劉 明, 楊曉東, 張 偉， 秦朝紅

(1．北京理工大學(xué)先進(jìn)結(jié)構(gòu)技術(shù)研究院 北京，100081) (2．北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100124) (3．北京強(qiáng)度環(huán)境研究所可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100076)

引 言

在科學(xué)技術(shù)和工程中經(jīng)常遇到一類(lèi)振動(dòng)體系，其動(dòng)力學(xué)參數(shù)隨時(shí)間變化，此類(lèi)系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)。軸向可外伸懸臂結(jié)構(gòu)在工程中有較多的應(yīng)用，比如航天器外伸天線的展出、可伸縮機(jī)翼的伸出等，都屬于時(shí)變參數(shù)結(jié)構(gòu)。這類(lèi)時(shí)變結(jié)構(gòu)因其沿軸向是可運(yùn)動(dòng)的，因此為非保守系統(tǒng)，相比于不可移動(dòng)的結(jié)構(gòu)，其沿軸向外伸過(guò)程更易誘發(fā)結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)。

軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體本身屬于無(wú)窮維陀螺連續(xù)系統(tǒng)，陀螺項(xiàng)的存在對(duì)振動(dòng)的分析提出很重要的理論要求，而做伸展運(yùn)動(dòng)的連續(xù)體的橫向振動(dòng)微分方程及其邊界條件都屬于時(shí)變系統(tǒng)，這給問(wèn)題的求解帶來(lái)諸多技術(shù)問(wèn)題。時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的振動(dòng)要比恒定參數(shù)體系的振動(dòng)復(fù)雜的多。恒定參數(shù)連續(xù)體在初始時(shí)刻處在它的某個(gè)振型，不受外力作用，它就會(huì)永遠(yuǎn)處在這個(gè)振型中；但一個(gè)變參數(shù)體系，即使不受外力作用，也會(huì)發(fā)生不同振型間的跳躍。

對(duì)于伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁結(jié)構(gòu)，如升降機(jī)[1]、帶鋸[2]等，許多學(xué)者已經(jīng)做出了一些初步的研究。Tabarrok等[3]推導(dǎo)了長(zhǎng)度隨時(shí)間變化梁的振動(dòng)方程，其表現(xiàn)形式為4個(gè)非線性偏微分運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)幾何關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程，最后通過(guò)一些假設(shè)，將這些方程轉(zhuǎn)化為線性時(shí)變參數(shù)方程，并求得了勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的解析解。Zhu等[4]研究了一系列任意變長(zhǎng)度梁的線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，得出了為了保持梁的穩(wěn)定性，不僅要抑制梁的振動(dòng)能量，還要縮短梁的長(zhǎng)度和振幅響應(yīng)的結(jié)論。因?yàn)閷?duì)于時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)，位移的有界性并不能保證振動(dòng)能量的有界性，Gosselin等[5]研究了稠密液體中外伸梁的穩(wěn)定性，用黏性力和附加質(zhì)量代替了流體對(duì)梁的影響，然后用牛頓第二定律推導(dǎo)了梁的振動(dòng)方程，對(duì)方程無(wú)量綱化之后，采用Galerkin截?cái)嘌芯苛肆涸谏煺惯^(guò)程中的穩(wěn)定性問(wèn)題。Pastenak等[6]研究了帶有負(fù)剛度多自由度彈簧振子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，用解析方法推導(dǎo)了根據(jù)剛度矩陣的行列式值來(lái)判斷系統(tǒng)失穩(wěn)的條件，并以?xún)勺杂啥葟椈烧褡訛槔?yàn)證了他們的結(jié)論。近年來(lái)，其他學(xué)者針對(duì)不同的伸展運(yùn)動(dòng)梁模型，也做了相關(guān)的理論研究[7-14]和實(shí)驗(yàn)研究[15-18]。

有關(guān)伸縮懸臂梁結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析雖然起步較早，但是前期研究的模型較為簡(jiǎn)單，且沒(méi)有實(shí)驗(yàn)方面的研究。直到近幾年，才逐漸出現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)研究。這些研究主要集中在建立伸展運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)微分方程，以及分析其偽固有頻率、振幅等一些動(dòng)力學(xué)特性。早期的研究集中于低速運(yùn)動(dòng)伸展梁的振動(dòng)特性，而在伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁失穩(wěn)之后橫向振動(dòng)能量的變化趨勢(shì)研究較少。筆者利用梁橫向振動(dòng)微分方程，分析了伸展梁的振動(dòng)特性，重點(diǎn)討論失穩(wěn)后的能量變化情況。

1 伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁模型

伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁模型見(jiàn)圖1。梁在滑槽內(nèi)的部分受力F的作用，隨著力F方向的改變，該懸臂梁可進(jìn)行外伸和回收，其長(zhǎng)度L是時(shí)間的函數(shù)，即L=L(t)。

圖1 伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁模型Fig.1 Stretching cantilever beam model

為了討論失穩(wěn)狀態(tài)，只研究外伸情況。在一定初始條件下，梁在外伸過(guò)程中，會(huì)產(chǎn)生橫向振動(dòng)。相比于橫向振動(dòng)，軸向的振動(dòng)很小，故在此對(duì)軸向振動(dòng)不做分析。其中，梁的材料參數(shù)[11]見(jiàn)表1。

表1 材料參數(shù)

2 研究?jī)?nèi)容

取梁一微段dx進(jìn)行受力分析，如圖2所示。

圖2 梁微段受力分析Fig.2 End forces on a segment of the beam

對(duì)上述微段用動(dòng)量矩定理和動(dòng)量定理，得

將式(1)和式(2)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變化，可得

(3)

利用假設(shè)模態(tài)方法，將式(3)轉(zhuǎn)化為

(4)

其他各參數(shù)如下

(5)

式(5)即為伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁橫向振動(dòng)微分方程[3]。

2.1 外伸梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

當(dāng)梁軸向伸展速度U=1.3 m/s，加速度a=dU/dt=0時(shí)，對(duì)式(4)取1階截?cái)?，并令初始條件f1=0.1，df1/dt=0，可得出梁自由端位移響應(yīng)曲線，如圖3所示。

由圖3可知，梁在外伸初始階段，其自由端位移呈周期性逐漸增大，此時(shí)處于穩(wěn)定階段。當(dāng)梁伸展到一定程度時(shí)，自由端偏向于坐標(biāo)軸一方一直伸展下去，系統(tǒng)的周期性震蕩徹底消失，此時(shí)處于屈曲失穩(wěn)狀態(tài)。不同于經(jīng)典的時(shí)不變參數(shù)結(jié)構(gòu)，目前對(duì)于時(shí)變參數(shù)結(jié)構(gòu)還沒(méi)有清晰的穩(wěn)定性定義。筆者所采用的穩(wěn)定性概念定性為振動(dòng)失去往復(fù)性的情況，即對(duì)應(yīng)于時(shí)不變參數(shù)結(jié)構(gòu)的屈曲。但時(shí)變結(jié)構(gòu)參數(shù)失穩(wěn)的臨界點(diǎn)并不是精確的臨界值，而是一范圍。

圖3 梁自由端位移響應(yīng)Fig.3 The tip displacement response

2.2 能量變化趨勢(shì)

以1階模態(tài)位移作為初始條件，即

{0.1 0 0 0 … 0}

(6)

由式(4)可得出梁橫向振動(dòng)的動(dòng)能Ek、勢(shì)能Ep和總能量Et表達(dá)式為

(7)

基于對(duì)式(4)的求解，應(yīng)用4階截?cái)嗟氖?7)可以繪出能量隨時(shí)間的變化。當(dāng)梁以U=0.8 m/s的速度進(jìn)行外伸時(shí)，其能量由穩(wěn)定階段到失穩(wěn)階段的變化曲線見(jiàn)圖4。圖中橫坐標(biāo)為梁伸展時(shí)間，縱坐標(biāo)為能量，黑色點(diǎn)劃線代表動(dòng)能Ek，紅色實(shí)線代表勢(shì)能Ep，藍(lán)色虛線代表總能量Et。

圖4 能量變化圖Fig.4 Energy variation diagram

很明顯，梁在外伸過(guò)程中可以分為穩(wěn)定階段、失穩(wěn)初期和失穩(wěn)后期3個(gè)階段。分析圖4中曲線，可得以下結(jié)論：

1) 穩(wěn)定階段，隨著梁的外伸，其剛度逐漸變小，質(zhì)量逐漸增大，振動(dòng)頻率減小，所以動(dòng)能、勢(shì)能和總能量逐漸減少；

2) 在梁失穩(wěn)初期，動(dòng)能、勢(shì)能和總能量幾乎不變；

3) 在梁失穩(wěn)后期，動(dòng)能變大，勢(shì)能隨著負(fù)剛度的出現(xiàn)，在反向逐漸變大，總能量的變化很小。

2.3 能量分配趨勢(shì)

在以1階模態(tài)位移作為初始條件下，梁在失穩(wěn)之前，能量由低階模態(tài)開(kāi)始，逐漸向高階模態(tài)分配，且距離初始條件階數(shù)較近的模態(tài)獲得的能量較多。在梁失穩(wěn)之后，能量依舊由低階模態(tài)向高階模態(tài)依次分配，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，距離初始條件階數(shù)較遠(yuǎn)的獲得的能量較多。

以1階模態(tài)位移作為初始條件，梁在外伸過(guò)程中由穩(wěn)定階段到失穩(wěn)以后的振動(dòng)撓曲線輪廓如圖5所示。

圖5 撓曲線輪廓圖Fig.5 The contour of the deflections

分析圖5可知：

1) 隨著時(shí)間的推移，梁的往復(fù)震蕩逐漸減弱，直到失穩(wěn)之后，往復(fù)震蕩消失；

2) 失穩(wěn)之后，梁由1階模態(tài)的伸展變成了2階模態(tài)，隨著梁的不斷伸長(zhǎng)，又變成了更高階的模態(tài)。

用Runge-kutta法求解式(4)可以確定能量在各模態(tài)分配的大小，前5階的振動(dòng)變化由圖6給出。

圖6 穩(wěn)定階段時(shí)能量的傳遞Fig.6 The energy transfer in stable stage

圖6中分別畫(huà)出了前5階模態(tài)所含能量大小的曲線，可得以下結(jié)論：

1) 1階模態(tài)位移除了引起第1階模態(tài)振動(dòng)，還引起了其他模態(tài)的振動(dòng)，這種現(xiàn)象在線性系統(tǒng)里面不會(huì)出現(xiàn)；

2) 距離初始條件階數(shù)較近的模態(tài)分配到的能量較多，距離較遠(yuǎn)能量越少；

3)f1的變化與穩(wěn)定階段的能量變化趨勢(shì)相對(duì)應(yīng)，表明振動(dòng)頻率逐漸變小，動(dòng)能減小，在數(shù)值上f1雖逐漸增大，但由于剛度減小的原因，最終致使勢(shì)能減小。

觀察式(4)可知，-(A+B)U2/L2是引起能量在各模態(tài)之間分配的因素，其中矩陣A為反對(duì)稱(chēng)矩陣，B為對(duì)稱(chēng)矩陣，因此-(A+B)U2/L2導(dǎo)致了各模態(tài)之間的耦合。

梁失穩(wěn)后，其能量在各模態(tài)之間的分配如圖7所示。圖7中分別畫(huà)出了前5階模態(tài)所含能量大小的曲線，由圖7可得以下結(jié)論：

1) 失穩(wěn)初期，距離初始條件階數(shù)較近的模態(tài)，分配的能量多；

2) 失穩(wěn)后期，距離初始條件階數(shù)較遠(yuǎn)的模態(tài)分配的能量比較多，甚至超過(guò)了初始條件所給予的能量，與前面由1階模態(tài)的伸展，變成高階模態(tài)的伸展相對(duì)應(yīng)；

圖7 能量在模態(tài)的分配Fig.7 Energy transfer diagram among the modes

3) 梁在失穩(wěn)后期，f1的變化與勢(shì)能變化相對(duì)應(yīng)，其在數(shù)值上大幅度增加，再加上負(fù)剛度的影響，導(dǎo)致勢(shì)能在反向逐漸增大。

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者利用伸展運(yùn)動(dòng)梁的微分方程，分析了梁在失穩(wěn)前后的能量變化情況，發(fā)現(xiàn)隨著梁的外伸，動(dòng)能、勢(shì)能和總能量逐漸減小。在失穩(wěn)初期，動(dòng)能、勢(shì)能和總能量基本不變;在失穩(wěn)后期，動(dòng)能逐漸變大，勢(shì)能反向變大，總能量變化不大。最后還發(fā)現(xiàn)梁在失穩(wěn)以后，能量在各模態(tài)之間分配的規(guī)律與失穩(wěn)前能量分配規(guī)律有較大的變化。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Terumichi Y, Ohtsuka M, Yoshizawa M, et al. Nonstationary vibrations of a string with time-varying length and a mass-spring system attached at the lower end[J]. Nonlinear Dynamics, 1997,12(1):39-55.

[2] Mote C D. A study of band saw vibrations[J]. Journal of the Franklin Institute, 1965, 279(6): 430-444.

[3] Tabarrok B, Leech C M, Kim Y I. On the dynamics of an axially moving beam[J]. Journal of the Franklin Institute,1974, 297(3):201-220.

[4] Zhu Weidong, Ni J.Energetics and stability of translating media with an arbitrarily varying length[J]. ASME Journal of Vibration Acoustics, 2000, 122(3): 295-304.

[5] Gosselin F, Paidoussis M P, Misra A K. Stability of a deploying/extruding beam in dense fluid[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 299(1-2): 124-142.

[6] Pasternak E, Dyskin A V, Sevel G. Chains of oscillators with negative stiffness elements[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(24): 6676-6687.

[7] Zhu Kefei, Chung J T. Nonlinear lateral vibrations of a deploying Euler-Bernoulli beam with a spinning motion[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2015, 90:200-212.

[8] Wang Lihua, Hu Zhendong, Zhong Zheng, et al. Dynamic analysis of an axially translating viscoelastic beam with an arbitrarily varying length[J]. Acta Mechanica,2010,214(3): 225-244.

[9] Wang Lin, Ni Qiao. Vibration and stability of an axially moving beam immersed in fluid[J]. International Journal of Solids and Structures, 2008, 45(5): 1445-1457.

[10] Park S, Yoo H H, Chung J. Eulerian and lagrangian descriptions for the vibration analysis of a deploying beam[J]. Journal of Mechanical Science & Technology, 2013, 27(9):2637-2643.

[11] Misra A K, Kalaycioglu S. Approximate solutions for vibrations of deploying appendages[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 2012, 14(2):287-293.

[12] Ghayesh M H, Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of an axially moving Timoshenko beam with an intermediate spring support[J]. Mechanism & Machine Theory, 2013, 67:1-16.

[13] Chang J R, Lin W J, Huang C J,et al. Vibration and stability of an axially moving rayleigh beam[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(6):1482-1497.

[14] Cooper J. Asymptotic behavior for the vibrating string with a moving boundary[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1993, 174(1): 67-87.

[15] Duan Yingchang, Wang Jianping, Wang Jingquan, et al. Theoretical and experimental study on the transverse vibration properties of an axially moving nested cantilever beam[J]. Dermatologic Therapy, 2014, 333(13):48-51.

[16] Kobayashi N, Watanabe M. Dynamics and stability of spaghetti and reverse spaghetti problems coupled with fluid force[J]. Multibody System Dynamics, 2004, 11(2):111-125.

[17] Sugiyama S, Kobayashi N, Komaki Y. Modeling and experimental methods for dynamic analysis of the spaghetti problem[J], ASME Journal of Vibation and Acoustics, 2005, 127(1):44-51.

[18] 王亮，陳懷海，賀旭東，等. 軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁系統(tǒng)阻尼與邊界條件試驗(yàn)[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2010, 30(5):547-551.

Wang Liang, Chen Huaihai, He Xuedong, et al. Test on damping and boundary condition of axially moving canti lever beam[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010,30(5):547-551. (in Chinese)