徐金鴻，孫迅文

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 研究生院，重慶 400074)

測(cè)量過程中存在粗差，若采用最小二乘估計(jì)極有可能使得估計(jì)值偏離真值，而在變形監(jiān)測(cè)過程中，控制網(wǎng)的精度要求較高，因此，在控制網(wǎng)的平差過程中采用穩(wěn)健估計(jì)可將粗差剔除，從而使得控制網(wǎng)的可靠性提高，更能滿足變形監(jiān)測(cè)的需求。豐都河北大橋唯一進(jìn)城通道，車流量大，在回填過程中回填拆除會(huì)對(duì)橋體造成影響，易使橋體垮塌，需對(duì)該橋進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)?？紤]到監(jiān)測(cè)過程中的靈敏性，對(duì)控制網(wǎng)的要求較高，采用穩(wěn)健估計(jì)對(duì)控制網(wǎng)及布設(shè)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行平差。

1 穩(wěn)健估計(jì)

1.1 概 述

穩(wěn)健估計(jì)是在粗差不可避免的情況下，選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法，使參數(shù)的估值盡可能的避免粗差的影響，得到正常模式下的最佳估值[1]。從數(shù)理統(tǒng)計(jì)角度來說，當(dāng)要計(jì)算某個(gè)或某些統(tǒng)計(jì)量T的值時(shí)，其值是由樣本X1，X2,…，Xn所決定的。

由于在獲得觀測(cè)樣本X1，X2，…，Xn過程中，可能由于儀器故障或者觀測(cè)疏忽及記錄錯(cuò)誤等使得X1，X2，…，Xn中的一個(gè)或幾個(gè)包含了較大的誤差，稱為過失誤差或粗差。一兩個(gè)數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤可能導(dǎo)致整個(gè)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果完全改觀。因此，可把具有這種性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量T或者統(tǒng)計(jì)方法稱為穩(wěn)健性。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法：樣本均值、樣本方差、最小二乘估計(jì)等往往是不具穩(wěn)健性的，因而在實(shí)際應(yīng)用中也是具有潛在不安全因素的。

穩(wěn)健估計(jì)基本可分為3大類，即M估計(jì)，也稱為極大似然估計(jì)；L估計(jì)，也稱為排序線性組合估計(jì)；R估計(jì)，也稱為秩估計(jì)。但在測(cè)量平差中主要采用的估計(jì)準(zhǔn)則為M估計(jì)。

設(shè)p(x)為一個(gè)定義在(-∞，+∞)上函數(shù)，使(-∞，b]非增，在[b，+∞]非降。若統(tǒng)計(jì)量Tn=Tn(X1，X2，…，Xn)滿足條件[2]

.

(1)

則稱Tn為位置的一個(gè)M估計(jì)。滿足上式的Tn可能不唯一，但當(dāng)p在(-∞，+∞)上處處連續(xù)，則Tn必存在。當(dāng)p′=φ存在時(shí)，改寫為

φ(Xi-Tn)=0.

(2)

只有當(dāng)p為凸函數(shù)且p在(-∞，+∞)上處處存在時(shí)，式(1)和式(2)等價(jià)。

在以M估計(jì)為準(zhǔn)則下計(jì)算簡單，公式簡明，且易于編程實(shí)現(xiàn)的選權(quán)迭代法在測(cè)量平差中廣為應(yīng)用。故在豐都河北大橋變形監(jiān)測(cè)控制網(wǎng)平差中采用的是選權(quán)迭代法。

1.2 選權(quán)迭代法

(3)

按穩(wěn)健最小二乘估計(jì)原理，參數(shù)的解向量為

(4)

(5)

(6)

其中，取k0=1.5,k1=2.5。

由于vi是參數(shù)X的函數(shù)，只能在X計(jì)算后才能獲得，故抗差估計(jì)只能以迭代形式完成。設(shè)X0為參數(shù)估值迭代解的初始值，則有

(7)

ε.

(8)

時(shí)，停止迭代即得到參數(shù)的估值。其中ε為設(shè)定的收斂條件。

且參數(shù)的權(quán)逆陣為

(9)

單位權(quán)中誤差為

(10)

式中：n0為權(quán)重為零的觀測(cè)值個(gè)數(shù)。

2 算例及分析

2.1 基準(zhǔn)網(wǎng)概況

該基準(zhǔn)網(wǎng)為包含3個(gè)控制點(diǎn)的單三角網(wǎng)，點(diǎn)位均遠(yuǎn)離變形監(jiān)測(cè)區(qū)域，如圖1所示。

圖1 基準(zhǔn)網(wǎng)形

反映橋軸線方向的位移變化，以橋軸線為X方向建立測(cè)量坐標(biāo)系，C點(diǎn)為已知點(diǎn)其坐標(biāo)為(1 000,1 000)，且AC邊方位角為(124°22′46.13″),并以此為基準(zhǔn)建立該橋平面獨(dú)立監(jiān)測(cè)坐標(biāo)系。

采用徠卡TS30對(duì)基準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行測(cè)邊測(cè)角，儀器測(cè)角精度為0.5″，測(cè)距精度為1 mm+1 ppm，共計(jì)9個(gè)測(cè)回。其中，每測(cè)回均進(jìn)行限差檢核，半測(cè)回歸零差及測(cè)回互差均為6″。整理后的每測(cè)回觀測(cè)數(shù)據(jù)如表1和表2所示?；鶞?zhǔn)網(wǎng)采用間接平差方式對(duì)每個(gè)觀測(cè)值列立誤差方程式進(jìn)行整體平差，以下為詳細(xì)平差結(jié)果及分析。

分析穩(wěn)健估計(jì)在平差處理過程中的實(shí)現(xiàn)機(jī)制，并驗(yàn)證其在工程實(shí)踐應(yīng)用中是否有效，分別按最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)兩種平差方法進(jìn)行平差，表3為平差結(jié)果，其中μ為單位權(quán)中誤差，x，y分別表示平差后橫、縱坐標(biāo)，而dx為坐標(biāo)平差值中誤差。

從表3中可明顯看出兩種平差方法所得單位權(quán)中誤差、平差坐標(biāo)及平差值中誤差的結(jié)果完全一致。分析產(chǎn)生該結(jié)果的主要原因?yàn)橛^測(cè)值數(shù)據(jù)質(zhì)量較好，并不存在觀測(cè)粗差。從數(shù)學(xué)原理來說，在無粗差情況下，兩種方法本無本質(zhì)區(qū)別，因?yàn)閮烧呔窃谧钚《藴?zhǔn)則下進(jìn)行的平差，故可斷言在無粗差情況下，兩種方法將獲得一致性平差結(jié)果。

表1 方向觀測(cè)值

表2 邊長觀刪值 m

表3 平差結(jié)果 m

2.2 監(jiān)測(cè)網(wǎng)概況

監(jiān)測(cè)橋位移變化，在拱圈布設(shè)了8個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，并與基準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)共同構(gòu)成參考網(wǎng)。采用方向觀測(cè)法進(jìn)行角度、距離測(cè)量，共計(jì)6個(gè)測(cè)回，每測(cè)回均進(jìn)行限差檢核，半測(cè)回歸零差及測(cè)回互差均為6″，如表4所示為部分整理后的每測(cè)回觀測(cè)數(shù)據(jù)。

通過每測(cè)回觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)參考網(wǎng)進(jìn)行坐標(biāo)平差得到每期監(jiān)測(cè)點(diǎn)位的坐標(biāo)平差值，即可用于該橋的變形分析。

2.2.1 監(jiān)測(cè)網(wǎng)平差結(jié)果

同樣，對(duì)每個(gè)觀測(cè)值列立誤差方程式，仍按穩(wěn)健估計(jì)和最小二乘估計(jì)對(duì)監(jiān)測(cè)網(wǎng)進(jìn)行整體坐標(biāo)平差處理，平差結(jié)果如表5所示。

從表5可清晰看出，最小二乘估計(jì)下的單位權(quán)中誤差遠(yuǎn)大于穩(wěn)健估計(jì)下的單位權(quán)中誤差，且其值遠(yuǎn)超出合理范圍，再從平差值中誤差來看，也表現(xiàn)出了異常性，因此可判斷某些觀測(cè)值存在粗差。最小二乘估計(jì)不具穩(wěn)健性，在有粗差的情況下，所得單位權(quán)中誤差過大，坐標(biāo)平差值中誤差反常，均呈異常狀態(tài)，因此在該種情況下所得平差結(jié)果是不可靠的，嚴(yán)重偏離了參數(shù)真實(shí)估值的。反之，在穩(wěn)健估計(jì)準(zhǔn)則下，盡管觀測(cè)值存在粗差，但通過對(duì)其進(jìn)行屏蔽或者部分信息使用，依然能夠獲得較為可靠的平差結(jié)果。證實(shí)了在粗差存在情況下，穩(wěn)健估計(jì)的確是一種優(yōu)于最小二乘估計(jì)的方法，因此將穩(wěn)健估計(jì)應(yīng)用到實(shí)際的工程平差處理中，是一種能提高平差結(jié)果可靠性的有效手段。接下來，為探究穩(wěn)健估計(jì)對(duì)觀測(cè)值的處理情況，現(xiàn)對(duì)觀測(cè)值殘差及等價(jià)權(quán)因子進(jìn)行分析。

表4 水平角及邊長觀測(cè)值(方向觀測(cè)法)測(cè)站A

覘點(diǎn)第一測(cè)回第二測(cè)回角度/(° ' ″)邊長/m角度/(° ' ″)邊長/mC0°00'00″238.824 40°00'00″238.824 9114°13'34.4″190.253 514°13'35.0″190.253 6218°40'40.8″185.533 418°40'41.2″185.534 4319°38'05.1″184.701 719°38'06.0″184.701 7430°29'19.6″179.063 230°29'20.1″179.063 9531°52'40.1″178.891 031°52'40.2″178.891 5632°09'03.5″178.901 832°09'04.3″178.902 5733°29'19.6″178.732 733°29'19.8″178.732 9833°46'04.5″178.828 033°46'05.2″178.828 5

表5 監(jiān)測(cè)點(diǎn)平差結(jié)果 m

2.2.2 觀測(cè)值殘差分析

如圖2所示，其中黑色曲線表示最小二乘平差后的觀測(cè)值殘差，紅色表示穩(wěn)健估計(jì)平差后的觀測(cè)值殘差，橫坐標(biāo)表示按順序?qū)τ^測(cè)值依次編號(hào)。從圖可清晰看出兩種方法下所得殘差基本一致，且在16、28號(hào)方向觀測(cè)值及10號(hào)邊長觀測(cè)觀測(cè)值均出現(xiàn)了較大殘差異常。這表明在這幾個(gè)觀測(cè)中出現(xiàn)了較大粗差，但因最小二乘估計(jì)不具有穩(wěn)健性，即不對(duì)殘差異常值進(jìn)行任何處理，這勢(shì)必將粗差引入到參數(shù)估值中，導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重偏離真值，而穩(wěn)健估計(jì)對(duì)粗差具有抵抗性，因此對(duì)具有粗差的觀測(cè)值進(jìn)行棄用或者部分信息的使用。

圖2 觀測(cè)值殘差

2.2.3 等價(jià)權(quán)因子分析

穩(wěn)健估計(jì)中，等價(jià)權(quán)因子的大小直接反應(yīng)了對(duì)觀測(cè)值的使用情況，即等于零的等價(jià)權(quán)因子所代表的觀測(cè)值存在粗差，該觀測(cè)值不參與平差，大于0小于1代表部分利用觀測(cè)值信息，等于1則表示無粗差。按穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行平差，如圖3所示為各觀測(cè)值等價(jià)權(quán)因子情況。

圖3 等價(jià)權(quán)因子

從圖3上可清晰反映出16、21、28、30號(hào)方向觀測(cè)值及10號(hào)邊長觀測(cè)值權(quán)重均為零(圖中紅色標(biāo)記)，即這幾個(gè)觀測(cè)值并不參與平差，而是通過調(diào)整權(quán)重方式被棄用，也即達(dá)到了抵抗粗差的目的。但也看到一些權(quán)因子的范圍在(0 ,1)之間，這說明了在粗差存在情況下，是有可能存在損失一些效率的風(fēng)險(xiǎn)的，盡管如此，抗差估計(jì)有效地規(guī)避了粗差的有害影響，獲得了較為可靠的參數(shù)估值。

3 結(jié) 論

1)從兩種方法的平差結(jié)果來看，若觀測(cè)數(shù)據(jù)不存在粗差，則最小二乘估計(jì)和穩(wěn)健估計(jì)在平差結(jié)果上將完全一致。

2)若觀測(cè)值含有粗差，按最小二乘平差法必將導(dǎo)致粗差被引入，使得平差結(jié)果不能反映真實(shí)值情況，相反，若按穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行平差，則可有效地抵御粗差影響，將粗差進(jìn)行限制，合理利用有效信息，屏蔽無效信息，得到較為可靠的、平差結(jié)果。

因此，從該工程實(shí)踐來看，將穩(wěn)健估計(jì)應(yīng)用到平差處理中，提高平差結(jié)果的可靠性，避免粗差影響準(zhǔn)確。為變形監(jiān)測(cè)提供了可靠的基準(zhǔn)及監(jiān)測(cè)成果。因此，穩(wěn)健估計(jì)是一種能夠有效抑制粗差，可提供可靠的平差結(jié)果的方法，無論粗差是否存在，

均可獲得最優(yōu)無偏估值。考慮到粗差的存在具有不可預(yù)知性，故在大量的觀測(cè)值中若采用最小二乘法進(jìn)行平差，將導(dǎo)致平差結(jié)果失真的可能性變大。