一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|x2-x-6<0},B={x|2x<1},則A∩B=

( )

A.(-∞,3) B.(0,3) C.(-2,3) D.(-2,0)

2.復數(shù)z滿足z·i=3-i,則復數(shù)z的虛部為

( )

A.-1 B.3 C.-3 D.-3i

( )

4.某人用手機軟件記錄自己一周內(nèi)每天體育鍛煉的時間(單位：分鐘),繪制莖葉圖如圖所示,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是45,則中位數(shù)和x的值分別為

( )

A.45和6 B.45和9

C.44和6 D.44和9

( )

( )

A.64 B.8 C.16 D.32

7.魏晉時數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中,稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”.劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比為π∶4.若已知正方體的棱長為2,則“牟合方蓋”的體積為

( )

8.圖中的程序框圖所描述的算法是計算著名的數(shù)列“斐波那契數(shù)列”中的項,若輸入的k=20,則輸出n的值為

( )

A.7

B.8

C.9

D.10

9.以拋物線x2=my上的點P(1,-1)為圓心且與拋物線的準線相切的圓的標準方程是

( )

C.(x-1)2+(y+1)2=4

D.(x+1)2+(y-1)2=4

10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為

( )

11.下列命題正確的是

( )

(2)由圖象求正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式時,振幅A的大小是由一個周期內(nèi)的圖象中的最高點的值與最低點的值確定的；

(3)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象的兩個相鄰對稱軸間的距離為一個最小正周期；

A.(1)(2)(4)(5) B.(1)(2)(4)

C.(1)(5) D.(2)(3)(4)(5)

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.

16.如圖，某地方政府為改善當?shù)氐慕煌顩r,計劃在AB之間的山中修建一條隧道,公路AD與BC上都有村莊,工程預算人員選了一條離這座山最近的公路CD進行測量,得到如下數(shù)據(jù)：DC=10 km,∠ADB=75°,∠BDC=60°,∠ACB=60°,∠ACD=15°，則線段AB的長度為________.(結(jié)果可以保留根號)

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

已知函數(shù)f(x)=x2-5x+1,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)的圖象上.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{2an}的前n項和Tn.

18.(12分)

已知AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,點C為圓O上一點,AB=6,PA=4,∠ABC=30°,AE⊥PC,點F為PB的中點.

(Ⅰ)求證：AE⊥平面PBC；

(Ⅱ)求多面體ABCEF的體積.

19.(12分)

根據(jù)淘寶、天貓的調(diào)查統(tǒng)計顯示,調(diào)查的100名網(wǎng)購者的年齡(單位：歲)情況如圖所示,已知中間三個年齡段的網(wǎng)購者人數(shù)成等差數(shù)列.將高于50歲的網(wǎng)購者稱為“老年網(wǎng)購者”,并將有關(guān)性別的信息統(tǒng)計到表中.

“老年網(wǎng)購者”非“老年網(wǎng)購者”合計男1030女合計

(Ⅰ)根據(jù)圖表信息,判斷是否有95%的把握認為“老年網(wǎng)購者”與性別有關(guān)？

(Ⅱ)為鼓勵大家網(wǎng)上購物,該平臺常采用購物就發(fā)放代金券的方法進行促銷,具體做法如下：年齡在[30,50)歲的每人發(fā)放20元,其余年齡段的每人發(fā)放50元,現(xiàn)按發(fā)放代金券的金額采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的100名網(wǎng)購者中抽取5人,并在這5人中隨機抽取3人進行回訪調(diào)查,求此3人獲得代金券的金額總和為90元的概率；

①b=1 310；

②由于回歸方程的斜率是負的,說明年齡越大的網(wǎng)購者,每周消費金額一定越少；

③由于回歸直線方程的斜率是負的,說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系是負相關(guān)；

④回歸直線是所有直線中穿過數(shù)據(jù)點最多的直線；

⑤能夠算出回歸方程,說明兩個變量之間確實是線性相關(guān)關(guān)系.

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

20.(12分)

(Ⅰ)求橢圓C1的方程；

(Ⅱ)設(shè)點A,B,Q是點P分別關(guān)于兩坐標軸及坐標原點的對稱點,平行于AB的直線l交C1于異于P,Q的C,D兩點,點C關(guān)于原點的對稱點為點E.證明：直線PD,PE的傾斜角互補.

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=xex+a(x+1)2，其中a≥0.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題記分.

22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程](10分)

(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程；

(Ⅱ)若直線l與圓C交于A,B兩點,求弦長|AB|.

23.[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；

參考答案

1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

17.解：(Ⅰ)因為點(n,Sn)在函數(shù)f(x)的圖象上,

所以Sn=n2-5n+1.

當n=1時,a1=S1=1-5+1=-3；

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-5n+1-[(n-1)2-5(n-1)+1]=2n-6；

當n=1時,a1≠2-6=-4,

(6分)

(12分)

18.解：(Ⅰ)證明：∵AB是圓O的直徑,點C為圓O上一點，∴AC⊥BC，

又∵PA垂直于圓O所在的平面,BC在圓面上，

∴PA⊥BC,

又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,

∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE,

又∵AE⊥PC,PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.

(5分)

在Rt△PAC中,∠PAC=90°,PA=4,AC=3,

在Rt△PCB中,∠PCB=90°,

(12分)

19.解：(Ⅰ)由頻率分布直方圖知“老年網(wǎng)購者”的頻率為 0.25,則調(diào)查的100名網(wǎng)購者中有25人是“老年網(wǎng)購者”,得2×2列聯(lián)表為

“老年網(wǎng)購者”非“老年網(wǎng)購者”合計男102030女155570合計2575100

故沒有95%的把握認為“老年網(wǎng)購者”與性別有關(guān).

(4分)

(Ⅱ)由頻率分布直方圖可知m+n=0.1-0.015×2-0.01=0.06,

∵中間三個年齡段的網(wǎng)購者人數(shù)成等差數(shù)列,

∴m+0.015=2n,

故可解得m=0.035,n=0.025.

利用分層抽樣的方式從100名網(wǎng)購者中抽取5人,

根據(jù)頻率分布直方圖,可得年齡在[30,50)歲的頻率為10×0.035+10×0.025=0.6,

因此抽取的5人年齡在[30,50)歲的人數(shù)為5×0.6=3,

記為A1，A2，A3,其余年齡段的有2人,記為B1，B2,

從這5人中抽取3人所有等可能的情況有A1A2A3,A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A2A3B1,A2A3B2,A1B1B2,A2B1B2,A3B1B2,共10種,

3人獲得代金券的金額總和為90元的取法有A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A2A3B1,A2A3B2,共6種,

(8分)

(Ⅲ)∵網(wǎng)購者年齡的平均數(shù)為0.15×25+0.35×35+0.25×45+0.15×55+0.10×65=42,

∴1 100=-5×42+b,∴b=1 310,∴①正確；

由于回歸方程的斜率是負的,說明年齡越大的網(wǎng)購者,每周平均消費金額會越少,但不是一定變少,∴②錯誤；

由于回歸直線方程的斜率是負的,說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系是負相關(guān),∴③正確；

∴④錯誤；

能夠算出回歸方程,不能說明兩個變量之間確實是線性相關(guān)關(guān)系,兩個變量是不是成線性相關(guān)關(guān)系還要看相關(guān)系數(shù)的大小,∴⑤錯誤.

故①③正確，②④⑤錯誤.

(12分)

解得a2=32,b2=8,

(5分)

(Ⅱ)證明：A,B,Q是P(-4,2)分別關(guān)于兩坐標軸及坐標原點的對稱點,可設(shè)A(-4,-2),B(4,2),Q(4,-2),

代入橢圓x2+4y2=32,可得x2+2tx+2t2-16=0,

即有Δ=4t2-4(2t2-16)>0,解得-4

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則E(-x1,-y1),

x1+x2=-2t,x1x2=2t2-16,

設(shè)直線PD,PE的斜率分別為k1,k2,

要證直線PD,PE的傾斜角互補,只需證k1+k2=0,

即證(4-x1)(y2-2)-(x2+4)(y1+2)=0,

可得(4-x1)(y2-2)-(x2+4)(y1+2)=-x1x2-t(x1+x2)-16=-(2t2-16)+2t2-16=0,

所以直線PD,PE的傾斜角互補.

(12分)

21.解：(Ⅰ)因為f(x)=xex+a(x+1)2,

所以f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),

因為a≥0,所以ex+2a>0,令f′(x)>0,解得x>-1；

令f′(x)<0,解得x<-1，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1).

(5分)

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可知,f(x)=xex+a(x+1)2在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減,不妨設(shè)x1<-1

令F(x)=f(x)-f(-2-x)

=xex+a(x+1)2-[(-2-x)e-2-x+a(-x-1)2]

=xex+(x+2)e-2-x(x<-1)，

因為F′(x)=(x+1)(ex-e-x-2)>0,

所以F(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,

所以F(x)

所以f(x)

所以f(x2)=0=f(x1)

因為-2-x1>-1,x2>-1,f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,所以x2<-2-x1,

(12分)

22.解：(Ⅰ)圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ,

可化為ρ2=4ρcosθ,

可得其直角坐標方程為x2+y2-4x=0,

配方得(x-2)2+y2=4.

(5分)

設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,

(10分)

∴f(x)≥3的解集為{x|x≤-1或x≥1}.

(5分)

(10分)