江衛(wèi)鋒， 殷 鳴， 向召偉， 謝羅峰， 殷國富

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

類比于光子晶體[1-2]對電磁波的控制，研究者發(fā)現(xiàn)彈性介質(zhì)周期性排布而成的結(jié)構(gòu)可顯著影響彈性波的傳播，聲子晶體的概念[3]由此被提出。聲子晶體對彈性波的調(diào)控中尤為重要的一點(diǎn)體現(xiàn)在其具有彈性波帶隙。處于帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波在聲子晶體中沿任意方向傳播都會受到抑制[4]。因此，以聲子晶體為依托開發(fā)出的新型功能材料和結(jié)構(gòu)器件等將具有非常廣闊的應(yīng)用空間。將其用于隔音降噪，可在音源或是噪聲傳播路徑中設(shè)置聲子晶體屏障，從而隔離噪聲[5-6]；用于減振，能為高精密的機(jī)械系統(tǒng)[7-11]或者是大型的土木工程提供無振動工作環(huán)境[12]。

數(shù)十年來研究人員對聲子晶體的帶隙(特性做了廣泛研究。Yu等[13]提出一種散射體通過頸狀結(jié)構(gòu)與基體連接的二維聲子晶體結(jié)構(gòu)模型，獲得了低頻帶隙，相關(guān)幾何參數(shù)可調(diào)控其帶隙特性。Wang等[14-15]研究了一類含共振單元的聲子晶體，討論了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對帶隙特性的影響，并根據(jù)帶隙邊界的振動模態(tài)發(fā)展了近似等效模型預(yù)測帶隙的邊界。劉榮強(qiáng)等[16-17]設(shè)計了一類板狀聲子晶體結(jié)構(gòu)，并研究了其振動帶隙特性，為聲子晶體在隔振領(lǐng)域的實(shí)用化提供了新的設(shè)計思路。近年來，研究者也逐漸把研究的目光投向能夠在空間三個維度上都獲得寬頻帶隙的三維聲子晶體結(jié)構(gòu)。Chen等[18]設(shè)計了一類雙連續(xù)的三維聲子晶體結(jié)構(gòu)，在簡單立方晶格、體心立方晶格和面心立方晶格三種周期形式下分別獲得了29%、54%和55%的最大相對帶隙寬度。Matlack等[19]提出一種將鋼塊嵌與聚合物基體的簡立方三維聲子晶體結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)的相對帶隙寬度可達(dá)62%。Jiang[20-21]等研究了木堆結(jié)構(gòu)的聲子晶體，結(jié)果顯示得到的相對帶隙寬度小于30%。Delpero等[22]設(shè)計了一種由中空桁架構(gòu)成的三維結(jié)構(gòu)，相對帶隙寬度達(dá)54.5%。另外，一些周期性結(jié)構(gòu)在具有彈性波帶隙的同時還能獲得光子帶隙，這類周期性結(jié)構(gòu)被稱為聲光子晶體[23-26]。聲光子晶體由于其在設(shè)計聲光器件方面的巨大潛在價值正備受關(guān)注。

總體而言，目前對三維聲子晶體的研究相對較少，且其中大部分結(jié)構(gòu)獲得的帶隙寬度不夠?qū)挘鴰兜膶挾群艽蟪潭壬嫌钟绊懼曌泳w的適用范圍和穩(wěn)定性。對此，本文設(shè)計了一種按金剛石晶格排布的三維“球-柱”結(jié)構(gòu)。利用有限元方法計算了其能帶結(jié)構(gòu)，獲得了超寬頻的彈性波帶隙；計算了帶隙邊界的振動模態(tài)，以研究寬頻帶隙的形成機(jī)理；分析了幾何參數(shù)對帶隙寬度的影響，以實(shí)現(xiàn)對彈性波傳播的人工調(diào)控；計算了有限周期個數(shù)下該結(jié)構(gòu)的彈性波透射譜，研究彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳輸特性。利用平面波展開法計算了該結(jié)構(gòu)的光子能帶結(jié)構(gòu)，考察其是否具有光子帶隙。

1 結(jié)構(gòu)模型及計算方法

如圖1(a)所示為結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展單胞圖，直徑為D的介質(zhì)球處于金剛石晶格的格點(diǎn)位置，晶格常數(shù)為a，相鄰介質(zhì)球之間通過直徑為d的介質(zhì)柱相連接，最終得到由單一材料形成的連續(xù)自支撐結(jié)構(gòu)。圖1(b)為結(jié)構(gòu)的原胞，它由在擴(kuò)展單胞中處于同一體對角線上的兩個立方體頂點(diǎn)分別連接其鄰近的三個面心所形成的平行六面體截取得到。圖1(c)為金剛石晶格的布里淵區(qū)和不可約布里淵區(qū)示意圖。

(a) 聲子晶體的擴(kuò)展單胞(b) 聲子晶體的原胞(c) 金剛石晶格第一布里淵區(qū)

圖1 聲子晶體結(jié)構(gòu)及金剛石晶格的第一布里淵區(qū)

Fig.1 The phonon crystal structure and the first Brillouin zone of the diamond lattice

目前對聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的計算較多采用有限元法，利用商業(yè)有限元軟件中的固體力學(xué)模塊可數(shù)值計算聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，該模塊下彈性波在介質(zhì)中傳播的控制方程為

(i=1,2,3)

(1)

式中：ρ為密度；ui為位移；t為時間；cijkl為彈性常數(shù)；xj(j=1,2,3)分別表示坐標(biāo)變量x，y和z。

根據(jù)周期結(jié)構(gòu)中波傳播的Bloch定理，位移場u(r)可表示為

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(2)

式中：r=(x,y,z)為位置矢量，k=(kx,ky,kz)為第一布里淵區(qū)內(nèi)波矢，uk(r)是與聲子晶體具有相同周期性的矢量函數(shù)。

離散化后原胞本征值方程為

(K-ω2M)U=0

(3)

式中:K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；U為節(jié)點(diǎn)位移。

將式(2)描述的Bloch定理沿周期性方向應(yīng)用在原胞模型的邊界上，邊界位移滿足

U(r+a)=ei(K·a)U(r)

(4)

式中：r為邊界上節(jié)點(diǎn)的位置矢量；a為聲子晶體格矢基矢量。

結(jié)合式(4)邊界條件，令波矢k沿著不可約布里淵區(qū)的邊界取值，求解本征值方程式(3)，最終可得到聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)。

2 結(jié)構(gòu)模型及計算方法

2.1 彈性波帶隙特性

本文計算中所用到的結(jié)構(gòu)材料參數(shù)為：密度ρ=2 330 kg/m3，橫波速度ct=5 360 m/s，縱波速度cl=8 950 m/s。帶隙寬度通常采用歸一化后無量綱的相對帶隙寬度表示，定義為2(fup-flow)/(fup+flow)，其中fup和flow分別為帶隙上、下邊界處的實(shí)際頻率值。取D=0.35a，d=0.06a，計算得到能帶結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，圖中縱坐標(biāo)采用歸一化頻率，定義為Ω=fa/ct?？梢钥吹皆趫D中第十二和第十三條能帶之間出現(xiàn)一段超寬頻的完全帶隙，帶隙范圍為0.434 5<Ω<1.895，其相對帶隙寬度達(dá)到了125.4%。相比較而言，該金剛石結(jié)構(gòu)聲子晶體的帶隙寬度已明顯大于絕大多數(shù)目前其他已有三維聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙寬度。為進(jìn)一步研究該寬頻帶隙的產(chǎn)生機(jī)理，計算了帶隙邊界位置結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)。圖2(b)為帶隙上邊界的振動模態(tài)，表現(xiàn)為位于同一體對角平面內(nèi)的連接柱在面內(nèi)大幅彎曲振動，并帶動介質(zhì)球小幅地擺動；圖2(c)為帶隙下邊界的振動模態(tài)，處于體對角線上的介質(zhì)球和位于面心及頂點(diǎn)位置的介質(zhì)球作反向振動，連接柱則類似于彈簧作受迫振動。可見介質(zhì)球和連接柱在一定方向上的共振是寬頻帶隙產(chǎn)生的最主要原因。另外，在能帶結(jié)構(gòu)中帶隙是以較低能帶的極大值點(diǎn)和較高能帶的極小值點(diǎn)為邊界的，且能帶極值在不可約布里淵區(qū)邊界的高對稱點(diǎn)取得。而金剛石晶格的布里淵區(qū)為截角八面體，非常接近于球形，各高對稱點(diǎn)處對應(yīng)波矢幅值大小較為接近，因此對應(yīng)的頻率大小也比較接近，這使得同一能帶上頻率極大值和極小值間相差不會很大，從而有利于在兩條能帶之間形成更寬的帶隙。其次，該金剛石 “球-柱”結(jié)構(gòu)與簡單立方 “球-柱”結(jié)構(gòu)相比，由于面心和體對角線位置上介質(zhì)球的引入，使得結(jié)構(gòu)對稱性降低，這有利于能帶簡并的解除從而拓寬帶隙。

圖2 聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)帶隙邊界振動模態(tài)

2.2 幾何參數(shù)對帶隙寬度的影響

帶隙的調(diào)控密切關(guān)系著聲子晶體在減振降噪等方面的實(shí)際應(yīng)用?？紤]通過改變結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)來調(diào)整結(jié)構(gòu)從而實(shí)現(xiàn)對帶隙的調(diào)控。圖3(a)為d/a=0.06時帶隙上、下邊界頻率以及相對帶隙寬度隨介質(zhì)球直徑變化的情況。圖中顯示隨著介質(zhì)球直徑增大，帶隙上界頻率顯著變化，其頻率值一開始迅速增大然后逐漸減小，帶隙下界頻率則是先緩慢減小而后逐漸增大。相對帶隙寬度由此呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢，在D/a=0.34附近達(dá)到最大。圖3(b)為D/a=0.34時帶隙上、下邊界頻率以及相對帶隙寬度隨連接柱直徑變化的情況。隨著連接柱直徑增大，帶隙下邊界的頻率變化更為明顯，其頻率值近乎線性地增大，而帶隙上界頻率緩慢減小。結(jié)構(gòu)的相對帶隙寬度隨連接柱直徑增大而不斷減小。在幾何參數(shù)D/a=0.33，d/a=0.05時，該結(jié)構(gòu)的相對帶隙寬度可以達(dá)到144.5%，基本是目前已被研究的結(jié)構(gòu)中能夠得到的最大相對帶隙寬度。當(dāng)然實(shí)際應(yīng)用中介質(zhì)球和連接柱的直徑大小的取值還需要結(jié)合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性考慮。以上分析表明介質(zhì)球直徑D主要影響帶隙上邊界頻率而連接柱直徑d主要影響帶隙下邊界頻率，D和d的改變顯著影響帶隙寬度，它們是實(shí)現(xiàn)帶隙調(diào)控的一組關(guān)鍵參數(shù)。

(a)

(b)

2.3 彈性波傳輸特性

選擇有限層數(shù)的擴(kuò)展單胞排成一列，在其四個側(cè)面施加周期性邊界條件，通過在模型左端邊界施加激勵，測量模型右端邊界的輸出響應(yīng)可計算得到透射譜。圖4(a)中實(shí)線為D/a=0.3，d/a=0.06時，由七層擴(kuò)展單胞組成的有限周期結(jié)構(gòu)的透射譜?？梢钥吹筋l率域內(nèi)出現(xiàn)非常大的振動衰減區(qū)域，其歸一化頻率范圍為0.478 6<Ω<1.954，與圖2能帶結(jié)構(gòu)中的帶隙位置基本吻合。在帶隙的中間位置振動衰減達(dá)到最大，圖4(b)為帶隙中Ω=1.213時完整結(jié)構(gòu)的位移場分布，該頻率下振動向右傳遞一個周期后無法沿著聲子晶體結(jié)構(gòu)繼續(xù)傳播。通過移除擴(kuò)展單胞中兩個體對角線上格點(diǎn)處的介質(zhì)球，由連接柱直接在格點(diǎn)處連接，可構(gòu)造出存在缺陷的結(jié)構(gòu)。該缺陷結(jié)構(gòu)的透射譜如圖4(a)中虛線所示，能夠看到在原帶隙頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)頻率范圍非常小的五段通帶。圖4(c)為通帶內(nèi)Ω=0.753 7時結(jié)構(gòu)的位移場分布，此時振動局域在缺陷處并沿著缺陷傳播。值得注意的是，與常見二維聲子晶體移除散射體引入線缺陷后在原帶隙內(nèi)幾乎形成一條完整連續(xù)通帶相比，引入缺陷后的金剛石結(jié)構(gòu)聲子晶體得到的是多段頻率范圍非常小且分隔開的通帶。另外，通帶之間仍然存在著帶隙，只是帶隙中的振動衰減程度大幅度降低。這是由于寬頻帶隙的產(chǎn)生主要是由介質(zhì)球和連接柱的共振引起，結(jié)構(gòu)周期性對帶隙的影響作用相對更弱一些。此外，“球-柱”這種結(jié)構(gòu)形式的連續(xù)性使得結(jié)構(gòu)中形成的缺陷也并不完全。因此，該結(jié)構(gòu)對處于帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播的抑制作用非常強(qiáng)且比較穩(wěn)定。

(a) 有限結(jié)構(gòu)的透射譜

(b) Ω=1.213時結(jié)構(gòu)的 (c) Ω=0.753 7時結(jié)構(gòu)的

2.4 結(jié)構(gòu)的光子帶隙

同時具有彈性波帶隙和光子帶隙的聲光子晶體結(jié)構(gòu)可以用于設(shè)計開發(fā)基于聲光交互條件下的應(yīng)用器件如聲光傳感器、聲光開關(guān)、聲光波導(dǎo)[27-28]等。通常具有全方位聲光帶隙的一維和二維聲光子晶體結(jié)構(gòu)較為常見，而由于分別有利于聲子結(jié)構(gòu)和光子結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋮?shù)不同，三維聲光子晶體結(jié)構(gòu)則難以構(gòu)建。Maldovan等推測固體材料和空氣分別形成連續(xù)獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)的三維結(jié)構(gòu)可能同時產(chǎn)生彈性波帶隙和光子帶隙。因此，本文利用平面波展開法計算了該金剛石晶格“球-柱”結(jié)構(gòu)的光子能帶結(jié)構(gòu)。取材料折射率n=3.6，幾何參數(shù)D/a=0.33，d/a=0.1，計算得到能帶結(jié)構(gòu)如圖5所示?？梢钥吹皆跉w一化頻率0.553 1<Ω<0.635 6的范圍內(nèi)得到一段光子帶隙，相對帶隙寬度為13.9%。對于三維光子晶體，金剛石類結(jié)構(gòu)相較于其他類型結(jié)構(gòu)通常能得到更寬的帶隙，相對帶隙寬度一般在10%～30%[29]。因此，可以認(rèn)為該金剛石“球-柱”結(jié)構(gòu)得到的光子帶隙寬度處于一個較寬的范疇。

圖5 能帶結(jié)構(gòu)

3 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種由位于金剛石晶格格點(diǎn)處的介質(zhì)球通過介質(zhì)柱連接形成的三維聲子晶體結(jié)構(gòu)。該連續(xù)的結(jié)構(gòu)由單一材料組成，具有良好的自支撐性。因此該結(jié)構(gòu)形式有利于直接通過增材制造技術(shù)制備，而對于一些不宜直接成型的材料，可采用先制造出消失模具然后注塑的間接成型方式。利用有限元方法計算了其能帶結(jié)構(gòu)、振動模態(tài)和透射譜。結(jié)果表明，該三維金剛石晶格聲子晶體結(jié)構(gòu)可獲得超寬頻段的彈性波帶隙。寬頻彈性波帶隙的產(chǎn)生主要由周期性排布的介質(zhì)球和連接柱在一定方向上的共振引起。此外，金剛石晶格的布里淵區(qū)接近球形，這也非常有利于帶隙寬度的拓寬。介質(zhì)球直徑D和連接柱直徑d的變化分別主要影響帶隙上邊界和帶隙下邊界頻率。連接柱直徑一定，結(jié)構(gòu)的相對帶隙寬度隨介質(zhì)球直徑的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢；而介質(zhì)球直徑固定，帶隙寬度隨連接柱直徑的增大而一直減小。因此，對于該類金剛石晶格“球-柱”結(jié)構(gòu)，通過改變幾何參數(shù)實(shí)現(xiàn)其帶隙的調(diào)控和優(yōu)化是較為直接且有效的。在幾何參數(shù)D/a=0.33，d/a=0.05時，結(jié)構(gòu)的相對帶隙寬度可達(dá)到144.5%，遠(yuǎn)大于目前現(xiàn)有其他類型的三維聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙寬度。值得注意的是，該幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)的孔隙率達(dá)到84.6%，這使得該結(jié)構(gòu)還呈現(xiàn)出輕量化的特點(diǎn)。該三維金剛石晶格聲子晶體結(jié)構(gòu)對處于帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播具有非常強(qiáng)的抑制作用，而且由于該結(jié)構(gòu)是連續(xù)的且?guī)吨饕薪橘|(zhì)球和連接柱的共振引起，所以即使是在引入缺陷后的結(jié)構(gòu)中仍能產(chǎn)生一定寬度的帶隙且?guī)秲?nèi)振動衰減超過100 dB。因此可以認(rèn)為該結(jié)構(gòu)對處于帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播的抑制作用強(qiáng)且穩(wěn)定。此外，該結(jié)構(gòu)在可打開超寬頻的彈性波帶隙的同時還具有較寬的光子帶隙，其相對帶隙寬度可達(dá)到13.9%。該三維金剛石晶格聲子晶體結(jié)構(gòu)可用于減振降噪材料和新型聲光器件的設(shè)計開發(fā)。