張家濱， 唐 催， 王 磊， 張建仁

(長沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院 長沙，410114)

引 言

結(jié)構(gòu)損傷識別是土木工程領(lǐng)域的研究重點(diǎn)，基于結(jié)構(gòu)動力特性的損傷識別技術(shù)更是近年來的研究熱點(diǎn),其具有很多靜力檢測技術(shù)不具有的優(yōu)點(diǎn)，因而在結(jié)構(gòu)損傷識別中得到廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)階段常用的損傷識別指標(biāo)函數(shù)有固有頻率、模態(tài)振型、振型曲率、柔度矩陣及模態(tài)應(yīng)變能等。在結(jié)構(gòu)動力測試中固有頻率因最容易獲得并且識別精度高而最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別[1-2]。針對結(jié)構(gòu)局部剛度退化評估， Vestroni等[3]利用結(jié)構(gòu)固有頻率來識別結(jié)構(gòu)局部裂紋損傷模型。Fernad 等[4]提出基于裂紋模型的結(jié)構(gòu)局部損傷后的頻率近似計(jì)算方法。Goldfeld等[5]利用結(jié)構(gòu)固有頻率來識別均勻損傷模型并將其簡化為集中剛度缺失模型。Perera 等[6]分別以結(jié)構(gòu)動態(tài)剛度分布和局部模態(tài)剛度識別鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的損傷。Gillich等[7]利用功率譜和頻率變化計(jì)算結(jié)構(gòu)損傷，在一定程度上能夠較好地識別損傷。但是，固有頻率對損傷位置求解的不確定性，使得難以利用固有頻率變化有效定位損傷位置，從而限制了該方法的發(fā)展。

由于振型曲率對于損傷的敏感性，基于振型的損傷指標(biāo)函數(shù)得到了快速發(fā)展。Pandey等[8]通過研究發(fā)現(xiàn)，柔度矩陣的改變量對局部損傷識別比固有頻率和振型更加敏感?；诮Y(jié)構(gòu)柔度矩陣的損傷識別方法對損傷位置較為靈敏，能夠利用較少的模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)損傷位置。姚京川等[9]在柔度矩陣的基礎(chǔ)上提出了模態(tài)柔度曲率改變率的方法，該方法避免了大型矩陣運(yùn)算，能明顯提高運(yùn)算速度。郭利等[10]采用模態(tài)柔度曲率差對彎管結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別。何育民等[11]利用局部柔度的變化來識別管道裂紋的位置和深度。但基于柔度矩陣的方法受到測試精度和測點(diǎn)數(shù)量的限制，很難對損傷程度做出較為準(zhǔn)確的判斷，只能依據(jù)各指標(biāo)的相對大小粗略判斷損傷相對程度，無法準(zhǔn)確給出損傷區(qū)域剛度退化程度。

筆者針對結(jié)構(gòu)局部剛度退化分布非均勻問題，以受彎梁為背景，提出一種新的結(jié)構(gòu)損傷識別方法。首先，利用結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)撓度曲率差對結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行定位，確定損傷區(qū)域；其次，從損傷動力模型出發(fā)，建立損傷位置參數(shù)、損傷程度與固有頻率之間的關(guān)系，通過頻率的改變量對結(jié)構(gòu)的損傷程度進(jìn)行定量分析。數(shù)值算例分析表明，該方法對結(jié)構(gòu)損傷識別具有有效性和優(yōu)越性。

1 結(jié)構(gòu)剛度退化模型

工程結(jié)構(gòu)在野外長期服役，銹蝕、損傷等問題日益突出，極易出現(xiàn)局部剛度退化。針對局部損傷梁結(jié)構(gòu)，以歐拉-伯努利均勻梁模型[12]為基礎(chǔ)，如圖1所示，假定該梁存在一個(gè)均勻損傷區(qū)域LD，其區(qū)域剛度為EID，其余為未損傷區(qū)域且剛度為EIU。定義損傷位置及程度參數(shù)如下

(1)

其中：L為梁的長度；LD為損傷區(qū)域長度；X為損傷區(qū)域起始點(diǎn)坐標(biāo)；x和b分別為損傷區(qū)域的相對起始位置和相對長度；β為損傷程度。

圖1 剛度均勻退化模型Fig.1 Degradation model of uniform stiffness

歐拉-伯努利均勻梁自由彎曲振動微分方程為

(2)

其中：ρ為密度；A為截面積。

式(2)的解可表示為v(x,t)=V(x)cos(ωt-φ)，將其代入式(2)可得

(3)

其中：ω為固有頻率。

梁模型可以看作3個(gè)獨(dú)立的部分，每個(gè)獨(dú)立的部分均滿足如下方程

(4)

式(4)的解可以寫為

Vi(ξi)=Ai1sinhλiξi+Ai2coshλiξi+

Ai3sinλiξi+Ai4cosλiξi

(5)

其中：Aij為任意常數(shù)。

引入簡支梁邊界條件和變形協(xié)調(diào)條件，并代入式(5)，經(jīng)過一定的簡化處理可得出如下表達(dá)式

(6)

其中

式(6)建立了參數(shù)x，b，β與特征值λ之間的關(guān)系

f(λ,x,b,β)=0

(7)

特征方程(7)表明損傷梁的振動頻率特征值λD與損傷參數(shù)x，b，β存在著對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)損傷前后梁的頻率、位置參數(shù)x和b已知時(shí)，通過式(7)即可求得損傷程度參數(shù)β。式(7)是基于結(jié)構(gòu)局部損傷為均勻損傷所得到的損傷程度與頻率之間的關(guān)系。然而在實(shí)際工程中，由于結(jié)構(gòu)受力模式以及環(huán)境因素等不同，損傷區(qū)域內(nèi)的剛度退化往往會存在明顯的差異，用上述模型來識別結(jié)構(gòu)損傷會對實(shí)際工程結(jié)構(gòu)真實(shí)狀況的評估帶來較大的誤差，不利于結(jié)構(gòu)后期的維修加固。因此，筆者將結(jié)構(gòu)損傷區(qū)域劃分成若干節(jié)段，將結(jié)構(gòu)損傷區(qū)域細(xì)化。新建局部剛度非均勻退化識別模型如圖2所示。

圖2 局部剛度非均勻退化模型Fig.2 Heterogeneous degradation model of local stiffness

隨著未知剛度區(qū)域數(shù)量的增加，式(7)雖然適用于多區(qū)域模型，振動頻率特征值λD與損傷參數(shù)xi，bi，βi依然存在著對應(yīng)關(guān)系，但是式(7)將變得十分復(fù)雜，且單獨(dú)利用頻率值變化無法同時(shí)求解損傷位置和程度。因此，引入模態(tài)撓度曲率法先對損傷區(qū)域進(jìn)行定位，然后推導(dǎo)新的關(guān)系表達(dá)式，建立頻率特征值與損傷參數(shù)之間的關(guān)系，完成損傷程度的識別。

2 模態(tài)撓度曲率差指標(biāo)函數(shù)

基于柔度矩陣的結(jié)構(gòu)損傷識別方法無論是結(jié)構(gòu)出現(xiàn)對稱損傷、非對稱損傷還是損傷位置間距較近以及損傷程度各異的多損傷情況，都能較好地對損傷位置進(jìn)行定位。因此，由結(jié)構(gòu)柔度矩陣入手，將虛擬外力作用下模態(tài)撓度曲率作為損傷指標(biāo)函數(shù)，判斷結(jié)構(gòu)損傷位置。

根據(jù)林賢坤等[13]提出的模態(tài)撓度法理論知,單位靜荷載作用下各測點(diǎn)的靜位移可以由實(shí)測動位移數(shù)據(jù)求得，單位靜荷載作用下各測點(diǎn)的靜位移滿足

(8)

(9)

對于任意給定的荷載向量，利用柔度矩陣D就可以計(jì)算結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的撓度，利用模態(tài)柔度矩陣Dm可計(jì)算各階模態(tài)撓度分量。在損傷區(qū)域附近，模態(tài)撓度值相對來說有較大的改變，通過對坐標(biāo)位置二階導(dǎo)數(shù)的作用求模態(tài)撓度曲率，變化程度更加明顯?；诖耍岢瞿B(tài)撓度曲率法(modal deflection curvature，簡稱MDC)或疊加模態(tài)撓度曲率法(superposition of modal deflection curvature，簡稱SMDC)。設(shè)DU，DD分別表示損傷前、后結(jié)構(gòu)柔度矩陣，F(xiàn)為任意節(jié)點(diǎn)荷載列向量，則結(jié)構(gòu)撓度為

V=DF

(10)

對撓度進(jìn)行差分計(jì)算撓度曲率

(11)

其中：V(i)為撓度向量的第i個(gè)元素值；li為單元長度。

用于計(jì)算V的柔度矩陣D可以用模態(tài)柔度矩陣Dm替代，形成模態(tài)撓度Vm，對應(yīng)的模態(tài)撓度曲率為Wm。

定義模態(tài)撓度曲率差(MDC)為

(12)

MDC值與單元節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)相對應(yīng)，其大小反應(yīng)了結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)撓度曲率的變化量。當(dāng)結(jié)構(gòu)局部發(fā)生損傷時(shí)，局部剛度退化從而引起模態(tài)撓度曲率發(fā)生變化。如果某一段之間的指標(biāo)值遠(yuǎn)大于其他位置處的值或者指標(biāo)函數(shù)曲線發(fā)生明顯突變，則這個(gè)節(jié)段之間的單元即為損傷單元。MDC的計(jì)算過程可以自由選取各階模態(tài)撓度曲率，也可直接取疊加后的撓度曲率值。

為了說明模態(tài)撓度曲率法對結(jié)構(gòu)損傷位置識別的有效性，建立簡支梁有限元模型如圖3所示，長度為4m，劃分為等長的20個(gè)單元，每個(gè)單元長度為0.2m。其中截面為200mm×350mm的矩形截面，材料彈性模量為32.5GPa，容重為25kN/m3。未損傷梁的前5階豎向振動固有頻率分別為35.10，136.75 ，295.14，496.96和728.27Hz。

圖3 簡支梁計(jì)算模型(單位：mm)Fig.3 Calculation model of simply supported beam (unit: mm)

在實(shí)際服役的工程結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)損傷往往使結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化，而對于結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響幾乎可以忽略，因此，可以通過單元剛度的折減來模擬結(jié)構(gòu)損傷。本研究中僅考慮豎向柔度，并取前5階豎向模態(tài)進(jìn)行仿真識別?？紤]到實(shí)際結(jié)構(gòu)的損傷一般不會很大，以及損傷因子對結(jié)構(gòu)微損傷的靈敏度，以5號單元剛度缺失程度β分別為2%，5%和10%作為局部均勻損傷的3種工況。選擇連續(xù)單元4，5，6分別發(fā)生不同程度剛度下降作為局部剛度退化分布非均勻的損傷工況，各單元具體損傷程度如表1所示。

表1 局部剛度非均勻退化工況

采用Matlab編制相應(yīng)的程序進(jìn)行計(jì)算，結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)撓度曲率差如圖4～圖8所示。

圖4 第1階MDC曲線Fig.4 MDC curves of the first mode

圖5 第2階MDC曲線Fig.5 MDC curves of the second mode

圖6 第3階MDC曲線Fig.6 MDC curves of the third mode

圖7 SMDC曲線Fig.7 SMDC curves

圖8 剛度非均勻退化SMDC曲線Fig.8 The SMDC curves of inhomogeneous degenera-ted stiffness

圖4～圖6分別為局部均勻損傷后前3階MDC指標(biāo)函數(shù)計(jì)算結(jié)果，圖中橫坐標(biāo)為單元沿長度方向的坐標(biāo)值，縱坐標(biāo)為指標(biāo)值。可以看出，無論損傷程度的大小，損傷后各階模態(tài)撓度曲率都發(fā)生了一定的變化，MDC函數(shù)曲線產(chǎn)生突變，可根據(jù)曲線突變的坐標(biāo)值準(zhǔn)確判斷損傷發(fā)生的位置。圖7為局部均勻損傷前3階SMDC指標(biāo)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，在損傷區(qū)域內(nèi)曲線突變明顯，而在未損傷區(qū)域曲線基本為零直線。相對于單一階的MDC函數(shù)曲線，SMDC函數(shù)曲線能夠更清晰地指示損傷區(qū)域位置。圖8為剛度非均勻退化工況的前3階SMDC指標(biāo)函數(shù)計(jì)算結(jié)果。同樣，在損傷區(qū)域內(nèi)曲線發(fā)生明顯突變，而未損傷區(qū)域其值基本為零，通過圖中曲線可以清晰判斷出損傷位置與設(shè)定位置一致。

在實(shí)際工程測試中，可以利用SMDC指標(biāo)函數(shù)識別損傷位置，抗干擾能力更強(qiáng)。然而，無論是均勻損傷還是非均勻損傷，該指標(biāo)函數(shù)值只能表示節(jié)點(diǎn)處的模態(tài)撓度曲率的改變量，很難準(zhǔn)確給出各個(gè)區(qū)域的剛度變化量，所以將MDC或者SMDC指標(biāo)函數(shù)作為剛度退化識別的第1步，第2階段利用固有頻率對剛度變化的敏感性，通過頻率的變化識別結(jié)構(gòu)的損傷程度。

3 基于頻率改變率識別剛度退化

局部剛度退化分布識別模型如圖2所示。同樣考慮均勻歐拉-伯努利梁，將損傷區(qū)域劃分為n節(jié)段，共n+2節(jié)段。定義相關(guān)參數(shù)如下

(13)

其中:各參數(shù)意義與式(1)一致。

損傷梁的第i節(jié)段的振動模態(tài)函數(shù)可以用克雷洛夫函數(shù)[14]表示

W(ξi)=Ci1Aλiξi+Ci2Bλiξi+Ci3Cλiξi+Ci4Dλiξi

(14)

故有

W′(ξi)=λi(Ci1Dλiξi+Ci2Aλiξi+Ci3Bλiξi+Ci4Cλiξi)

(15)

(16)

(17)

(18)

將式(18)代入(14)可得

(19)

(20)

(21)

(22)

可得

故

(23)

令

(24)

考慮簡支梁邊界條件

Wξ1(0)=0，Mξ1(0)=0

可得

即

f(λi,xi,bi,βi)=Z12Z34-Z14Z32=0

(25)

同樣，以面局部剛度退化分布非均勻的工況2為例來說明函數(shù)關(guān)系式(25)的有效性。損傷后梁的前5階固有頻率值分別為34.95，135.58，293.50，496.17和725.86Hz。針對該局部剛度非均勻退化工況，其損傷區(qū)域在0.6～1.2m之間。細(xì)化識別損傷區(qū)域的剛度分布，依次將損傷區(qū)域均勻劃分為1個(gè)節(jié)段、2個(gè)節(jié)段和3個(gè)節(jié)段，對比分析不同假定工況下剛度退化識別結(jié)果，分析算法的有效性。將相應(yīng)的損傷區(qū)域相對位置參數(shù)代入式(25)，用Matlab編制相應(yīng)的程序進(jìn)行計(jì)算。

當(dāng)將損傷區(qū)域視為1段時(shí)，相當(dāng)于均勻損傷模型，在這種情況下，只需要采用任意一階固有頻率值就可以計(jì)算該區(qū)域的損傷程度。以不同的固有頻率值計(jì)算，可以對比分析識別結(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性，其結(jié)果如圖9所示。

圖9 1段識別結(jié)果Fig.9 One recognition result

圖9表明，采用不同頻率計(jì)算的結(jié)果與假定的不均勻損傷均存在較大的差異，在損傷程度嚴(yán)重的地方識別結(jié)果偏小，反之結(jié)果偏大，說明以均勻損傷模型來代替非均勻損傷模型不利于結(jié)構(gòu)局部剛度退化的評估。

將損傷區(qū)域劃分為均勻2段，基于任意2階固有頻率組合的損傷識別結(jié)果如圖10所示。

圖10 均分2段識別結(jié)果Fig.10 Two recognition results

圖10為損傷區(qū)域分為相等的2段識別結(jié)果與假定值對比，其中(a)，(b)，(c)分別表示采用不同頻率組合計(jì)算結(jié)果與假定值的對比情況。從圖中分析可知，采用不同頻率組合所計(jì)算的結(jié)果因敏感性的不同而存在一定的差異，且均與假定值存在較大的區(qū)別。但是，通過對比分析圖9和圖10可知，相對于均勻損傷來說，均分兩段的識別結(jié)果與假定值更為接近，損傷程度識別的結(jié)果精度相對較高，誤差更小。

當(dāng)損傷區(qū)域均分為3段時(shí)，需采用3階固有頻率值進(jìn)行計(jì)算，不同頻率組合計(jì)算的各區(qū)段損傷程度結(jié)果與假定值的對比情況如圖11所示。

圖11 均分3段識別結(jié)果Fig.11 Three recognition results

由圖11可以看出，損傷區(qū)域劃分的節(jié)段數(shù)與假定的損傷分布情況基本符合時(shí)，采用任意3階固有頻率組合計(jì)算的結(jié)果與假定值基本吻合。

通過以上分析可知，隨著對損傷區(qū)域逐級細(xì)化，區(qū)域的損傷程度識別精度不斷提高。當(dāng)損傷區(qū)域劃分與結(jié)構(gòu)實(shí)際區(qū)域損傷分布接近時(shí)，識別的結(jié)果與實(shí)際的損傷情況基本一致。在損傷程度的識別過程中，隨著損傷區(qū)域劃分節(jié)段的增加，需要更多的方程參與計(jì)算，所需固有頻率階次數(shù)與未知損傷區(qū)域節(jié)段數(shù)量相同。

4 結(jié) 論

1) 針對結(jié)構(gòu)局部剛度非均勻退化的損傷模型，通過模態(tài)撓度曲率差識別結(jié)構(gòu)損傷位置參數(shù)，再從梁結(jié)構(gòu)動力方程入手，通過結(jié)構(gòu)損傷前后的頻率特征值變化來計(jì)算區(qū)域損傷程度。

2) 其中結(jié)構(gòu)任意一階的MDC指標(biāo)函數(shù)均能有效識別損傷位置，采用不同階次的MDC指標(biāo)函數(shù)識別結(jié)果相互校核，可以避免試驗(yàn)過程中測試誤差帶來的影響。同時(shí)采用SMDC指標(biāo)函數(shù)能有效提高損傷位置識別精度。

3) 以傳遞矩陣函數(shù)建立的固有頻率與損傷位置參數(shù)、損傷程度之間的關(guān)系表達(dá)式能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算損傷區(qū)域內(nèi)各節(jié)段的損傷程度。通過將損傷區(qū)域分節(jié)段細(xì)化處理，可以提高區(qū)域非均勻損傷的識別精度。不足之處在于當(dāng)未知區(qū)域數(shù)量增加時(shí)所需模態(tài)階次隨之增加，對現(xiàn)場的測試結(jié)果要求較高。

4) 所提出的方法對于結(jié)構(gòu)局部剛度非均勻退化識別具有明顯的優(yōu)勢，同時(shí)利用振型和固有頻率有效定位剛度退化區(qū)域，獲取區(qū)域內(nèi)剛度退化分布，對于后續(xù)的結(jié)構(gòu)維修加固設(shè)計(jì)具有很好的指導(dǎo)作用，工程價(jià)值顯著。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Maalej M, Chhoa C Y, Quek S T. Effect of cracking, corrosion and repair on the frequency response of RC beams [J]. Construction and Building Materials,2010,24:719-731.

[2] Capozucca R. A reflection on the application of vibration tests for the assessment of cracking in PRC/RC beams [J]. Engineering Structures,2013,48: 508-518.

[3] Vestroni F, Capecchi D. Damage detection in beam structures based on frequency measurements [J]. Journal of Engineering Mechanics,2000,126(7):761-768.

[4] Fernad N S E J, Rubio L, Navarro C. Approximate calculation of the fundamental frequency for bending vibrations of cracked beams [J]. Journal of Sound and Vibration,1999, 225(2):345-352.

[5] Goldfeld Y , Elias D. Using the exact element method and modal frequency changes to identify distributed damage in beams [J]. Engineering Structures,2013,51(2):60-72.

[6] Perera R, Huerta C, Juan M O. Identification of damage in RC beams using indexes based on local modal stiffness [J]. Construction and Building Materials,2008,22:1656-1667.

[7] Gillich G R, Praisach Z I. Modal identification and damage detection in beam-like structures using the power spectrum and time-frequency analysis [J]. Signal Processing,2014, 96:29-44.

[8] Pandey A K, Biswas M. Damage detection in structures using changes flexibility [J]. Journal of Sound and Vibration,1994,169(1):3-17.

[9] 姚京川,楊宜謙,王瀾. 基于模態(tài)柔度曲率改變率的橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別方法[J]. 中國鐵道科學(xué),2008(5):51-57.

Yao Jingchuan, Yang Yiqian, Wang Lan. Damage detection method for bridge structure based the modal flexibility curvature change ratio [J]. China Railway Science, 2008(5):51-57.(in Chinese)

[10] 郭利,張瑞剛,李永軍,等. 基于模態(tài)柔度曲率差的彎管結(jié)構(gòu)損傷識別[J]. 振動、測試與診斷,2013,33(5):902-906.

Guo Li, Zhang Ruigang, Li Yongjun, et al. Damage identification of bend-type structure based on modal flexibility-curvature and difference [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis,2013,33(5):902-906.(in Chinese)

[11] 何育民,高攀,張小龍,等. 局部柔度變化在管道裂紋定量識別中的應(yīng)用[J]. 振動、測試與診斷,2015,35(6):1184-1189.

He Yumin, Gao Pan, Zhang Xiaolong, et al. Pipe crack quantitative identification based on the change of the local flexibility [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2015,35(6):1184-1189 .(in Chinese)

[12] Cerri M N, Vestroni F. Detection of damage in beams subjected to diffused cracking [J]. Journal of Sound and Vibration,1999,2887: 259-276.

[13] 林賢坤,張令彌,郭勤濤,等. 基于模態(tài)撓度法的預(yù)應(yīng)力連續(xù)箱梁橋狀態(tài)評估[J]. 土木工程學(xué)報(bào),2010,10:83-90.

Lin Xiankun, Zhang Lingmi, Guo Qintao ,et al. Application of modal deflection method for condition assessment of prestressed concrete continuous box-girder bridges [J]. China Civil Engineering Journal,2010,10:83-90.(in Chinese)

[14] Zhang Xiaoqing, Ph D, Han Qiang, et al. Analytical approach for detection of multiple cracks in a beam [J]. Journal of Engineering Mechanics,2010,136(3):345-357.