張玉元 張?jiān)?張 慧

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

薄壁箱梁發(fā)生豎向撓曲變形時(shí)，由于面內(nèi)剪切變形使得遠(yuǎn)離腹板的翼板區(qū)域翹曲程度大，靠近腹板的翼板區(qū)域翹曲程度小，從而在截面上產(chǎn)生一種應(yīng)力不均勻的現(xiàn)象，這就是剪力滯效應(yīng)．

Reissner[1]針對(duì)雙軸對(duì)稱的矩形箱梁，首次采用三次拋物線為剪力滯翹曲位移函數(shù)，運(yùn)用能量變分法建立了剪力滯效應(yīng)分析理論，并導(dǎo)出了箱形梁撓度和縱向應(yīng)力的解析解．張?jiān)５萚2-3]通過(guò)建立箱梁翼緣板面內(nèi)剪切變形與縱向位移的關(guān)系，從理論上證明了二次拋物線是較為合理的翹曲位移函數(shù)形式．此外，現(xiàn)有諸多文獻(xiàn)采用余弦函數(shù)為翹曲位移函數(shù)[4-5]，余弦函數(shù)可按無(wú)窮級(jí)數(shù)展開成若干個(gè)多項(xiàng)式，其中包含了二次拋物線、三次拋物線等，在計(jì)算精度方面余弦函數(shù)也是較為合適的翹曲位移函數(shù)．在剪力滯翹曲廣義位移方面，Reissner[1]首次提出最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移，并在剪力滯效應(yīng)研究領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，但采用同一最大剪切轉(zhuǎn)角差并不能準(zhǔn)確反映各板的翹曲位移．為了考慮各板縱向翹曲位移的差異，選取不同的最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移[5-6]，這樣能更精確地反映剪力滯翹曲變形，但最大剪切轉(zhuǎn)角差不具有明確的物理意義，且不便于工程人員理解和使用．楊綠峰等[7-8]選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，顯然，這樣的廣義位移物理意義明確，且便于工程技術(shù)人員使用．在翹曲位移模式修正方面，錢寅泉等[4]應(yīng)用能量變分法導(dǎo)出了各板的翹曲位移函數(shù)修正系數(shù)，同時(shí)對(duì)翹曲位移模式加入均勻附加位移項(xiàng)，并通過(guò)翹曲應(yīng)力軸向自平衡條件求得此附加位移．此后，這種修正思路在國(guó)內(nèi)外得到了廣泛的推廣和應(yīng)用[9-14]，但是當(dāng)翼緣板寬與頂板半寬相等時(shí)，此修正系數(shù)失效，為解決此問(wèn)題，張?jiān)５萚15]針對(duì)懸臂板翹曲位移函數(shù)引入邊界約束修正系數(shù)，以反映懸臂板與頂板不同邊界約束對(duì)剪力滯翹曲位移模式的影響．此修正方法雖然能夠真實(shí)反映懸臂板和頂板的翹曲應(yīng)力分布，但不能客觀反映底板的翹曲應(yīng)力狀態(tài)，舒小娟等[16]提出箱形梁剪力滯翹曲變形中性軸與初等梁彎曲變形中性軸位置存在差異，重新定義了翹曲變形中性軸的坐標(biāo)位置，運(yùn)用此方法計(jì)算的截面翹曲應(yīng)力橫向分布能客觀反映翹曲變形的本質(zhì)．

以三跨連續(xù)剛構(gòu)箱梁橋?yàn)槔吙绾椭锌缈山普J(rèn)為是一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁和兩端固定的箱梁，兩端簡(jiǎn)支的約束情況即是工程中常見的簡(jiǎn)支箱梁橋．可見，研究梁端約束條件對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響具有一定的工程意義．本文在剪力滯翹曲位移模式中引入彎翹中性軸修正系數(shù)、翹曲應(yīng)力自平衡修正系數(shù)和懸臂板邊界約束修正系數(shù)，選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，運(yùn)用能量變分法建立不同梁端約束條件下剪力滯系數(shù)和附加撓度的解析解，通過(guò)數(shù)值算例揭示梁端約束條件對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律．

1 剪力滯翹曲變形狀態(tài)分析

圖1為豎向分布荷載q(z)作用下發(fā)生撓曲變形的箱梁簡(jiǎn)圖，坐標(biāo)系xoyz和x′o′y′z分別用于研究初等梁彎曲變形和剪力滯翹曲變形，其中o和o′分別位于截面形心處和翹曲變形中性軸處．箱梁的變形狀態(tài)可分為初等梁彎曲變形狀態(tài)和剪力滯翹曲變形狀態(tài)，其中初等梁彎曲變形狀態(tài)分析已在材料力學(xué)中解決，下面只分析剪力滯翹曲變形狀態(tài)．在剪力滯翹曲變形狀態(tài)下，箱梁橫截面上任一點(diǎn)處的縱向翹曲位移uω(x,y,z)可表達(dá)為

(1)

(a) 坐標(biāo)系及荷載

(b) 橫截面

(2)

根據(jù)幾何方程及胡克定律，由式(1)可得箱梁橫截面任一點(diǎn)處的翹曲應(yīng)力σω(x,y,z)為

(3)

箱梁發(fā)生剪力滯翹曲變形時(shí)，截面翹曲應(yīng)力滿足自平衡條件，即翹曲應(yīng)力在面內(nèi)不合成軸力和彎矩，則有

(4)

(5)

將式(3)分別代入式(4)和式(5)，可得

(6)

(7)

經(jīng)積分運(yùn)算可得

(8)

(9)

與式(3)中剪力滯翹曲應(yīng)力σω(x,y,z)相對(duì)應(yīng)的廣義力矩Mω定義為[15]

(10)

式中,Iζ稱為剪力滯翹曲慣性矩,即

(11)

將式(3)和式(10)整理可得翹曲應(yīng)力σω的另一表達(dá)式[15]:

(12)

據(jù)此可給出箱梁截面任一點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)λ的表達(dá)式:

(13)

2 控制微分方程及邊界條件

由彈性力學(xué)可知,箱梁的翹曲應(yīng)變能可表達(dá)為

(14)

箱梁翹曲正應(yīng)變?chǔ)纽叵鄳?yīng)的應(yīng)變能可表達(dá)為

(15)

箱梁翹曲剪應(yīng)變?chǔ)忙叵鄳?yīng)的應(yīng)變能可表達(dá)為

(16)

式中

外力勢(shì)能為

(17)

則箱梁的剪力滯翹曲變形總勢(shì)能可表達(dá)為

(18)

對(duì)總勢(shì)能泛函進(jìn)行一階變分運(yùn)算,并令δΠ=0,化簡(jiǎn)可得關(guān)于附加撓度的控制微分方程:

(19)

式中,k為Reissner參數(shù)[15],即

(20)

方程(19)為一個(gè)四階常系數(shù)非齊次線性微分方程,其通解的一般形式為

f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*

(21)

式中的待定系數(shù)由邊界條件求解,f*為僅與q(z)分布有關(guān)的特解.當(dāng)箱梁受均布荷載q作用時(shí),其特解可表達(dá)為

確定上述4個(gè)常數(shù)的邊界條件為

固定端

f=0,f′=0

簡(jiǎn)支端

f=0,f″=0

自由端

f″=0,f?-k2f′=0

3 附加撓度及剪力滯系數(shù)的求解

如圖2所示,簡(jiǎn)支箱梁受均布荷載q作用時(shí),箱梁的剪力滯附加撓度可表達(dá)為

(22)

為確定式(22)中的4個(gè)參數(shù),需利用以下邊界條件:f(0)=0,f″(0)=0,f(l)=0,f″(l)=0.

圖2 簡(jiǎn)支箱梁受均布荷載作用

利用以上4個(gè)邊界條件確定常數(shù)C1～C4后,即可得到簡(jiǎn)支箱梁剪力滯附加撓度的計(jì)算公式:

(23)

將附加撓度表達(dá)式相繼代入式(10)和式(13),即可得到簡(jiǎn)支箱梁橫截面任一點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)計(jì)算公式:

(24)

如圖3所示,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁受均布荷載q作用時(shí),其剪力滯附加撓度的表達(dá)式與簡(jiǎn)支箱梁相同,如式(22)所示.

圖3 一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁受均布荷載作用

為確定該箱梁剪力滯附加撓度表達(dá)式中的4個(gè)參數(shù),需利用以下邊界條件:f(0)=0,f′(0)=0,f(l)=0,f″(l)=0.

利用以上4個(gè)邊界條件確定常數(shù)C1～C4后,即可得到一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁剪力滯附加撓度計(jì)算公式:

(25)

將附加撓度表達(dá)式相繼代入式(10)和式(13),即可得到一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁橫截面任一點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)計(jì)算公式:

(26)

如圖4所示,兩端固定的箱梁受均布荷載q作用時(shí),其剪力滯附加撓度的表達(dá)式與簡(jiǎn)支箱梁相同,即式(22).

圖4 兩端固定的箱梁受均布荷載作用

為了確定該箱梁剪力滯附加撓度表達(dá)式中的4個(gè)參數(shù),需利用以下邊界條件:f(0)=0,f′(0)=0,f(l)=0,f′(l)=0.

利用4個(gè)邊界條件確定常數(shù)C1～C4后,即可得到兩端固定的箱梁剪力滯附加撓度計(jì)算公式:

(27)

將附加撓度表達(dá)式相繼代入式(10)和式(13),即可得到兩端固定的箱梁橫截面任一點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)計(jì)算公式:

(28)

4 算例分析

以文獻(xiàn)[17]中跨度為0.8 m的箱梁模型為例,截面尺寸如圖5所示,材料彈性模量為3 GPa,泊松比為0.385,在跨間作用均布荷載,其荷載集度q=10 kN/m.按照本文方法算得:hu=27.7 mm,hb=

圖5 箱梁模型橫截面尺寸(單位:mm)

為了驗(yàn)證本文方法的正確性,以圖5給出的箱梁模型為例,借助有限元ANSYS軟件中的shell63單元,對(duì)該箱梁模型進(jìn)行有限元數(shù)值分析,共劃分為6 422個(gè)節(jié)點(diǎn),6 400個(gè)單元,計(jì)算得到簡(jiǎn)支箱梁(SS箱梁)、一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁(FS箱梁)和兩端固定的箱梁(FF箱梁)跨中截面計(jì)算點(diǎn)的剪力滯系數(shù).然后利用本文方法計(jì)算得到相應(yīng)點(diǎn)的剪力滯系數(shù),將以上結(jié)果列于表1,以便比較.

表1 跨中截面計(jì)算點(diǎn)的剪力滯系數(shù)比較

表1給出了不同梁端約束條件下箱梁跨中截面計(jì)算點(diǎn)的剪力滯系數(shù)本文解和ANSYS解.顯然,二者吻合程度良好,進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的正確性.

為了研究梁端約束條件對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響,以圖5給出的箱梁模型為例,在梁端約束條件變化時(shí),保持跨度、截面尺寸及荷載不變.利用本文公式計(jì)算不同梁端約束條件下箱梁相應(yīng)截面的剪力滯系數(shù)和附加撓度,繪制跨中截面剪力滯系數(shù)橫向分布圖、關(guān)鍵點(diǎn)剪力滯系數(shù)縱向分布圖和附加撓度分布圖,如圖6～圖8所示,并將截面關(guān)鍵點(diǎn)的剪力滯系數(shù)和附加撓度列于表2和表3,以便對(duì)比.

圖6給出了不同梁端約束條件下箱梁跨中截面剪力滯系數(shù)的橫向分布曲線,可看出兩端固定的箱梁剪力滯系數(shù)橫向分布曲線較陡峭,簡(jiǎn)支箱梁剪力滯系數(shù)橫向分布曲線較平緩,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁剪力滯系數(shù)橫向分布曲線介于二者之間.由此可見,梁端約束程度越強(qiáng),剪力滯系數(shù)橫向分布曲線越陡峭.

表2給出了不同梁端約束條件下箱梁跨中截面關(guān)鍵點(diǎn)的剪力滯系數(shù)比較,可看出與簡(jiǎn)支箱梁相比,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁和兩端固定的箱梁在頂板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)分別增大了12.86%和25.63%,底板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)分別增大了10.93%和21.87%,頂板中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)分別減小了5.83%和11.65%,底板中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)分別減小了12.51和25.03%,懸臂板端部的剪力滯系數(shù)分別減小了15.89%和31.67%.

(a)上翼板

(b) 底板

圖7 頂板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)縱向分布

橫向位置x/mmSS箱梁FS箱梁差值比δ1/%FF箱梁差值比δ2/% 上翼板00.9440.889-5.830.834-11.651001.1511.29912.861.44625.632000.8620.725-15.890.589-31.67底板00.8870.776-12.510.665-25.031001.1251.24810.931.37121.87注:δ1,δ2分別為FS箱梁和FF箱梁的剪力滯系數(shù)與SS箱梁剪力滯系數(shù)的相對(duì)誤差比.

表3 跨中截面剪力滯附加撓度比較 mm

圖7給出了不同梁端約束條件下箱梁頂板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)縱向分布曲線,可看出簡(jiǎn)支箱梁剪力滯系數(shù)沿縱向連續(xù)分布,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁和兩端固定的箱梁剪力滯系數(shù)縱向分布在反彎點(diǎn)處發(fā)生突變,在反彎點(diǎn)兩側(cè)的正、負(fù)彎矩區(qū)內(nèi),剪力滯系數(shù)縱向分布與簡(jiǎn)支箱梁和懸臂箱梁分布規(guī)律類似.顯然,梁端約束程度越強(qiáng),剪力滯系數(shù)縱向分布曲線越陡峭.與一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁相比,兩端固定的箱梁在固定端和跨中截面,頂板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)分別增大了19.31%和11.34%.圖8給出了不同梁端約束條件下箱梁附加撓度的變化曲線,可看出簡(jiǎn)支箱梁附加撓度最大,兩端固定的箱梁附加撓度最小,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁附加撓度介于二者之間.由此可見,梁端約束條件越強(qiáng),附加撓度越小;附加撓度的峰值向兩端約束較弱的一端移動(dòng).

表3給出了不同梁端約束條件下箱梁跨中截面的附加撓度比較.從表中可看出,與簡(jiǎn)支箱梁相比,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁和兩端固定的箱梁跨中截面的附加撓度分別減小了13.79%和25.60%.

本文以等截面箱梁為例研究梁端約束條件對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響,所采用的研究方法及導(dǎo)出的計(jì)算公式同樣適用于變截面連續(xù)箱梁,因此運(yùn)用有限梁段法可實(shí)現(xiàn)梁端約束條件對(duì)變截面箱梁剪力滯效應(yīng)影響的研究.

5 結(jié)論

1) 本文運(yùn)用能量變分法建立了不同梁端約束條件下箱梁的剪力滯系數(shù)和附加撓度解析解,算例計(jì)算表明,本文計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合良好,進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的正確性.

2) 梁端約束程度越強(qiáng),剪力滯系數(shù)橫向分布曲線越陡峭.與簡(jiǎn)支箱梁相比,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁和兩端固定的箱梁頂板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)分別增大了12.86%和25.63%.

3) 梁端約束程度越強(qiáng),剪力滯系數(shù)縱向分布曲線越陡峭.正、負(fù)彎矩區(qū)的剪力滯系數(shù)縱向分布規(guī)律與相應(yīng)的簡(jiǎn)支箱梁和懸臂箱梁類似;與一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁相比,兩端固定的箱梁跨中截面頂板與腹板交匯處的剪力滯系數(shù)增大了11.34%.

4) 梁端約束程度越強(qiáng),剪力滯附加撓度縱向分布曲線越平緩.與簡(jiǎn)支箱梁相比,一端固定另一端簡(jiǎn)支的箱梁和兩端固定的箱梁跨中截面附加撓度分別減小了13.79%和25.60%.