譚志 梁麗文 夏磊

摘 要： 針對(duì)傳統(tǒng)蒙特卡羅定位算法由于節(jié)點(diǎn)采樣效率低導(dǎo)致的定位精度低、定位不準(zhǔn)確的缺陷，提出一種改進(jìn)的最小二乘擬合蒙特卡羅（LSFMCL）定位算法。該算法利用MBC算法優(yōu)化采樣空間，并利用最小二乘擬合節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)節(jié)點(diǎn)位置進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)一步得到最優(yōu)采樣區(qū)域，最后提出權(quán)值概念并利用預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值信息計(jì)算未知節(jié)點(diǎn)的位置。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)算法相比，優(yōu)化后的算法提升了節(jié)點(diǎn)的采樣率，提高了定位精度，對(duì)于移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的定位具有更加廣泛的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞： 蒙特卡羅定位算法； MBC算法； 最小二乘法擬合； 移動(dòng)節(jié)點(diǎn)定位； 運(yùn)動(dòng)軌跡； 權(quán)值概念

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.1?34； TP212.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）15?0010?06

Research on least squares fitting Monte Carlo localization algorithm for mobile nodes

TAN Zhi， LIANG Liwen， XIA Lei

（College of Electrical and Information Engineering， Beijing University of Civil Engineering and Architecture， Beijing 100044， China）

Abstract： The traditional Monte Carlo localization algorithm has the defects of low positioning precision and inaccurate positioning due to the low efficiency of node sampling. Therefore， an improved least squares fitting Monte Carlo localization （LSFMCL） algorithm is proposed. The algorithm is adopted to optimize the sampling space by taking advantage of MBC algorithm， fit the node motion trajectory with least square method to predict the location of nodes， and then obtain the optimal sampling area. The weight concept is proposed to calculate the location of the unknown node by using the weight information of the predicted node. The simulation results show that， in comparison with traditional algorithm， the optimized algorithm can improve the sampling rate of the node and positioning accuracy， and has wider application prospect for the localization of the mobile nodes.

Keywords： Monte Carlo location algorithm； MBC algorithm； least square fitting； mobile node localization； motion trajectory； weight concept

0 引 言

無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)（Wireless Sensor Networks，WSN）作為21世紀(jì)發(fā)展的熱點(diǎn)，具有很多別的技術(shù)所沒(méi)有的優(yōu)點(diǎn)，如監(jiān)測(cè)范圍廣、運(yùn)行成本低、網(wǎng)絡(luò)自組織性好等。目前，傳感器網(wǎng)絡(luò)廣泛地應(yīng)用在智能家居、建筑防火、環(huán)境監(jiān)測(cè)、軍事偵察等領(lǐng)域[1]。

WSN技術(shù)的節(jié)點(diǎn)定位主要是指已知自身位置的節(jié)點(diǎn)通過(guò)某種測(cè)量方法來(lái)定位未知節(jié)點(diǎn)位置的方法。因此作為WSN熱門(mén)技術(shù)之一的節(jié)點(diǎn)定位算法有不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)是否需要測(cè)距分為基于測(cè)距的定位算法和無(wú)需測(cè)距的定位算法。典型的基于測(cè)距的定位算法包括TOA（Time of Advent）定位算法[2]、TDOA（Time Difference Of Arrival）定位算法[3]、 RSSI（Received Signal Strength Indication）定位算法[4]、AOA（Angle of Arrival）定位算法[5]等，而典型的無(wú)需測(cè)距的定位算法包括質(zhì)心算法[6]、DV?Hop 算法[7]、Amorphous 算法[8?9]、APIT 算法[10]等。根據(jù)WSN中傳感器節(jié)點(diǎn)是否能夠移動(dòng)，節(jié)點(diǎn)的定位算法分為靜態(tài)定位（Static Localization）和動(dòng)態(tài)定位（Dynamic Localization）兩種類(lèi)別。目前對(duì)于傳統(tǒng)靜態(tài)WSN的定位技術(shù)方面已有不少典型的算法，如質(zhì)心定位算法[11]、凸規(guī)劃定位算法[12]、SPA相對(duì)定位算法[13]等都是靜態(tài)定位算法。但是由于實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)的節(jié)點(diǎn)都是運(yùn)動(dòng)的，傳統(tǒng)的靜態(tài)節(jié)點(diǎn)定位不能捕捉到節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，會(huì)造成很大的定位誤差。因此，如何定位移動(dòng)節(jié)點(diǎn)成為WSN技術(shù)的一個(gè)熱點(diǎn)。

MCL（Monte Carlo Localization）[14]定位算法是最早提出定位移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的一種算法，也是最典型的一種移動(dòng)節(jié)點(diǎn)定位方法。但是這種算法對(duì)采樣數(shù)據(jù)要求太高，進(jìn)而提出MBC算法[15]。MBC算法對(duì)粒子采樣空間進(jìn)行了有效優(yōu)化，但是錨節(jié)點(diǎn)較少時(shí)，誤差仍然較大。

利用最小二乘擬合的蒙特卡羅移動(dòng)定位算法不僅通過(guò)MCB算法來(lái)獲取歷史節(jié)點(diǎn)，減少算法初始誤差；同時(shí)還能預(yù)測(cè)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，降低采樣次數(shù)，提高采樣率。

1 蒙特卡羅定位算法

1.1 蒙特卡羅定位算法

蒙特卡羅定位算法是用來(lái)表示感知與運(yùn)動(dòng)的概率模型的粒子濾波過(guò)程，能在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)定位中較精準(zhǔn)定位。定位階段包括預(yù)測(cè)和濾波。預(yù)測(cè)階段是根據(jù)節(jié)點(diǎn)的速度信息和在前一定位時(shí)刻的粒子集信息來(lái)確定采樣區(qū)域，并隨機(jī)釆樣得到粒子位置信息[16]。濾波階段通過(guò)錨節(jié)點(diǎn)信息對(duì)預(yù)測(cè)階段得到的粒子進(jìn)行篩選，舍棄不滿(mǎn)足條件的粒子，并且記錄能夠符合濾波條件的粒子，然后利用它們的均值來(lái)估計(jì)節(jié)點(diǎn)的位置。如果濾波后的粒子數(shù)不能滿(mǎn)足定位所需粒子的數(shù)目，就需要執(zhí)行重采樣與濾波過(guò)程，直到得到足夠的粒子數(shù)或者釆樣次數(shù)到達(dá)最大為止[17]。

1.2 蒙特卡羅定位算法內(nèi)容

MCL算法定位階段包括預(yù)測(cè)和濾波，節(jié)點(diǎn)移動(dòng)方式按照隨機(jī)行走模型（Random Walk Model，RWM）進(jìn)行，RWM模型是移動(dòng)WSN最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)模型之一。在RWM模型中，節(jié)點(diǎn)速度和位置都是未知的，僅有節(jié)點(diǎn)最大運(yùn)動(dòng)速率[vmax]已知，并且方向不確定。假設(shè)上一時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)粒子集為[lt-1]，則目前時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)可能位置存在于以[lt-1]為圓心，以[vmax]為半徑的圓內(nèi)。其中目前時(shí)刻的粒子集為[lt]。用[d（l1，l2）]表示兩個(gè)點(diǎn)[l1]，[l2]之間的歐幾里德距離，且節(jié)點(diǎn)速率在[[0，vmax]]之間滿(mǎn)足均勻分布，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)[p（ltlt-1）]為：

[p（ltlt-1）=1πv2max，d（ltlt-1）

預(yù)測(cè)階段得到的集合[R]中的粒子，是從以[lt-1]為圓心，以[vmax]為半徑的圓形區(qū)域中隨機(jī)選擇出來(lái)的。這時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果非常不精確，需要進(jìn)行濾波。

在濾波階段，可以依據(jù)新的觀測(cè)信息，濾除掉滿(mǎn)足網(wǎng)絡(luò)連通度條件的樣本。文獻(xiàn)[18]給出了粒子濾波條件：

[filter（l）=?s∈S，d（l，s）≤r∧?s∈T，r

式中：r是通信半徑；[s]為錨節(jié)點(diǎn)集合。假如得到的位置樣本符合濾波條件，那么狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布[p（ltlt-1）]函數(shù)的值為1，反之為0。

2 MCB定位算法

MCB算法是在 MCL算法基礎(chǔ)上提出的。相對(duì)于 MCL，MCB算法采用蒙特卡羅盒子采樣，有效改進(jìn)了樣本區(qū)域。錨盒子采樣區(qū)間為：

[xmin=max（xi-di）ymin=max（yi-di） xmax=max（xi+di）ymax=max（yi+di） ] （3）

為了提高采樣區(qū)域的利用率，歷史節(jié)點(diǎn)的獲取通過(guò)由DV?Hop輔助的MCB算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。作為一種非測(cè)距定位算法，DV?Hop算法主要根據(jù)網(wǎng)絡(luò)連通度進(jìn)行節(jié)點(diǎn)間的計(jì)算。為了提高蒙特卡羅定位算法精度，采用了DV?Hop測(cè)距方法。

2.1 DV?Hop定位算法測(cè)距

DV?Hop測(cè)距步驟如下：

首先已知位置的錨節(jié)點(diǎn)向四周發(fā)射信號(hào)，使得錨節(jié)點(diǎn)的位置可以被周?chē)?jié)點(diǎn)獲取。周?chē)?jié)點(diǎn)如果通過(guò)1跳能獲取錨節(jié)點(diǎn)信息，記跳數(shù)為1，并向周?chē)D(zhuǎn)發(fā)信息，如果節(jié)點(diǎn)通過(guò)多次轉(zhuǎn)發(fā)鄰節(jié)點(diǎn)信息后，跳數(shù)記最小值。

根據(jù)錨節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)的距離和跳數(shù)計(jì)算出跳距，然后根據(jù)未知節(jié)點(diǎn)和錨節(jié)點(diǎn)的距離及跳距計(jì)算出它們的距離[19]。跳距公式為：

[HopSizei=（xi-xj）2+（yi-yj）2hij] （4）

已知[n]個(gè)錨節(jié)點(diǎn)位置[xi=（xi，yi）（i=1，2，…，n）]，未知節(jié)點(diǎn)[x=（x，y）]與參考節(jié)點(diǎn)之間距離為[ri（i=1，2，…，n）]，得到：

[（x1-x）2+（y1-y）2（x2-x）2+（y2-y）2? （xn-x）2+（yn-y）2=r21r22?r2n] （5）

變換得到：

[Ax=b] （6）

則[A]與[b]分別為：

[A=2（xn-x1）2（yn-y1）2（xn-x2）2（yn-y2）??2（xn-xn-1）2（yn-yn-1）] （7）

[b=r21-r2n-x21-y21+x2n+y2nr22-r2n-x22-y22+x2n+y2n?r2n-1-r2n-x2n-1-y2n-1+x2n+y2n] （8）

對(duì)于計(jì)算[（x，y）]的位置，最小二乘算法能夠解決這類(lèi)問(wèn)題，使用式（9）進(jìn)行計(jì)算：

[x=（ATA）-1ATb] （9）

2.2 MCB定位算法

通過(guò)式（9）計(jì)算出[（x，y）]，并進(jìn)行[di]的計(jì)算：

[di=（xi-xj）2+（yi-yj）2] （10）

最后，通過(guò)傳統(tǒng)MCB采樣濾波得到節(jié)點(diǎn)估值位置。

3 最小二乘法擬合的蒙特卡羅定位算法

3.1 最小二乘擬合的基本原理

最小二乘法又被稱(chēng)作最小平方法（ Least Square Method），是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。最小二乘法能夠容易地得到未知數(shù)據(jù)的值，并能使數(shù)據(jù)實(shí)際值與計(jì)算值的差的平方和達(dá)到最小。此外最小二乘法用于曲線(xiàn)擬合可以使各種應(yīng)用更貼合實(shí)際[20]。

對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)[（xi，yi）]（i=0，1，2，…，m），要求在函數(shù)空間[Φ=spanφ0，φ1，φ2，…，φn]能夠找到一個(gè)函數(shù)[y=S*（x）]，使誤差平方和最?。?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2018/08/06/qkimagesmoetmoet201815moet20181503-11-l.jpg"/>

[σ22=i=0mσ2=i=0mS?（xi）-yi2=i=0mS（xi）-yi2] （11）

式中：

[S（x）=a0φ0（x）+a1φ1（x）+…+anφn（x）] （12）

3.2 運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的預(yù)測(cè)

假設(shè)節(jié)點(diǎn)平滑的、連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)節(jié)點(diǎn)歷史位置信息，利用最小二乘擬合的方法預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。LSFMCL（Least Squares Fitting Monte Carlo）定位算法中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都保留著原來(lái)前三個(gè)時(shí)刻位置信息，通過(guò)已有歷史位置信息預(yù)測(cè)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。當(dāng)新的位置信息產(chǎn)生后，將前三個(gè)時(shí)刻最早的位置信息替換掉，以此來(lái)不斷更新節(jié)點(diǎn)最新的三個(gè)歷史位置。假設(shè)節(jié)點(diǎn)前三個(gè)時(shí)刻[t1，t2，t3]（其中[t1

[xt=f（t）yt=g（t）] （13）

假設(shè)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在，即節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是平滑的并且連續(xù)的，對(duì)式（13）求偏導(dǎo)數(shù)，得到節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻x軸[y]軸方向的預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)速度：

[vx=df（t）dtt=tn-1vy=dg（t）dtt=tn-1] （14）

由式（14）得到節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度及方向：

[v=v2x+v2yα=arctanvyvx] （15）

根據(jù)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，在選擇預(yù)測(cè)的節(jié)點(diǎn)位置時(shí)首先以式（15）得到的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度[v]為半徑，以前一時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位置為圓心，以前一時(shí)刻的速度方向順時(shí)針和逆時(shí)針各展開(kāi)[α+β]，滿(mǎn)足[α+β<π]，得到一個(gè)扇形。然后，隨機(jī)抽取位于扇形[N]個(gè)點(diǎn)作為預(yù)測(cè)點(diǎn)，其中越靠近預(yù)測(cè)的速度矢量，預(yù)測(cè)精度越高，稱(chēng)為較優(yōu)預(yù)測(cè)點(diǎn)。

3.3 節(jié)點(diǎn)位置計(jì)算

由圖1可知，在[α]角度附近的預(yù)測(cè)點(diǎn)的權(quán)值要比其他地方的預(yù)測(cè)點(diǎn)的權(quán)值高。預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)的扇形橫向權(quán)值[wi1]的計(jì)算如下：

[wi1=1-βα+β] （16）

如果經(jīng)過(guò)濾波后能夠得到符合要求的預(yù)測(cè)點(diǎn)小于[N]，且扇形的夾角不宜再變大，則此時(shí)向扇形速度方向擴(kuò)展，稱(chēng)為扇形縱向權(quán)值。假設(shè)拓展寬度為[γ]，如圖2所示，同時(shí)由于[α]較小，所以速度方向拓展部分可以看作是矩形，面積為[S]：

[S=γ2απv180°] （17）

預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)的縱向權(quán)值[wi2]的計(jì)算如下：

[wi2=1-v2γ+v] （18）

當(dāng)?shù)玫剿械臋?quán)值以后，對(duì)權(quán)值進(jìn)行歸一化處理，使得所有權(quán)值相加其和為1。

[wi=wjj=1Nwj， i=1，2，…，N ] （19）

計(jì)算未知節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置為：

[xt=i=1Nwixiyt=i=1nwiyi ] （20）

4 仿真及結(jié)果分析

無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)連通度可以體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的好壞，是評(píng)估網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的重要指標(biāo)[21]。假設(shè)未知節(jié)點(diǎn)估計(jì)位置為（[xi]，[yi]），（[Xi]，[Yi]）表示待測(cè)節(jié)點(diǎn)實(shí)際位置，未知節(jié)點(diǎn)總數(shù)為[un]，定位誤差用[errori]表示。

誤差[errori]計(jì)算公式為：

[errori=（Xi-xi）2+（Yi-yi）2] （21）

平均定位誤差[e]計(jì)算公式為：

[e=errorun] （22）

假設(shè)節(jié)點(diǎn)分布在200 m×200 m的區(qū)域內(nèi)，在此區(qū)域中均勻分布錨節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)移動(dòng)方式按照RWM模型進(jìn)行，所有節(jié)點(diǎn)的通信半徑為[r=25] m，移動(dòng)節(jié)點(diǎn)最大速度[vmax≤2 m/s]，運(yùn)動(dòng)方向未知，采樣的節(jié)點(diǎn)數(shù)為[N=200]。考慮到通信半徑對(duì)定位誤差的影響，分別取通信半徑為[r=25] m和[r=20] m，在不同的通信半徑下，所有待測(cè)節(jié)點(diǎn)的誤差圖如圖3所示。節(jié)點(diǎn)移動(dòng)速度影響定位誤差，一般移動(dòng)速度越大，定位誤差越大。

如圖3所示，當(dāng)速度不同時(shí)，LSFMCL定位算法與MCB算法和傳統(tǒng)算法定位誤差的比較，LSFMCL定位算法明顯優(yōu)于其他算法，此外當(dāng)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度小于一定值時(shí)誤差隨速度增大有減小趨勢(shì)但變化不大，當(dāng)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)速度超過(guò)一定值時(shí)，定位誤差逐漸增大。同時(shí)，對(duì)比不同的通信半徑的影響，r=20 m的誤差顯然小于r=25 m時(shí)的平均定位誤差。

圖4表現(xiàn)了隨著網(wǎng)絡(luò)連通度的提高，無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)定位誤差減小。仿真結(jié)果表明，在同樣的網(wǎng)絡(luò)連通度下，LSFMCL定位算法優(yōu)于MCB算法，傳統(tǒng)的MCL算法最差。網(wǎng)絡(luò)連通度超過(guò)一定值時(shí)，定位誤差趨于穩(wěn)定。

錨節(jié)點(diǎn)與定位誤差的關(guān)系如圖5所示，錨節(jié)點(diǎn)越多，定位誤差越小，定位精度越高，并且當(dāng)錨節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到一定的值后，定位誤差趨于穩(wěn)定。

如圖6所示，錨節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)樣本采樣次數(shù)的影響很小，因?yàn)長(zhǎng)SFMCL定位算法對(duì)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了有效預(yù)測(cè)，有效地捕捉到節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方式，使得采樣次數(shù)大幅度減少，提高了運(yùn)行效率，節(jié)省了運(yùn)行時(shí)間。

5 結(jié) 語(yǔ)

改進(jìn)后的算法從傳統(tǒng)定位算法誤差產(chǎn)生的原因出發(fā)，利用最小二乘擬合的算法預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，確定采樣區(qū)間，在一定范圍內(nèi)提高了預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)的有效率；并提出權(quán)值概念，根據(jù)預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)距離運(yùn)動(dòng)方向[α]的遠(yuǎn)近確定權(quán)值，進(jìn)而計(jì)算出未知節(jié)點(diǎn)的位置。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出，傳統(tǒng)的MCL算法誤差太大，MCB定位誤差相比傳統(tǒng)MCL，定位精度和采樣率雖然有很大提高，但是采樣次數(shù)仍然很高，利用最小二乘擬合的算法預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的LSFMCL定位算法定位精度最高，魯棒性最好，可以被廣泛應(yīng)用。

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