張 明， 岳士弘

(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072)

0 引 言

電阻抗斷層成像(electrical impedance tomography,EIT)技術(shù)[1]用于對對象邊界元素信號處理，通過在對象的外圍電極進(jìn)行電流激勵(lì)并測量電壓?；谄潢P(guān)系對對象的橫截面的分布進(jìn)行重建。影響重建圖像效果的主要因素有：1)電場的擴(kuò)散特性導(dǎo)致的“軟場”效應(yīng);2)靈敏度場的非線性導(dǎo)致的嚴(yán)重不適定性;3)測量數(shù)據(jù)數(shù)少于重建圖像像素?cái)?shù)所導(dǎo)致的不確定性[2～4]。上述因素導(dǎo)致其空間分辨率比較差，阻礙了常規(guī)EIT系統(tǒng)的發(fā)展及應(yīng)用。吉洪諾夫正則化方法可較好地解決上述問題，但作為一種基于二范數(shù)正則化方法，易使圖像邊緣過于平滑，導(dǎo)致重建圖像清晰度較低[5]。

本文應(yīng)用了一種新的優(yōu)化成像算法，可以更有效地減少數(shù)據(jù)的維數(shù)，最大限度地減少幾乎所有的魯棒損失函數(shù)且在實(shí)踐中收斂速度較快。

1 相關(guān)理論

EIT中有2個(gè)主要的問題：正問題和逆問題。EIT成像的正問題，是指已知對象區(qū)域內(nèi)的電阻抗分布和激勵(lì)電流，確定邊界電壓分布的問題,可以通過物理模擬和有限元離散化方法(finite element method,FEM)進(jìn)行數(shù)值求解。邊界電壓可通過下式求解[6]

V=U(σ;I)=R(σ)I

(1)

式中U(σ；I)為電導(dǎo)率分布σ和注入的電流矢量I與邊界電壓矢量V間的正向模型映射；R(σ)為電導(dǎo)率分布σ與電阻的關(guān)系。

EIT成像的逆問題，是指已知激勵(lì)電流和邊界測量電壓，得到內(nèi)部電阻抗分布及變化的問題，亦稱為圖像重建。求解線性方程為

δU=U′(σ0)δσ=Jδσ

(2)

式中δσ∈Rn×1(n為重建圖像的像素的數(shù)目)為電導(dǎo)率分布σ的變化；δU∈Rm×1(m為獨(dú)立的電壓測量的數(shù)目)為由于σ變化導(dǎo)致的邊界電壓的擾動(dòng)；J∈Rm×n為Jacobian矩陣。在EIT中，Jacobian矩陣可以通過基于格塞洛維茨靈敏度方法快速計(jì)算。本文研究了一個(gè)256的測量數(shù)據(jù)的16電極EIT系統(tǒng)。重建圖像中，含有812個(gè)像素。EIT逆問題的任務(wù)是快速有效地從已知的參數(shù)尋找到電導(dǎo)率的分布。

采用正則化方法解決不適定問題[7～9]，一般形式為

(3)

x=(ATA+λI)-1ATb

(4)

由于區(qū)域中的不同部分的導(dǎo)電性不同，因此，假設(shè)各部分的權(quán)重相同是不適當(dāng)，可能導(dǎo)致失去有用的信息。吉洪諾夫正則化方法相當(dāng)于空間平滑濾波器，雖然其仍然保持重建過程穩(wěn)定，但總是對重建圖像的邊緣施加不必要的平滑，并降低了有效信息的空間分辨率。

2 成像算法

在傳統(tǒng)吉洪諾夫正則化方法的基礎(chǔ)上，G(x)取不同的形式將會(huì)得到不同解。對其進(jìn)行了改進(jìn)，得到正則化算法1和正則化算法2的2種形式，成像效果得到很大提升。

2.1 正則化算法1

阻尼最小二乘重建算法

x=(ATA+λR)-1ATb

(5)

式中λ為正則化參數(shù)，通過調(diào)整正則化參數(shù)可以改變阻尼效應(yīng)；R為正則化矩陣，R=diag(ATA)；b為電導(dǎo)率的變化;x為兩種不同的電流激勵(lì)下的成像目標(biāo)的阻抗變化。令P=ATA，由于P和R具有相同的數(shù)量級，一般使λ在0～1間取值。與其他正則化算法相比，λ變化范圍小，易于選擇，因此，成像結(jié)果更為理想[10,11]。

2.2 正則化算法2

阻尼最小二乘重建算法

x=(ATA+λR)-1ATb

(6)

式中R=diag(sum(A))。其他同上[12,13]。

2.3 改進(jìn)的優(yōu)化算法

在以上2種算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化，得到一種一般形式的優(yōu)化成像算法。該方法可以更有效地減少數(shù)據(jù)的維數(shù),幾乎可以無代價(jià)地減少目標(biāo)函數(shù)的損失值。

對于一般性的問題

(7)

式中hi(x)為在gi(x)上的一個(gè)任意凹函數(shù)。

通過以下算法解決

1)初始化:x∈c，Di=I；

2)通過最優(yōu)解矯正式中x的值

4)迭代步驟(1)～步驟(2)直到其收斂。

其中,hi(gi(x))表示凹函數(shù)hi(x)在點(diǎn)gi(x))的導(dǎo)數(shù)。

進(jìn)而，得到以下算法[14～16]：

1)初始化D為一個(gè)單位矩陣D=I，設(shè)置最大迭代步驟K，并選擇該算法的初始解；

2)通過w=(XXT+rD)-1Xy修正w的值；

3)計(jì)算對角矩陣D，其第i個(gè)對角元素為

4)迭代步驟(2)～步驟(3),直到收斂。

3 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果評價(jià)

3.1 仿真結(jié)果

為了評估新的優(yōu)化方法的性能，進(jìn)行了8個(gè)不同內(nèi)部分布的仿真試驗(yàn)。在仿真模擬中，采用16電極EIT系統(tǒng)，電流選用0.1 A；使用有限元法求解EIT正問題；在COMSOL3.5a中采用自適應(yīng)一階三角網(wǎng)格用于正向計(jì)算；采用相鄰的電流激勵(lì)和相鄰測量方案得到測量電壓；因此，測量的邊緣電壓值的數(shù)目為256；重建的圖像使用812個(gè)像素的網(wǎng)格。在重建圖像中，背景的電導(dǎo)率設(shè)置為1 S/m，對象的電導(dǎo)率設(shè)置為2 S/m。

使用3種不同的算法對相同的數(shù)據(jù)重建圖像。為了更好地比較算法，圖1列出了所有重建的圖像。

圖1 不同算法的8個(gè)模型重建圖像

3.2 評價(jià)參數(shù)

3.2.1 相關(guān)系數(shù)

采用原始圖像與重建圖像的相關(guān)系數(shù)對重建圖像質(zhì)量和成像算法質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)。相關(guān)系數(shù)[17～19]為

(8)

表1 原始圖像和重建圖像的相關(guān)系數(shù)

可以看出：相較于標(biāo)準(zhǔn)的正則化方法，新方法得到的相關(guān)系數(shù)更大。

3.2.2 相對誤差

相對誤差(relative error,RE)反映原始圖像與重建圖像之間的誤差。對于不同的圖像，重建圖像和原始圖像之間的相對誤差為

(9)

式中σ計(jì)算出的電導(dǎo)率;σ*為在模擬分布的實(shí)際電導(dǎo)率。表2給出了3種方法的相對誤差為

表2 原始圖像和重建圖像的相對誤差

可看出：相較于標(biāo)準(zhǔn)的正則化方法，新的優(yōu)化方法得到的相對誤差更小。

4 實(shí)驗(yàn)測試

為了評估新的優(yōu)化方法的可行性，采用的天津大學(xué)設(shè)計(jì)的16個(gè)電極的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行了靜態(tài)實(shí)驗(yàn)。將不同尺寸的塑料棒放置在自來水中，16個(gè)電極以相等的間隔安裝在容器周圍。對相鄰電極進(jìn)行激勵(lì)，測量所有剩余的相鄰電極對之間的電壓差，并依次進(jìn)行循環(huán)。真實(shí)的電導(dǎo)率分布和重建圖像如圖2所示。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：本文提出的新的優(yōu)化方法較其他2種正則化方法均更為精確。

圖2 不同算法對塑料棒模型的圖像重建

5 結(jié) 論

提出了一種新的優(yōu)化方法，以提高電阻抗層析成像的重建精度。仿真結(jié)果驗(yàn)證了新的優(yōu)化方法具有良好的性能。在不同內(nèi)部分布條件下，與標(biāo)準(zhǔn)正則化方法相比，新算法可以獲得更好的空間分辨率。優(yōu)化方法重建圖像的質(zhì)量優(yōu)于2個(gè)正則化方法，表明其可用于不同的邊緣特征模型的圖像重建，尤其對于非光滑目標(biāo)檢測中效果明顯。