率,WS,t是標準布朗運動.這里為了簡化起見,假定股票不支付紅利[17].注意到,如果股票支付紅利,下面的分析也是同樣成立的.

進一步,借鑒文獻[18]對非流動性風險資產(chǎn)價格過程的建模方法,假定PE基金的收益與股票的收益之間具有線性相關性,本文采用如下的幾何布朗運動來描述PE基金的價值的動態(tài)演化過程

其中μF(μF＞0)表示PE基金的連續(xù)復利預期收益率,γ＞0表示PE基金支付的連續(xù)資本分配率,σF表示PE基金收益率的標準差,WF,t是與WS,t獨立的標準布朗運動,ρ表示PE基金收益與股票收益之間的線性相關系數(shù)(|ρ|≤ 1).

需要指出的是,本文假定PE基金的資本分配率γ為常數(shù),實際上,也可以考慮γ隨時間確定性地或隨機變化的情形.特別地,若取γ=0,則式(3)即為文獻[5,6]中給出的非流動性PE基金的價格過程.

2.2 承諾資本的動態(tài)過程

由于缺乏成熟的二級市場,以及對出售PE基金的合同限制,PE基金在終止時間T之前實際上是沒有交易的.PE基金的這個非流動性特征有兩個主要的含義,1)PE基金的股份不能像股票或債券那樣可以在二級市場即時購買.相反,作為有限合伙人(LP)的投資者首先作出一個資本承諾,然后,在后續(xù)的時間里,作為對資本募集的回應將投入特定數(shù)量的資金給基金(也稱為資本提取).這些資金承諾是不可逆的,而且,通常在資金承諾給基金的時間和資金實際被基金提取用于投資的時間之間有很大的滯后;2)PE基金的現(xiàn)金分紅(也稱為資本分配)不能立即再投資于基金,同時,這些現(xiàn)金分紅是很重要的,因為PE基金的生命周期是有限的[19].

基于上述原因,投資者不能像經(jīng)典Merton投資組合模型中那樣,可以動態(tài)地選擇持有PE基金的比例,而只能隨著時間的推移,選擇他們對基金的新的資本承諾數(shù)量.考慮到PE投資的這個特殊性,本文假設投資者從其總投資組合Pt的當前值中按一定的比例連續(xù)的承諾資金給PE基金.若記Ct為投資者在t時刻未被提取的承諾資金,則有

式(4)中的第一項(Ptvtdt)表示在t時刻投資者從其總投資組合Pt中以比率vt連續(xù)的做出資本承諾.參數(shù)vt是投資者的承諾比率,也是模型的第一個決策變量.需要指出的是vt是嚴格非負的,因為對PE基金做出的資本承諾是不可逆的.式(4)中第二項(?Ctδdt)反映了承諾資本是逐漸地被提取并投資于PE基金的事實,這里假設PE基金是以某個固定的非負比率δ從剩余的未被提取的承諾資本Ct中進行資金提取.參數(shù)δ反映了市場中PE基金的(平均)提取比例,在模型中是一個不能由投資者控制的外生變量.

2.3 投資組合的動態(tài)過程

為了定義投資組合的動態(tài)過程,假設承諾資本Ct在實際被PE基金提取之前,可以投資于股票和債券,并且PE基金的資本分紅可以被再投資于股票和債券.令Lt表示在時刻t投資于股票和債券的流動財富,并假定投資者將流動財富Lt的比例投入股票,而將的比例投入債券.同時,令It表示在時刻t投資于PE基金的非流動財富.

上面的假設生成一個Lt和It的資金循環(huán)流,可以由下面的方程組描述

根據(jù)式(7)和式(8),即可給出投資者的總投資組合Pt=Lt+It的價值動態(tài)方程

3 考慮后悔厭惡的行為投資組合優(yōu)化

3.1 后悔厭惡型投資者的投資組合決策問題

考慮一個有限理性的、基于后悔厭惡行為的投資組合決策問題.投資者的目標是最大化某個終端時刻T的期末財富PT對應的期望效用.具體地,投資者的決策問題是尋求最優(yōu)投資比例和資本承諾策略?v(t),使得下列目標函數(shù)達到最大,即

滿足如下動態(tài)過程

和約束條件

其中效用函數(shù)U(p)=pα/α,α＜1,α?=0且1?α為投資者的相對風險厭惡系數(shù).g(·)是一個嚴格單調(diào)增加的凸函數(shù),反映了投資者的后悔厭惡行為[8,9],k＞0表示投資者的后悔厭惡程度.

當k=0時,模型(10)的目標函數(shù)即為傳統(tǒng)的CRRA效用.由于g(·)是嚴格單調(diào)增加的凸函數(shù),本文選取后悔函數(shù)為g(x)=xθ/θ,且θ＞1.

滿足動態(tài)過程和約束條件式(11)～式(14).

問題(11)是一個跨期投資組合問題,這類問題也稱為隨機最優(yōu)控制問題.投資組合財富過程Pt稱為狀態(tài)過程(或狀態(tài)變量),資本承諾比率v(t)和股票投資比例πS(t)稱為控制過程,條件vt≥0是一個控制約束,以確保對PE基金的資本承諾是嚴格非負的.

3.2 求解投資組合優(yōu)化問題

求解連續(xù)時間投資組合問題的經(jīng)典方法是由Merton[15]提出的隨機動態(tài)規(guī)劃,或者由Cox等[20]提出的鞅方法.遺憾的是,這些方法并不能直接用于求解最優(yōu)控制問題(15)的解析解.一般來說,動態(tài)投資組合選擇問題僅在投資者的偏好與資產(chǎn)收益動態(tài)過程的某些特殊參數(shù)化情形才可以獲得解析解.

隨機模擬技術也可以用于給出動態(tài)投資組合問題的數(shù)值解.例如,Kraft等[21]應用Monte Carlo模擬求解連續(xù)時間生命周期最優(yōu)住房、消費與投資決策問題.由于本文的目的是對包含PE基金的動態(tài)投資組合問題給出一個容易實施的求解策略,借鑒文獻[1]的思路,本文采用不同于文獻[18–21]的方法求解最優(yōu)控制問題(15).

首先,假定投資者可以連續(xù)地交易三種資產(chǎn).在時刻t,記wBt表示投資于無風險債券的比例,wSt表示投資于風險股票的比例,wIt表示投資于PE基金的比例.在可以連續(xù)再調(diào)整的假設下,則問題(15)退化為投資者通過動態(tài)地選擇三種資產(chǎn)的投資比例最大化期末財富的期望效用.

經(jīng)過化簡有

因此,若給出參數(shù)r,μS,μF,ρ,σS,σF,k,θ以及α的具體數(shù)值,便可以求出相應的最優(yōu)投資比例以及從式(17)和式(18)的化簡結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)最優(yōu)投資權(quán)重并不依賴于時間t,這意味著最優(yōu)投資策略是不斷地再調(diào)整投資組合,使得三種資產(chǎn)的投資比例保持不變.

然而,由于PE基金的非流動性,投資者并不能動態(tài)地選擇投資比例wI,因此不可能對投資組合的頭寸不斷的進行再調(diào)整,以使得對三種資產(chǎn)的投資比例不隨時間發(fā)生變化.為解決這一問題,假定投資者采用一種短視的投資組合法則,試圖使投資比例盡可能地接近忽略非流動性影響所獲得的最優(yōu)比例和下面通過兩個步驟來推導出最優(yōu)投資策略.

首先,由于投資者可以連續(xù)地調(diào)整持有股票和債券的流動性財富,通過式(16)定義流動財富中持有股票的最優(yōu)比例為

式(19)意味著投資者將其流動性財富Lt以固定的比例?πS投資于股票,而將剩余的比例投資于無風險債券.

方程(20)表明投資組合比例wLt隨著時間的變化而隨機地發(fā)生變化.投資者可以通過改變對PE基金的比例承諾ct來部分地影響wLt的動態(tài)過程.假設投資者以?t的頻率做出新的資本承諾,類似于文獻[1]的思路,本文采用條件最小二乘法(CLS)[22]來確定對PE基金的最優(yōu)比例承諾ct.該方法的基本思想是,投資者的最優(yōu)策略是選擇t時刻的比例承諾ct,使得目標投資比例與n個未來離散時間點t+?t,t+2?t,...,t+n?t(?t＞0)上的流動資產(chǎn)投資比例在t時刻的條件期望的誤差平方和最小.即求解下面的最優(yōu)化問題

該目標函數(shù)考慮了在t時刻的承諾資金不僅會影響在t+?t時刻投資于流動資產(chǎn)的比例,同時也會影響在未來的離散時間點t+2?t,t+3?t,...,t+n?t對流動資產(chǎn)的投資比例.

根據(jù)附錄B,求解優(yōu)化問題(21)可以得到最優(yōu)比例承諾為

由方程(23)即可求出年度化的最優(yōu)承諾比率為

由于ct??t(1? δ?t?是投資者在時刻t做出新的承諾之前尚剩余的比例承諾資本,方程(24)可以解釋為,如果投資者的剩余比例承諾資本低于最優(yōu)水平則其將對PE基金做出新的承諾,而如果剩余比例承諾資本超過了最優(yōu)水平就不會做出新的承諾.

上面的推導給出了一個容易實施的動態(tài)投資與承諾策略,即投資者可以根據(jù)式(19)對流動性股票和債券以及根據(jù)式(24)對PE基金的承諾資本之間進行最優(yōu)的資本再調(diào)整.

此外,將式(22)代入投資組合權(quán)重的動態(tài)過程式(20),可以得到下面的隨機微分方程

過程(25)給出了wLt的均值–回復性質(zhì).參數(shù)κ控制投資比例wLt回復到其長期目標權(quán)重?wL的速度,σS與σF是該過程的波動參數(shù).

4 數(shù)值模擬

在本節(jié)中,將通過數(shù)值模擬驗證投資組合模型的合理性.首先,假定股票和PE基金具有相同的收益–風險特征,對由式(19)給出的流動性資產(chǎn)投資比例和由式(24)所給出的PE基金動態(tài)承諾策略進行數(shù)值模擬,考察當股票和PE基金的收益具有不同的相關性水平時,后悔厭惡型投資者和CRRA型投資者的最優(yōu)投資組合策略與期望財富的變化情況.其次,考察當股票和PE基金具有不同的收益–風險特征時,兩種不同偏好類型的投資者的最優(yōu)投資組合策略與期望財富的動態(tài)變化過程.

4.1 參數(shù)選取

借鑒文獻[1,5]的方法,本文選取參數(shù)使得對非流動性PE基金的投資可以解釋為對PE的細分市場如并購(buyout)與風險投資基金(VC)進行分散化投資,而對股票的投資則解釋為對股票市場指數(shù)的投資.

首先,根據(jù)文獻[23–25]的研究,本文假設可交易的風險股票與流通受限的PE基金具有相同的收益率和波動參數(shù),并根據(jù)Ang等[5]的估計結(jié)果,選取如下參數(shù)μS=μF=0.12,σS=σF=0.15.這種參數(shù)取值方法的一個優(yōu)點是它可以將非流動性對投資組合的影響與可能是由于兩種風險資產(chǎn)具有不同的Sharpe比而獲得的結(jié)果區(qū)分開來.然后,再考察當股票和PE基金具有不同的Sharpe比時投資組合策略的變化情況.

借鑒文獻[1]的研究結(jié)果,選取資金提取比率δ和現(xiàn)金分紅比率γ的參數(shù)值分別為δ=0.52,γ=0.22.類似于文獻[1,5]的參數(shù)取值方法,在CRRA情形,令相對風險厭惡系數(shù)為1?α=6,同時,取無風險利率為r=0.04.

進一步,假設投資期限為10年且?t=0.25,n=12.即假設投資者在每個季度會對PE基金做出新的資本承諾,并且當決定最優(yōu)承諾比率時,考慮這些承諾資金對接下來的12個季度的投資組合權(quán)重的影響.此外,假設投資者的后悔厭惡參數(shù)k=5,且θ=2.

4.2 投資組合權(quán)重的動態(tài)過程

假設I0=0,C0=0,且設風險股票與PE基金的收益率相關系數(shù)ρ=0.6,即假設兩種風險資產(chǎn)的收益率具有較高的相關性,下面的圖1給出了后悔厭惡型投資者對流動資產(chǎn)(股票和債券)與非流動資產(chǎn)(PE基金)的平均投資權(quán)重的動態(tài)變化過程,其中實線表示平均的資產(chǎn)投資權(quán)重,虛線之間的區(qū)域表示95%的置信區(qū)間.以下結(jié)果是通過Monte Carlo模擬迭代10 000次生成的,Monte Carlo模擬的詳細過程可參見附錄C.

與只包括股票和債券的Merton投資組合問題不同的是,當非流動的PE基金增加到投資組合中時,一個主要的結(jié)果是對所有資產(chǎn)的投資權(quán)重變?yōu)殡S機的,并且會隨時間的變化而大幅變動.由于不可能對PE基金的投資進行連續(xù)的調(diào)整,因此,投資者每季度對流動資產(chǎn)和非流動資產(chǎn)的投資權(quán)重都在一定范圍內(nèi)波動.

為了考察當股票的收益率與PE基金的收益率不相關或為負相關時,投資組合權(quán)重的變化情況,下面的圖2和圖3分別給出了取ρ=0和ρ=?0.2時,后悔厭惡型投資者對流動資產(chǎn)(股票和債券)與PE基金的平均投資權(quán)重的動態(tài)變化過程.類似地,以下結(jié)果也是通過Monte Carlo模擬迭代10 000次生成的.

圖1a 流動資產(chǎn)的平均權(quán)重(ρ=0.6)Fig.1a Average weight of liquid assets(ρ=0.6)

圖1b PE基金的平均權(quán)重(ρ=0.6)Fig.1b Average weight of PE fund(ρ=0.6)

圖2a 流動資產(chǎn)的平均權(quán)重(ρ=0)Fig.2a Average weight of liquid assets(ρ=0)

圖2b PE基金的平均權(quán)重(ρ=0)Fig.2b Average weight of PE fund(ρ=0)

圖3a 流動資產(chǎn)的平均權(quán)重(ρ=?0.2)Fig.3a Average weight of liquid assets(ρ= ?0.2)

圖3b PE基金的平均權(quán)重(ρ=?0.2)Fig.3b Average weight of PE fund(ρ= ?0.2)

對比圖1與圖2,圖3,可以發(fā)現(xiàn),當股票收益和PE基金收益的相關性由正變?yōu)樨摃r,后悔厭惡型投資者投資于股票和債券的平均比例逐漸降低,而對PE基金的平均投資比例則逐漸增加.這表明,相對于ρ為非負的情形,當ρ＜0時,后悔厭惡型投資者會更加偏好對PE基金的投資.

4.3 最優(yōu)承諾策略

下面的圖4,圖5和圖6分別給出了當股票收益率與PE基金收益率的相關系數(shù)為0.6,0,?0.2時,后悔厭惡型投資者與CRRA型投資者對PE基金的最優(yōu)承諾比率vt的動態(tài)變化過程,其中實線表示平均承諾比率vt,虛線之間的區(qū)域表示95%置信區(qū)間.

圖4a 后悔厭惡型承諾比率的動態(tài)變化(ρ=0.6)Fig.4a Dynamic change of regret aversion type commitment rate(ρ=0.6)

圖4b CRRA型承諾比率的動態(tài)變化(ρ=0.6)Fig.4b Dynamic change of CRRA typecommitment rate(ρ=0.6)

圖5a 后悔厭惡型承諾比率的動態(tài)變化(ρ=0)Fig.5a Dynamic change of regret aversion type commitment rate(ρ=0)

圖5b CRRA型承諾比率的動態(tài)變化(ρ=0)Fig.5b Dynamic change of CRRA type commitment rate(ρ=0)

圖6a 后悔厭惡型承諾比率的動態(tài)變化(ρ=?0.2)Fig.6a Dynamic change of regret aversion type commitment rate(ρ= ?0.2)

圖6b CRRA型承諾比率的動態(tài)變化(ρ=?0.2)Fig.6b Dynamic change of CRRA type commitment rate(ρ= ?0.2)

4.4 投資組合財富的變化

不失一般性,設P0=1,下面的圖7給出了后悔厭惡型投資者與CRRA型投資者的最優(yōu)投資組合所對應的累積期望財富Pt的動態(tài)變化過程.

從圖7可發(fā)現(xiàn),1)后悔厭惡型投資者的最優(yōu)投資組合所獲得的終端財富低于CRRA型投資者的最優(yōu)投資組合所獲得的終端財富;2)當股票與PE基金的收益率相關性由正變?yōu)樨摃r,兩種類型的投資者的最優(yōu)投資組合所獲得的累積期末財富也都由低到高逐漸增加.

圖7 累積財富動態(tài)(ρ=0.6,0,?0.2)Fig.7 Accumulated wealth dynamics(ρ =0.6,0,?0.2)

4.5 不同收益–風險特征的影響

為進一步考察當股票和PE基金具有不同的收益–風險特征時,最優(yōu)投資組合策略的動態(tài)變化,參照文獻[1]的方法,取μF=0.2＞μs=0.12,這意味著PE基金的Sharpe比是股票的Sharpe比的兩倍.下面的圖8給出了后悔厭惡型投資者和CRRA型投資者對PE基金的最優(yōu)承諾比率的動態(tài)變化過程.從圖8不難看出,對不同的相關系數(shù)ρ,后悔厭惡型投資者對PE基金的資本承諾比率均低于CRRA型投資者對PE基金的資本承諾比率.

此外,對μF=0.2,μs=0.12,經(jīng)計算發(fā)現(xiàn),當股票和PE基金的收益率相關性分別為0.6,0和?0.2時,后悔厭惡型投資者所獲得的期末財富均低于CRRA型投資者所獲得的期末財富,與4.4節(jié)的結(jié)論相似,這里就不再給出詳細的結(jié)果.

圖8 承諾比率動態(tài)(ρ=0.6,0,?0.2)Fig.8 Commitment rate dynamics(ρ =0.6,0,?0.2)

5 結(jié)束語

借鑒行為經(jīng)濟學的后悔厭惡理論,在經(jīng)典的Merton投資組合框架基礎上,建立了同時考慮具有非流動性的PE基金和投資者后悔厭惡心理的三資產(chǎn)連續(xù)時間投資組合優(yōu)化模型.本文通過提供一個動態(tài)承諾策略,給出了考慮PE基金的這些特殊特征的求解方案.模型的求解結(jié)果使我們可以直接考察PE基金的非流動性和投資者的后悔厭惡心理對最優(yōu)資產(chǎn)配置與投資組合財富的影響,對當前關于PE基金的收益和風險特征的持續(xù)討論具有重要的意義.此外,本文的求解方法也可以進一步推廣到其他的具有資本承諾和期中資本分配的非流動性資產(chǎn)類,例如特殊的房地產(chǎn)、基礎設施基金等[1,5].

本文只考慮了投資者的投資組合決策問題,由于實際中投資者不僅要進行投資決策,還要做出消費決策.因此,分別從傳統(tǒng)CRRA型和后悔厭惡型投資者的視角出發(fā),構(gòu)建同時考慮投資與消費的連續(xù)時間動態(tài)投資組合模型,并設計有效的全局優(yōu)化算法將是值得繼續(xù)深入研究的問題.另外,本文假定PE基金的價值過程服從幾何布朗運動,一個自然的推廣是通過在PE基金的價值動態(tài)方程中加入跳躍或隨機波動,使PE基金的收益率分布偏離正態(tài)分布,然而這通常只能以犧牲容易處理的解析解作為代價.