姜蘇英

(寶雞文理學(xué)院電子電氣工程學(xué)院,陜西 寶雞 721013)

0 引 言

實(shí)際系統(tǒng)中很多是分?jǐn)?shù)階的[1]，如加熱系統(tǒng)、粘彈性系統(tǒng)等，對(duì)于這些分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，如果采用傳統(tǒng)的PID控制算法控制效果不是很理想，必須使用分?jǐn)?shù)階控制器對(duì)這類系統(tǒng)進(jìn)行控制，才能滿足需要。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器由著名學(xué)者I.Podlubny教授提出，由于該控制器引入了微積分階次λ和μ，因此多了2個(gè)可調(diào)參數(shù)，控制器的設(shè)計(jì)變得更加靈活，控制效果有所提高，但是控制器參數(shù)整定的難度也有所增加。近年來，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器應(yīng)用越來越廣泛，因此PIλDμ控制器參數(shù)的整定與優(yōu)化也成了控制界重點(diǎn)關(guān)注的課題。

很多學(xué)者在分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)的整定方面做了大量研究，并取得了一定的研究成果，如文獻(xiàn)[2]提出了一種基于給定相位裕量和幅值裕量整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)的方法，該方法有效地實(shí)現(xiàn)了控制器參數(shù)的整定，但是該算法有點(diǎn)復(fù)雜；文獻(xiàn)[3-5]基于伯德理想傳遞函數(shù)討論了分?jǐn)?shù)階PIλDμ的設(shè)計(jì)。上述方法均可以實(shí)現(xiàn)對(duì)控制器參數(shù)的整定，但是算法的實(shí)現(xiàn)都比較復(fù)雜。

還有很多學(xué)者使用優(yōu)化算法，如遺傳算法(GA)、PSO算法等整定PIλDμ控制器參數(shù)。文獻(xiàn)[6]提出一種使用GA算法對(duì)PIλDμ的參數(shù)進(jìn)行整定，但是該算法本身具有一定的局限性，如GA算法需要復(fù)制、交叉、變異操作，迭代過程復(fù)雜，因此整定的參數(shù)有時(shí)無法達(dá)到最優(yōu)；文獻(xiàn)[7]提出采用PSO算法解決PIλDμ參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。PSO算法由美國學(xué)者J.Kennedy和R.C.Eberhart于1995年提出，該算法的基本思想是：隨機(jī)初始化一群沒有體積沒有質(zhì)量的粒子，將每個(gè)粒子看作優(yōu)化問題的一個(gè)可行解，粒子的好壞由一個(gè)事先設(shè)定好的適應(yīng)度函數(shù)來決定。每個(gè)粒子將在可行解空間中運(yùn)動(dòng)，并由一個(gè)速度變量決定其方向和距離。通常粒子將追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子，并經(jīng)逐代搜索最后得到最優(yōu)解。在該算法的每一次迭代過程中，粒子都將追蹤2個(gè)極值，即粒子本身能找到的最優(yōu)解和整個(gè)群體能找到的最優(yōu)解。在這種情況下，種群中粒子的多樣性會(huì)逐漸減小，種群會(huì)很快在自身和全局近優(yōu)點(diǎn)附近陷入局部最優(yōu)，也就是說該算法容易陷入局部最優(yōu)解。因此，使用傳統(tǒng)PSO算法整定PIλDμ控制器的參數(shù)不一定是最優(yōu)參數(shù)。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)粒子群算法的分?jǐn)?shù)階PIλDμ參數(shù)優(yōu)化方法。該方法主要思想是：將細(xì)菌趨化現(xiàn)象中的吸引與排斥轉(zhuǎn)換操作引入帶收縮因子的粒子群優(yōu)化算法中，得到一種改進(jìn)PSOPB算法，并使用該算法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)，使系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)。最后，以某加熱系統(tǒng)為對(duì)象，進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果表明使用該算法整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ參數(shù)更簡潔，且系統(tǒng)的魯棒性更好。

1 基于改進(jìn)PSOPB算法的PIλDμ控制器設(shè)計(jì)

1.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為：

(1)

式(1)中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分增益；λ、μ分別為積分階次和微分階次。

本文的分?jǐn)?shù)階微積分算子均采用Oustaloup濾波器逼近。在[wb,wh]頻段內(nèi)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分算子sα的近似，則逼近表達(dá)式為[8-11]：

(2)

其中，N為非負(fù)整數(shù)，且：

(3)

(4)

(5)

由式(1)可以看出，當(dāng)λ、μ為0和1的不同組合時(shí)，即為傳統(tǒng)的P、PI、PD、PID控制器。這些類型的PID控制器都是分?jǐn)?shù)階PIλDμ的某一個(gè)特殊情況。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器比傳統(tǒng)PID控制器多了λ、μ這2個(gè)參數(shù)。通過合理地選擇PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù)，可以提高系統(tǒng)的控制效果。為了使控制器的參數(shù)盡可能地趨于最優(yōu)，控制效果盡可能最好，本文提出一種使用基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)的方法。

1.2 基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)PSO算法

為了提高PSO算法的搜索能力，M.Clerc在SPSO算法中引入收縮因子，提出了帶收縮因子的粒子群優(yōu)化算法，在該算法中用收縮因子取代SPSO算法中的慣性權(quán)重。

設(shè)在N維搜索空間中，由m個(gè)粒子構(gòu)成一個(gè)種群。第i個(gè)粒子的當(dāng)前位置為Xi=(xi1,xi2,…,xiN)T，粒子的飛行速度為Vi=(vi1,vi2,…,viN)T，該粒子所經(jīng)歷的最優(yōu)位置為Pi=[pi1,pi2,…,piN]T，種群的全局最優(yōu)位置為Pg=[pg1,pg2,…,pgN]T，那么第i個(gè)粒子根據(jù)式(6)、式(7)更新自己的速度和位置[12-16]。

(6)

(7)

式(6)中K為收縮因子，由式(8)決定。

(8)

帶收縮因子的PSO算法能更有效地控制約束粒子的飛行速度，增強(qiáng)算法局部搜索能力。但是，在帶收縮因子的PSO算法中，每個(gè)粒子在飛行過程中都向自己的歷史最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置靠近，這樣，種群的多樣性會(huì)失去，種群極易陷入自身及局部最優(yōu)[17]，因此，該算法和SPSO算法一樣容易陷入局部最優(yōu)解。鑒于此，本文提出一種在確保PSO算法多樣性的同時(shí)不改變算法收斂速度及避免早熟收斂的方法。

本文從生物學(xué)角度研究帶收縮因子的PSO算法因多樣性丟失而陷入局部最優(yōu)的問題。趨化是細(xì)菌群體的一種常見的生物行為。趨化機(jī)制可以使細(xì)菌個(gè)體趨向有利于自身生長的環(huán)境，而逃避不利的生長環(huán)境。本文將細(xì)菌趨化現(xiàn)象中的吸引與排斥機(jī)制引入帶收縮因子的PSO算法中，提出基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)PSO算法。

在基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)PSO算法中，吸引操作定義為每個(gè)粒子向自身的最優(yōu)位置與群體最優(yōu)靠近，粒子速度按式(6)更新。

排斥操作規(guī)定為逃離粒子的歷史最差位置與群體最差位置，粒子的速度按式(9)更新：

vid=K(vid-R1c1(Wid-xid)-R2c2(Wgd-xid))

(9)

式(9)中，Wid表示粒子的歷史最差位置；Wgd表示群體最差位置。

因此，在基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)PSO算法中，粒子的行為既受到最優(yōu)位置的影響，也受到最差位置的影響。在該改進(jìn)PSO算法中，粒子被前面的最優(yōu)位置和自身的最優(yōu)位置吸引，同時(shí)也被自身歷史最差位置和群體最差位置所排斥。當(dāng)粒子受到當(dāng)前最差位置排斥時(shí)，粒子向較好區(qū)域飛行的可能性更大，更有可能找到更好的位置。在改進(jìn)PSO算法中，當(dāng)算法為吸引操作時(shí)，多樣性會(huì)逐漸失去，當(dāng)算法為排斥操作時(shí)，多樣性會(huì)逐漸增加。

為了確保吸引操作及排斥操作在任何情況下執(zhí)行，本文使用一種多樣性控制方法。多樣性的度量公式[18]如下：

(10)

對(duì)于種群的多樣性，可以設(shè)定一個(gè)范圍dlow和dhigh，當(dāng)種群的多樣性小于dlow時(shí)，基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)PSO算法就會(huì)轉(zhuǎn)入排斥操作機(jī)制，從而增加種群的多樣性；當(dāng)種群多樣性大于dhigh時(shí)，該算法轉(zhuǎn)入吸引操作機(jī)制，從而使種群的多樣性減少。通過這種策略使種群的多樣性在一個(gè)范圍內(nèi)，不至于太大，也不至于太小，從而保證粒子能在最短的時(shí)間內(nèi)找到最優(yōu)位置。

1.3 算法實(shí)現(xiàn)

本文選取時(shí)間與誤差平方乘積的積分(ISTE)函數(shù)作為優(yōu)化指標(biāo)。采用基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)PSO算法整定PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù)，具體步驟如下：

1)初始化各類參數(shù)。根據(jù)本文情況設(shè)置以下參數(shù)：種群規(guī)模S，學(xué)習(xí)因子c1、c2，粒子維度D，粒子速度范圍[vmin,vmax]，多樣性閾值范圍[dlow,dhigh]，最大迭代次數(shù)tmax，收斂精度ξ，隨機(jī)給定粒子的最初位置與速度。

2)設(shè)置當(dāng)前迭代次數(shù)t=0，當(dāng)前模式為吸引操作,對(duì)每個(gè)粒子i執(zhí)行如下操作。

3)根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)即本文優(yōu)化指標(biāo)，計(jì)算粒子的適應(yīng)度函數(shù)值。

7)更新個(gè)體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置，個(gè)體最差位置和群體最差位置。

8)若當(dāng)前迭代次數(shù)達(dá)到了預(yù)先設(shè)定的最大次數(shù)tmax，或最終結(jié)果小于預(yù)先設(shè)定的收斂精度ξ要求，則停止迭代，輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟3。

2 仿真研究與分析

2.1 對(duì)象模型

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，本文選取某加熱系統(tǒng)為研究對(duì)象進(jìn)行仿真研究。該加熱系統(tǒng)主要由2個(gè)部分組成，即鋼制管道和熱電模塊，其中管道中的物料是均勻放置的，本文只考慮一種物料的情況。

管道上縱向位置Z處的溫度與加熱源處熱通量的動(dòng)態(tài)關(guān)系如式(11)所示[19]：

(11)

其中，T(s,z)為系統(tǒng)輸出，H(s,0)為系統(tǒng)輸入。k=0.8209，a=33.0597，z=0.2623，α=0.7779。

通過階躍響應(yīng)辨識(shí)法，對(duì)式(11)進(jìn)行降階[19]：

(12)

其中，模型參數(shù)K=0.589，T=44.085，L=19.237，β=0.797。

2.2 參數(shù)設(shè)置

以上述加熱系統(tǒng)為對(duì)象，使用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對(duì)其控制，控制器的參數(shù)通過文中改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法整定。

采用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化PIλDμ控制器的參數(shù)，仿真過程參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為100；最大迭代次數(shù)為100；收斂精度為0.001；慣性權(quán)重wstart=0.9，wend=0.4；學(xué)習(xí)因子c1、c2的最大值和最小值一致，分別為cmax=2.5，cmin=0.5；搜索空間Kp∈[0.001,5]，Ki∈[0.001,5]，kd∈[0.001,5]，λ∈[0.05,2]，μ∈[0.001,2]；多樣性閾值范圍dlow=0.25，dhigh=0.35。

2.3 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，分別使用GA、SPSO算法、本文改進(jìn)算法來優(yōu)化PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù)。為了確保對(duì)比的公平性，仿真過程中，各種算法的搜索空間保持一致。同時(shí)，為了消除算法隨機(jī)性的影響，每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行20次，取20次優(yōu)化結(jié)果的平均值作為控制器的最終參數(shù)。分別使用這3種算法得到的控制器，對(duì)本文加熱系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)的時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分指標(biāo)及各算法運(yùn)行20次所得平均最優(yōu)適應(yīng)值如表1所示，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖1所示。

表1 各算法的結(jié)果

算法平均適應(yīng)值ITAEGA46952.041892SPSO35614.082651本文算法28480.591531

由表1可知，使用本文算法整定控制器參數(shù)，最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)值的平均值最?。皇褂帽疚乃惴ǖ玫降目刂破鲗?duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)的ITAE指標(biāo)最小，因此，使用本文算法整定控制器參數(shù)，系統(tǒng)誤差更小。

圖1 3種算法相應(yīng)速度對(duì)比

由圖1明顯可見，當(dāng)使用SPSO算法、遺傳算法優(yōu)化控制器參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線有較大的超調(diào)，使用本文算法優(yōu)化控制器參數(shù)，系統(tǒng)超調(diào)極小?？芍?dāng)使用本文算法得到的控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，系統(tǒng)能更快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)響應(yīng)度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短。

圖2 對(duì)象參數(shù)增大時(shí)響應(yīng)曲線對(duì)比

圖3 對(duì)象參數(shù)減小時(shí)響應(yīng)曲線對(duì)比

當(dāng)被控對(duì)象增益、時(shí)間常數(shù)及時(shí)滯均增大或減小20%時(shí)，控制器參數(shù)不變，系統(tǒng)響應(yīng)曲線分別如圖2、圖3所示。由圖2可知，當(dāng)被控對(duì)象參數(shù)增大時(shí)，使用SPSO、GA算法，系統(tǒng)超調(diào)較大，而使用本文算法系統(tǒng)超調(diào)量很小。由圖3可知，當(dāng)被控對(duì)象參數(shù)減小時(shí)，使用SPSO、GA算法，系統(tǒng)有超調(diào)，但使用本文算法系統(tǒng)沒有超調(diào)量。綜上所述，當(dāng)被控對(duì)象的參數(shù)攝動(dòng)時(shí)，使用本文算法得到的控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)響應(yīng)曲線波動(dòng)小，比較穩(wěn)定，本文算法控制效果更好，因此本文算法的魯棒性更好。

3 結(jié)束語

由于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器有5個(gè)參數(shù)，且各個(gè)參數(shù)之間有一定的耦合性，因此整定時(shí)比較復(fù)雜。如果使用試湊法，有時(shí)控制器參數(shù)無法達(dá)到最優(yōu)，并且比較費(fèi)時(shí)間；如果使用SPSO算法，由于粒子容易陷入局部最優(yōu)解，所以優(yōu)化得到的控制器參數(shù)可能不是最優(yōu)解。由于存在上述問題，因此本文使用一種基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)粒子群算法對(duì)PIλDμ控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化整定，使控制器參數(shù)的調(diào)整變得簡單。然后，以加熱系統(tǒng)為對(duì)象，使用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對(duì)其控制，分別使用SPSO算法、GA、本文方法優(yōu)化控制器參數(shù)，并進(jìn)行仿真研究。仿真結(jié)果表明，與SPSO算法和遺傳算法相比，使用基于細(xì)菌趨化的改進(jìn)粒子群算法得到的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，可使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能更好，同時(shí)還保證了系統(tǒng)的魯棒性。