導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的討論策略

云南 馬孟華

近年來，縱觀全國各省市高考壓軸題中涉及“導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的題型屢見不鮮，該題型意在考查學生對“分類討論”思想的理解與應用，同時兼顧考查由基本初等函數(shù)構(gòu)成的復雜函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)取值范圍問題和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題，綜合性較強，難度較大，但卻又是每年高考的重點考查內(nèi)容.此類題型的難度往往體現(xiàn)在很難找到對含參數(shù)的二次函數(shù)進行分類討論的切入點和討論不完整上.作者就該問題對近年來高考中常見的“導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”中對參數(shù)的討論方法進行了研究、歸納和總結(jié)，探索出易于被廣大師生所接受的解決策略.

作者通過2010—2017年高考中出現(xiàn)的“求導后導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的考題進行總結(jié)歸納，探索得到了“導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的討論策略：即“先Δ(判別式)后開口”討論法、“動根與定根的位置關(guān)系”討論法，并在一線教學中實際應用，取得較好的效果.這兩種討論策略的提出解決了難以找到含參數(shù)的二次函數(shù)中對參數(shù)討論的“切入點”和“討論不完整”的問題，為高三考生解決此類問題提供了一般的處理方法.

一、問題的模型

1.高考試題展示

(Ⅰ)求b;

題二(2014·全國大綱卷文·21)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

2.導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的模型

基于以上兩個高考題，縱觀近幾年全國各省市高考試題，通過研究發(fā)現(xiàn)：

導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的原函數(shù)大致可以分為以下兩類模型：

模型一：原函數(shù)是含參數(shù)的三次函數(shù)，求導后導函數(shù)為含參數(shù)的二次函數(shù)；

模型二：原函數(shù)是由一次、二次、反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)等構(gòu)成的復雜函數(shù)，求導后導函數(shù)呈現(xiàn)為分式函數(shù)結(jié)構(gòu)，分子則是含有參數(shù)的二次函數(shù).

在以上兩種模型的背景下，我們總結(jié)出它們具有的共性是：

(1)求導之后，導函數(shù)中都具有含參數(shù)的二次型函數(shù)結(jié)構(gòu);

(2)含參數(shù)的二次型函數(shù)往往出現(xiàn)兩類結(jié)構(gòu)：一類是導函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)，即原函數(shù)求導后，呈現(xiàn)的二次型函數(shù)不可分解因式；另一類是導函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)，即原函數(shù)求導后，呈現(xiàn)的二次函數(shù)可分解因式.

二、導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)模型中參數(shù)的討論方法

由前面的試題分析并結(jié)合近年來各省市高考題，可以看到“導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的兩類結(jié)構(gòu)反映出：解決含參數(shù)的二次型函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)取值范圍等問題，其核心是找到如何合理的對二次型函數(shù)中的參數(shù)進行分類討論(即找到討論的切入點和討論的順序性).

針對以上兩類問題結(jié)構(gòu)及各自的特點，通過對大量高考題的研究例證，本文總結(jié)出了解決求導后導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的討論策略.

1.導函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)用“先Δ(判別式)后開口”討論法

【例1】見上文題二.

解：(Ⅰ)f′(x)=3ax2+6x+3，令f′(x)=0，其判別式為Δ=36(1-a)．

①當Δ=36(1-a)≤0，即當a≥1時，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增；

當Δ=0時，雖然f′(x)=0有一解，但該解不是函數(shù)f(x)的極值點，故可以與Δ<0合并討論.

②當Δ=36(1-a)>0，即a<1時，f′(x)=0有兩根，分別為x1,x2，不妨設(shè)

這里先利用判別式Δ討論f′(x)=0時根的情況，在確定了二次方程f′(x)=0時根的情況之后，進一步確定二次函數(shù)的開口方向，從而清晰的得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，故此時應將a<1分為a<0和0

當x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時，f′(x)<0，當x∈(x1,x2)時，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減，在(x1,x2)上單調(diào)遞增；

綜上所述，當a≥1時，f(x)在R上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)略.

【例2】(2015·山東卷理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

令f′(x)=0，即2ax2+ax+1-a=0，

(2)當a≠0時，方程2ax2+ax+1-a=0為二次方程，故先考慮該方程的根的情況，由于二次方程的判別式Δ=9a2-8a=a(9a-8)，故作如下討論：

(Ⅱ)略.

評析：當導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)不可分解因式時，先從判別式Δ的正負性來對二次方程的根的個數(shù)展開第一次討論；在確定了二次方程的根的個數(shù)的情況下，對二次函數(shù)的開口方向進行第二次討論(即對導函數(shù)中的二次函數(shù)的二次項系數(shù)進行分類討論)，這樣問題就可化歸為熟悉的二次函數(shù)函數(shù)值的正負性判斷的問題，解決這一問題就解決了函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值問題.這樣的“先Δ(判別式)后開口”討論法比較清晰地找到對參數(shù)進行分類討論的切入點和依據(jù)，邏輯思路嚴密，討論不重不漏，具有完整性.值得注意的是，此類問題盡管化歸為較為熟悉的二次函數(shù)問題，但由于對所含參數(shù)進行分類討論造成了較大的難度以及計算上的復雜性導致該題型屬于區(qū)分度較高的難題.但若把握好在“導函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)”中使用“先Δ(判別式)后開口”討論法就可以有效的解決這類難題.

2.導函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)用“動根與定根的位置關(guān)系”討論法

【例3】見上文題一.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

解：討論f(x)的單調(diào)性，必先求導得f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).

令f′(x)=0，得x=2或x=2a，此時觀察到導函數(shù)f′(x)是可分解的二次函數(shù)，故考慮動根x=2a和定根x=2的相對位置關(guān)系(即三種位置關(guān)系：(1)0<2a<2；(2)2a=2；(3)2a>2)來找到討論的切入點，討論方法如下：

(1)當0<2a<2，即0

f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(2a,2)上單調(diào)遞減；

(2)當2a=2，即a=1時，f′(x)=(x-2)2≥0在R上恒成立，故此時f(x)在R上單調(diào)遞增；

(3)當2a>2，即a>1時，f′(x)=x2-2(1+a)x+4a開口向上，此時f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上單調(diào)遞增；在(2,2a)上單調(diào)遞減；

綜上所述,當0

當a=1時，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當a>1時，f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上單調(diào)遞增；在(2,2a)上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)略.

評析：當導函數(shù)為可以分解因式的含參數(shù)的二次型函數(shù)時，先根據(jù)分解因式后二次方程的兩個根的位置關(guān)系(通常有三種位置關(guān)系)為討論切入點進行第一次分類討論；在兩根位置關(guān)系確定的情況下對二次函數(shù)的開口方向進行第二次討論.這樣的“動根與定根的位置關(guān)系討論法”首先抓住了討論的核心，后續(xù)對二次函數(shù)開口方向討論也就順理成章了，這樣逐級先后對參數(shù)的討論思路會使“導函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)”的討論依據(jù)和切入點也較為直觀，邏輯層次清晰，避免了討論不完整、思路混亂而導致的諸多問題.

三、導函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)模型中參數(shù)的討論方法的再驗證

讀者可以利用以上兩種對參數(shù)的討論策略解決以下高考題：2010年山東理科22題、2010年遼寧文科21題、2010年重慶理科18題、2011年遼寧理科21題、2011年天津文科21題、2012年天津文科20題、2013年山東文科21題、2014年安徽理科18題、2014年山東文科20題、2015年江蘇理科19題、2015年重慶理科20題、2015年四川理科21題、2016年山東理科20題、2016年四川理科21題、2017年天津文科19題.

四、對高考復習備考的指導意義