“反思”在解題中的“升華”
——培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

廣東 劉 偉

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，通過(guò)反思，才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)就是一個(gè)思考問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程，通過(guò)解題，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、學(xué)習(xí)方法、解題策略的理解和掌握，反思則是對(duì)這些活動(dòng)進(jìn)行再一次加工，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)或發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，更好地指導(dǎo)未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).因此,將“反思”融入到審題、解題、糾錯(cuò)、歸納等過(guò)程中,勢(shì)在必行.筆者在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí),從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)得以提高.

1.反思審題過(guò)程,提升審題能力

審題能力是學(xué)生思維能力的一個(gè)重要方面,審題能力的高低直接影響學(xué)生解題的速度與水平.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生因?yàn)閷忣}不清而失分.

2．反思解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

文學(xué)作品解讀常有這樣一句話:一千個(gè)讀者,便有一千個(gè)哈姆雷特.數(shù)學(xué)學(xué)科亦應(yīng)重視學(xué)生的發(fā)散思維能力的培養(yǎng).而在我們重視引導(dǎo)學(xué)生一題多解的思維習(xí)慣的同時(shí)也應(yīng)該加強(qiáng)反思意識(shí)培養(yǎng).對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題目，知識(shí)掌握程度的不同，審題角度的不同，不同學(xué)生會(huì)給出不同的解題方案，就算同一個(gè)學(xué)生也可能給出兩到三種解答過(guò)程，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這道題目進(jìn)行反復(fù)思考，解完一道題后不能停留在所得出的結(jié)論上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重現(xiàn)思路.此時(shí)，教師應(yīng)向?qū)W生提出引導(dǎo)性的問(wèn)句，如：你是怎么想的？為什么這樣想？這樣做你想解決哪個(gè)問(wèn)題？這樣做能達(dá)到你的預(yù)期目標(biāo)嗎？達(dá)到了，你有沒(méi)有更好的想法？達(dá)不到，你又該如何？用這種層層遞進(jìn)的發(fā)問(wèn)方式使得學(xué)生的思維一步步展開(kāi)，重現(xiàn)學(xué)生自己的思維過(guò)程并進(jìn)一步要求學(xué)生根據(jù)題目的現(xiàn)有已知條件，進(jìn)行多角度觀察、聯(lián)想，找到更多的思維通道，涉及到更豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，去探索最佳的解題途徑.

老師：看了題同學(xué)們有什么想法？

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，即

第一個(gè)式子可化為3+5=23，連續(xù)2個(gè)奇數(shù)之和為23，

第二個(gè)式子可看成連續(xù)3個(gè)奇數(shù)之和為33,即7+9+11=33，

從而，猜想連續(xù)m個(gè)奇數(shù)之和為m3，

而73是除1之外第36個(gè)奇數(shù)，

又因?yàn)?+3+4+…+m-1<36，

m2-m<74，解得m=9滿足條件.

學(xué)生2：我想把它變個(gè)形式：

通過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)每列數(shù)的中間位置通過(guò)添數(shù)(偶數(shù)的立方)或者改寫(xiě)(奇數(shù)的立方)，就很容易看到規(guī)律.即合成數(shù)是某數(shù)的立方則其分裂數(shù)組中的中位數(shù)是該數(shù)的平方,分裂數(shù)組是偶數(shù)個(gè)數(shù)的,中間插入該數(shù)的平方；是奇數(shù)個(gè)數(shù)的,把中間奇數(shù)改寫(xiě)成該數(shù)的平方.又因?yàn)?2=64,而83這組“分裂”成連續(xù)8個(gè)奇數(shù)之和,它們分布在82的上下兩側(cè)如下:

所以m=9.

其中5=22+2-1，11=32+3-1，19=42+4-1，…，猜想73趨近于m2+m-1，

當(dāng)m=8時(shí)，m2+m-1=71，故m=9.

三個(gè)學(xué)生從三個(gè)不同的視角詮釋了這道題，學(xué)生在再一次審視這道題的過(guò)程中，不但掌握了觀察法，估值法，排除法，還有了思維能力的提升,如歸納思想，趨近思想等等，一道題，不同的途徑，相同的結(jié)果，不同的效率，不同知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，值得再次反思，從中整理思路，提高思考能力.而在高中人教版選修2-2推理證明這一章節(jié)中一個(gè)立方數(shù)或一個(gè)平方數(shù)“分裂”成多個(gè)連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)或自然數(shù),求合成數(shù)或“分裂數(shù)”中的成員數(shù),抑或是已知“分裂數(shù)”中的成員數(shù)求合成數(shù),或求其他某個(gè)指定位置成員數(shù)等等這樣的一類(lèi)題型都需要學(xué)生掌握這些方法和技巧并融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用.

又如:對(duì)大于或等于2的正整數(shù)的冪運(yùn)算有如下分解方式：

22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…；

23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,….

根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2=1+3+5+…+11,p3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m+p=________.(答案:11)

通過(guò)一題多解，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維,熟悉不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn).反思解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

3．反思易錯(cuò)之處，增強(qiáng)學(xué)生糾錯(cuò)能力

黑格爾說(shuō)“錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然的環(huán)節(jié).”正確可能被模仿，可錯(cuò)誤卻絕對(duì)是經(jīng)歷.反思，讓學(xué)生再次“場(chǎng)景重現(xiàn)”體會(huì)錯(cuò)誤之處，找到錯(cuò)誤的根源，避免重復(fù)錯(cuò)誤.通過(guò)對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行分析和糾正，對(duì)已有知識(shí)重新認(rèn)識(shí)，可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)和概念的解讀，彌補(bǔ)自己知識(shí)體系的漏洞,增強(qiáng)學(xué)生糾錯(cuò)能力.

3.1概念理解錯(cuò)誤

高中數(shù)學(xué)課很多都是由概念定義課組成，學(xué)生理解這些概念往往比較片面.如下面的等差數(shù)列的概念練習(xí)題.

例3“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*且n≥3)”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的

( )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

學(xué)生失誤在自己的慣性思維，認(rèn)為只要an+1-an=an-1-an-2(n∈N*且n≥3)就是等差數(shù)列，而忘記了擺動(dòng)數(shù)列!例如:0,1,0,1,0,1，…，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+1-an=an-1-an-2=1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+1-an=an-1-an-2=-1，即“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*且n≥3)”推不出“數(shù)列{an}成為等差數(shù)列”,反之,“數(shù)列{an}成為等差數(shù)列”可以推出“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*且n≥3)”，因此，答案是B.

高中數(shù)學(xué)概念如:獨(dú)立事件,互斥事件,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),二項(xiàng)分布,函數(shù)的零點(diǎn),極值點(diǎn),極值等等,學(xué)生理解這些概念常常存在一些問(wèn)題,教師應(yīng)對(duì)學(xué)生在概念、定理等易出錯(cuò)的地方給予一定地引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)自己的盲點(diǎn)，遺漏點(diǎn)，自以為是點(diǎn)進(jìn)行及時(shí)地整理，避免一錯(cuò)再錯(cuò)，培養(yǎng)學(xué)生重新修補(bǔ)知識(shí)漏洞的習(xí)慣，儲(chǔ)備一些典型的錯(cuò)誤例子用以彌補(bǔ)學(xué)生知識(shí)的不足，對(duì)學(xué)生是一個(gè)很好的提升,反思概念混淆之處，加深對(duì)概念的理解.

3.2知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用錯(cuò)誤

對(duì)于較為復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題等等,教師授課時(shí)不妨試試“示錯(cuò)”教學(xué)法,讓學(xué)生在錯(cuò)誤中找到錯(cuò)誤原因,加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

4.反思思路斷點(diǎn)之處，提升學(xué)生應(yīng)變能力

魏晉陶淵明《桃花源記》中記載：“林盡水源，便得一山，山有小口，仿佛若有光.便舍船，從口入.初極狹，才通人.復(fù)行數(shù)十步，豁然開(kāi)朗.”如學(xué)生做題，先有疑，后尋解.學(xué)生做題過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到伸手達(dá)不到的地方，會(huì)意識(shí)到“此路不通”，以至于思考停頓不前，一片空白.教師在講授時(shí)應(yīng)對(duì)“斷點(diǎn)”巧加工,恰當(dāng)設(shè)置一些有利于問(wèn)題發(fā)展的“陷阱”，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)下，延續(xù)思路，改變思維，達(dá)到柳暗花明的效果.同時(shí),要求學(xué)生對(duì)自己的斷點(diǎn)進(jìn)行必要的整理.培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和應(yīng)變能力.

例5(2016·山東卷文·20)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a∈R.

(Ⅰ)令g(x)=f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【解】(Ⅰ)由f′(x)=lnx-2ax+2a，

可得g(x)=lnx-2ax+2a，x∈(0，+∞)．

當(dāng)a≤0時(shí)，

x∈(0，+∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，

所以當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f′(1)=0.

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意．

所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意．

所以當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意．

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=1處取得極大值，符合題意

對(duì)于第二問(wèn),絕大部分學(xué)生只能望而卻步,作為老師我們又如何引導(dǎo)呢?其實(shí)第一問(wèn)就給了我們想像的空間f′(x)=lnx-2ax+2a，把f′(x)=lnx-2a(x-1)聯(lián)想經(jīng)典函數(shù)lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.用數(shù)形結(jié)合豈不是更妙.

大體思路如下：

第2問(wèn)是已知f(x)在x=1處取得極大值．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

由問(wèn)題可知函數(shù)f(x)要在x=1處取得極大值,等價(jià)于函數(shù)f′(x)=lnx-2a(x-1)在x=1左邊符號(hào)為正,右邊為負(fù),即“先正后負(fù)”,進(jìn)而可知,在x=1的左邊函數(shù)y=lnx的圖象應(yīng)在函數(shù)y=2a(x-1)的上方;在x=1的右邊函數(shù)y=lnx的圖象應(yīng)在函數(shù)y=2a(x-1)的下方,作圖可知，直線y=x-1是函數(shù)y=lnx在x=0處的切線.函數(shù)y=lnx的圖象在直線y=x-1的圖象下方,直線y=2a(x-1)與直線y=x-1都過(guò)點(diǎn)(1,0),所以,只要直線y=2a(x-1)的斜率大于直線y=x-1的斜率,問(wèn)題就得以證明了.

另一種方法,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)要在x=1處取得極大值,就等價(jià)于函數(shù)f′(x)=lnx-2a(x-1)在x=1左邊符號(hào)為正,右邊為負(fù),即“先正后負(fù)”,又因?yàn)閒′(1)=0，

所以函數(shù)f′(x)在x=1處的斜率必然小于零.

一個(gè)題在斷點(diǎn)時(shí)往往會(huì)給我們不同的數(shù)學(xué)期望，只要我們能緊抓數(shù)學(xué)概念，以形助數(shù)，就會(huì)給學(xué)生不一樣的數(shù)學(xué)驚喜.

5.反思類(lèi)似題目，發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系

同一類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其求解方法往往有規(guī)律性，解完一道題要學(xué)生思考此題是否可作一般性推廣和引申，這樣學(xué)生能解決的就不是一道題，而是一類(lèi)題.如上面講的例5.求含參函數(shù)的最值這一類(lèi)問(wèn)題，我們可以直接求函數(shù)的最值，也可以分離參數(shù)，或者可以轉(zhuǎn)換變量，還可以數(shù)形結(jié)合，既加強(qiáng)了對(duì)多種數(shù)學(xué)思想方法的融會(huì)貫通，又給出了這一類(lèi)題的普遍解法，這里思維運(yùn)轉(zhuǎn)之快，思路步驟之多，學(xué)生課后或練習(xí)后若不好好反思，豈能掌握，但細(xì)細(xì)品嘗，慢慢消化，又何止收益點(diǎn)滴.

6.反思解題結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性

事實(shí)上,就問(wèn)題解決的周期而言,問(wèn)題是問(wèn)題解決的始端,而一個(gè)問(wèn)題的解決往往孕育著一個(gè)新問(wèn)題的產(chǎn)生.做完一道題后,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生思考該題的結(jié)果.波利亞的題后反思即他的《怎樣解題》中回顧環(huán)節(jié)對(duì)此進(jìn)行了精彩的論述：你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能夠利用它,你是否應(yīng)該引入某些輔助元素?這樣的反思,有助于提高高中生數(shù)學(xué)學(xué)科的自我監(jiān)控能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

例6已知函數(shù)f(x)=alnx-x+1(a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，求所給實(shí)數(shù)a的值;

初看這個(gè)題目學(xué)生會(huì)被第(Ⅲ)問(wèn)給難住，畢竟高三一輪復(fù)習(xí)中我們很少給出這樣的題.由于(Ⅰ)(Ⅱ)問(wèn)較簡(jiǎn)單，筆者這里只給出第(Ⅲ)問(wèn)的解法.

教師：由前面兩問(wèn)，我們知當(dāng)a=1時(shí)f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即lnx-x+1≤0?lnx≤x-1,

教師：很好，學(xué)生由題目的結(jié)果出發(fā)，回到題目的條件，再由條件出發(fā),解決問(wèn)題,不錯(cuò)的想法，數(shù)學(xué)的綜合分析法應(yīng)用得很恰當(dāng),那還有沒(méi)有其他方法？

學(xué)生4：能不能用數(shù)學(xué)歸納法，然后和函數(shù)結(jié)合起來(lái).

(1)當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立,

[編者按]本文為原創(chuàng)團(tuán)隊(duì)教師將教研中關(guān)于原創(chuàng)試題的命制思路及感悟總結(jié)歸納，與讀者分享.以期對(duì)教師命題活動(dòng)有所啟發(fā)或幫助.