秦露琪　劉婷　龍欣　王仙云

【摘 要】影響失獨(dú)家庭幸福感的主要因素包括：失獨(dú)家庭參加文娛活動(dòng)情況、失獨(dú)家庭經(jīng)濟(jì)狀況以及希望政府采取的措施， 其中政府采取的措施為可控因素. 本文采用改進(jìn)的PARETO模型， 運(yùn)用貝爾曼原理進(jìn)行求解， 從而得到政府采取措施的定量數(shù)據(jù)。

【關(guān)鍵詞】失獨(dú)家庭；改進(jìn)的PARETO模型；貝爾曼原理

中圖分類(lèi)號(hào)： C924.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）09-0045-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.09.020

Research on the Sense of Happiness of Family Members Who Left Sole Families Based on PARETO Model

QIN Lu-qi LIU Ting LONG Xin WANG Xian-yun

（College of Mathematics and Statistics， Jishou University， Jishou 416000， China）

【Abstract】There are several important factors that affect the happiness of the family with the loss of independence， including the family members participation in recreational activities， the economic situation of the families and the measures that the government hopes will be taken， where the measures taken by the government are controllable factors. In this paper， we first establish the improved PARETO model and then get the quantitative measures of the measures taken by the government by using the Bellmans principle.

【Key words】Family loss of independence； The improved PARETO model； Bellmans principle

0 引言

近年來(lái)， 隨著失獨(dú)家庭的增加， 政府對(duì)于失獨(dú)家庭的社會(huì)救助責(zé)任將會(huì)越來(lái)越重要. 因此， 從定量的角度來(lái)研究政府對(duì)失獨(dú)家庭所需要采取的具體措施有著重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.大量學(xué)者針對(duì)政府對(duì)失獨(dú)家庭采取的措施進(jìn)行了深入研究[1-7]， 例如我國(guó)學(xué)者王麗君指出需加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)救濟(jì)， 逐步提高失獨(dú)老人的救助扶助標(biāo)準(zhǔn)[1]；李三梅指出要完善失獨(dú)家庭的制度保障， 重視失獨(dú)家庭老年人心理和精神關(guān)照等方面以及應(yīng)關(guān)注失獨(dú)家庭養(yǎng)老對(duì)策的構(gòu)建與完善[2]；馬瑄針對(duì)失獨(dú)老人的經(jīng)濟(jì)狀況、精神慰藉狀況、社會(huì)關(guān)注情況等問(wèn)題進(jìn)行分析， 從政府、社會(huì)、社區(qū)等方面提出相應(yīng)對(duì)策[3]；本文作者在文[4]中研究了影響失獨(dú)家庭幸福感的幾大重要因素分別為： 失獨(dú)家庭參加文娛活動(dòng)， 失獨(dú)家庭經(jīng)濟(jì)狀況以及希望政府采取的措施， 其中失獨(dú)家庭希望政府采取的措施是可以做出相應(yīng)的改變和調(diào)整的。

注意到上述文獻(xiàn)大多采取的是定性分析. 而本文則從失獨(dú)家庭幸福感這一視角出發(fā)，采用改進(jìn)的PARETO模型， 運(yùn)用貝爾曼原理進(jìn)行求解， 對(duì)政府采取的措施這一影響因素進(jìn)行定定分析， 進(jìn)而提出更為合理可行的建議.

1 PARETO改進(jìn)模型

對(duì)于失獨(dú)家庭，我們要以增加失獨(dú)家庭的幸福感并且減少財(cái)政負(fù)擔(dān)為目標(biāo)，將核心家庭分為兩種，即失獨(dú)家庭（失去獨(dú)生子女）和健全家庭（核心家庭完整）. 失獨(dú)家庭有政府的特殊家庭補(bǔ)助補(bǔ)助， 健全家庭沒(méi)有特殊補(bǔ)助， 生活費(fèi)用主要靠自己的工作收入.假設(shè)t期健全家庭個(gè)數(shù)為L(zhǎng)t， 失獨(dú)家庭個(gè)數(shù)為Rt，t，期核心家庭與t+1期失獨(dú)家庭個(gè)數(shù)相同.因此Lt=Rt+1.假設(shè)政府對(duì)健全家庭的老政策和新政策在家庭t期平均收入水平保持不變， 記為Dt， 政府原來(lái)對(duì)失獨(dú)家庭的平均特殊補(bǔ)助和新政策下給予失獨(dú)家庭的特殊補(bǔ)助分別為Et和Ft， 政府每月支出在舊政策和新政策下分別為Gt和Ht， 其中t時(shí)期健全家庭的實(shí)際收入為It. 設(shè)人口增長(zhǎng)率為n， 其中健全家庭收入增長(zhǎng)率為g. 舊政策下t時(shí)期政府特殊補(bǔ)助對(duì)失獨(dú)家庭的補(bǔ)助與普通家庭收入的比例為λ， 即λDt=Et按照我國(guó)政府現(xiàn)有特殊家庭補(bǔ)助補(bǔ)助，t期政府支出為：Gt=RtEt由于健全家庭自身收入增長(zhǎng)率為g，t+1期失獨(dú)家庭平均特殊補(bǔ)助為：

Et+1=λDt+1=λ（1+g）Dt=（1+g）Et

同年， 有子女家庭增長(zhǎng)率為n，t+1期政府失獨(dú)家庭的補(bǔ)助補(bǔ)助支出為：

Gt+1=Rt+1It+1=RtEt（1+n）（1+g）

假設(shè)t期健全家庭年納稅費(fèi)率為αt，則t期健全家庭個(gè)數(shù)繳費(fèi)為αtDt，0期失獨(dú)家庭收到政府補(bǔ)助， 即I0=E0，t期政府為每個(gè)失獨(dú)家庭支出的基本保障金為Bt， 所以政府對(duì)失獨(dú)家庭的總支出補(bǔ)助為：

Ht=αtLtDt+RtBt

家庭的t+1期年收入費(fèi)率不變， 但政府對(duì)家庭的補(bǔ)助基數(shù)上升， 家庭繳費(fèi)為：

αtDt+1=αtDt（1+g）

此時(shí)，t期健全家庭變?yōu)槭И?dú)家庭， 其家庭收入由兩部分組成：政府給予失獨(dú)家庭特殊補(bǔ)助和原本是健全家庭的年金， 則t+1期失獨(dú)家庭領(lǐng)取的補(bǔ)助為：

Ft+1=Bt+1+2αtDt（1+J）（1）

其中， J為年金收益率. 收入效用函數(shù)為：

U=ln（It）+

θ為t+1期收入的貼現(xiàn)補(bǔ)償系數(shù). 要保障改變了制度前后家庭的實(shí)際效率值沒(méi)有差異， 即有：

ln（Dt）+=ln[D（1-α）]+

整理可得：

Ft+1=（1-αt）-（1+θ）Et+1=（1-αt）-（1+θ）λDt+1（2）

由（1）式和（2）式整理得：

Bt+1=[（1-α）-（1+θ）λ（1+g）-2αt（1+J）]Dt（3）

在保持家庭的自身收入不變的情況下， 想要求政府特殊家庭補(bǔ)貼改制變量的取值， 使長(zhǎng)期政府支出最小， 可以建立目標(biāo)函數(shù)：

Min（αLD+RB）/（1+r）

其中， r為財(cái)務(wù)開(kāi)銷(xiāo)的貼現(xiàn)率， 可將其視為存款積攢的基本利率. 整理可得：

MinL0βtαD+

β=（4）

2 貝爾曼最優(yōu)性原理

我們采用貝爾曼最優(yōu)性原理對(duì)問(wèn)題求解，把Bt當(dāng)做狀態(tài)變量，αt和Dt當(dāng)成控制變量，（4）式則為這三個(gè)變量的轉(zhuǎn)移方程. 建立Bellman[5]方程：

V（Bt）=min{u（αt，Dt，Bt）+βV（Bt+1）}

u（αt，Dt，Bt）=αtDt+（5）

由貝爾曼最優(yōu)原理，可知Bellman公式[6]為：

一階條件為：

（7）

由（6）式與（7）式可以解得：

整理可得到：

（8）式便是滿(mǎn)足政府轉(zhuǎn)變對(duì)失獨(dú)家庭政策前后消費(fèi)者效率值不變的情況下， 形成政府持久開(kāi)支的最小目標(biāo)是αt，的路線(xiàn). 將（8）式代入（3）式得到政府基礎(chǔ)補(bǔ)助金支出的最優(yōu)路線(xiàn)：

改制后t期政府的支出為：

Ht=αtLtDt+BtRt=Rt[αt（1+n）Dt+Bt]

t+1期政府支出為：

Ht+1=Rt+1[αt+1（1+n）Dt+1+Bt+1]（10）

將（9）式代入（10）式中得：

政府對(duì)失獨(dú)家庭補(bǔ)助改制后，完整家庭補(bǔ)助效用不變，t期政府支出由原來(lái)的Ht變?yōu)镚tδ，

從（11）式可以看出， 政府對(duì)失獨(dú)家庭補(bǔ)助改革后， 支出增減， 主要由（11）式中多個(gè)參數(shù)改革后， 政府支出Ht和有子女家庭增長(zhǎng)率n、家庭自身工資收入增長(zhǎng)率g正相關(guān)， 與政府補(bǔ)助補(bǔ)助收益率R負(fù)相關(guān)， 就是家庭增長(zhǎng)率得越快， 家庭自身收入增長(zhǎng)率越快， 則政府對(duì)失獨(dú)家庭補(bǔ)助方面支出就越高， 家庭收益率越高， 政府支出就越低. 失獨(dú)家庭補(bǔ)助改革后， 如果實(shí)現(xiàn)δ<1， 那么就實(shí)現(xiàn)了家庭收入效用不變、政府負(fù)擔(dān)減少的帕累托改進(jìn)目標(biāo). 失獨(dú)家庭補(bǔ)助改革后能夠?qū)崿F(xiàn)帕累托改進(jìn)目標(biāo). 失獨(dú)家庭補(bǔ)助改革后能夠?qū)崿F(xiàn)帕累托改進(jìn)的條件[7]即：

對(duì)這展望未來(lái)下期， 即對(duì)于t=1， 假定家庭個(gè)體增長(zhǎng)率n每年為0. 02%， 每期自身收入增長(zhǎng)率為1%， 假定1期后收入的政府補(bǔ)貼率為θ=0.7， 而政府特殊補(bǔ)助對(duì)失獨(dú)家庭的補(bǔ)助與普通家庭補(bǔ)助的比例λ是可控變量且每期失獨(dú)家庭補(bǔ)助收益率R從0.1%到15%的范圍波動(dòng)，我們可以用MATLAB計(jì)算出不同的下政府的支出， 從而得出一個(gè)臨界值. 由計(jì)算結(jié)果可知， 當(dāng)失獨(dú)家庭補(bǔ)助收益率R=0.1410且λ=1.1時(shí)政府支出為原來(lái)的0.8027倍，且不影響普通家庭的利益，即：Ht=0.8027Gt所以我們要盡量減少政府總支出， 增加對(duì)失獨(dú)家庭的特殊補(bǔ)貼， 從而可增加失獨(dú)家庭的富裕感方面來(lái)增加失獨(dú)家庭的幸福感。

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