立足學(xué)生認(rèn)知,回歸教材起點(diǎn)*—從一道中考?jí)狠S題的溯源提數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的建議

貴州省貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550025) 鄧清 夏小剛

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,中考題對(duì)老師的復(fù)習(xí)有很好的導(dǎo)向作用,其中,中考?jí)狠S題更側(cè)重考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)深度綜合和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.但部分教師由于對(duì)中考題壓軸題的意圖理解不透,導(dǎo)致在復(fù)習(xí)時(shí)容易脫離學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),在知識(shí)的綜合復(fù)習(xí)部分簡(jiǎn)單安排為大量難題的機(jī)械訓(xùn)練,徒增學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是存在于學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合而成的心理結(jié)構(gòu).而學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)又是課程教材里的知識(shí)結(jié)構(gòu)和老師的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦里的反映[1].因此在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合復(fù)習(xí)時(shí),要立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),也就應(yīng)注意回歸教材,以教材為起點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考分析,使問(wèn)題的難點(diǎn)部分能在學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得到自然生長(zhǎng).下面筆者將結(jié)合貴陽(yáng)市2015年的一道數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的溯源、引導(dǎo)學(xué)生的分析為例,談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思考與建議,供同行參考.

1.試題呈現(xiàn)與解評(píng)

圖1

題目(2015年貴陽(yáng)中考卷第25題)如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊,使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處,折痕為PE,此時(shí)PD=3.

(1)求MP的值;

(2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F,且不與點(diǎn)A,B重合.當(dāng)AF等于多少時(shí),△MEF的周長(zhǎng)最小?

(3)若點(diǎn)G,Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且不點(diǎn)A,B重合,GQ=2.當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí),求最小周長(zhǎng)值.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))

解析(1)利用矩形的性質(zhì)和折疊的軸對(duì)稱原理可知:在折疊紙片后,PD=PH=3,AB=CD=MH=4,∠H=∠D=90°,由勾股定理可得MP=5;

圖2

(2)△MEF的周長(zhǎng)為C△MEF=ME+MF+EF,由于ME的長(zhǎng)為定值,因此只需求MF+EF的最小值即可.如圖2,作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′,連接M′E交AB于點(diǎn)F,點(diǎn)F即為所求,且AM′=AM=4,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD,垂足為N,由折疊可知:∠MEP=∠PEC,又根據(jù) ∠MPE= ∠PEC,即可得 ∠MEP=∠MPE,即得ME=MP=5,在 Rt△ENM中,MN=又有NM′=NM+MA+AM′=3+4+4=11,由得所以當(dāng)時(shí),△MEF的周長(zhǎng)最小;

圖3

(3)如圖3,在EN上截取ER=2,連接M′R交AB于點(diǎn)G,再過(guò)點(diǎn)E作EQ//RG,交AB于點(diǎn)Q,此時(shí)易得四邊形ERGQ為平行四邊形,即得GQ=ER=2,GR=QE,此時(shí)GM′+GR最小,且MG+QE=GM′+GR,則MG+EQ最小,四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小,M′R=因?yàn)镸E=5,GQ=2,所以,四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是

評(píng)析起點(diǎn)低,落點(diǎn)高,思維難度層層遞進(jìn)是近年來(lái)貴陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)壓軸題的命題趨勢(shì).本題以矩形折疊為背景,精巧地設(shè)置了動(dòng)點(diǎn)求最值的兩個(gè)遞進(jìn)問(wèn)題,綜合地考查了折疊和矩形的性質(zhì),勾股定理和相似三角形等相關(guān)知識(shí),利用軸對(duì)稱解決最短路徑的轉(zhuǎn)化思想.設(shè)置的三個(gè)小題,由易到難,層次分明.然而,筆者初探此題時(shí),認(rèn)為學(xué)生對(duì)第(3)問(wèn)的處理難免感到突兀.學(xué)生即便由第(2)問(wèn)想到利用軸對(duì)稱將線段MG轉(zhuǎn)換為M′G,依然很難求折線段M′—GQ—E的長(zhǎng)度.如何引導(dǎo)學(xué)生較輕易地解決此問(wèn)題呢?筆者將視線轉(zhuǎn)移到學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知的映像之一——教材,并找到了此題的命題背景.

2.考題溯源

在貴陽(yáng)市九年義務(wù)教育初中階段使用的教材——北師大版八年級(jí)(下冊(cè))中具有這道題的模型,即教材90頁(yè)第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》的總復(fù)習(xí)題第18題,題目原型如下:

教材原題如圖4,甲乙兩個(gè)單位分別位于一條封閉式街道的兩旁,現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過(guò)街天橋.

圖4

①天橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短?(注意:天橋必須與街道垂直).

②天橋建在何處才能使甲乙到天橋的距離相等?

這道題的思想方法與上述考題如出一轍,而且此題以生活情境為背景,更加形象直觀,更能引起學(xué)生的興趣.所以,筆者認(rèn)為,如果教師在復(fù)習(xí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此題進(jìn)行探究,并注重引發(fā)學(xué)生的操作與思考,從中提取數(shù)學(xué)本質(zhì),學(xué)生對(duì)這一中考題的解決會(huì)相對(duì)容易很多.因此,學(xué)生在第考題中(3)問(wèn)犯難的時(shí)候,筆者打算先讓學(xué)生回到教材中的這個(gè)題,并引導(dǎo)學(xué)生完成如下分析與思考:

圖5

問(wèn)題分析與解決教材中這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于從甲到乙的路徑必然是一條折線,也就是說(shuō)要走的路徑必然是三條線段長(zhǎng)度之和.恰好就是天橋在中間拐一個(gè)彎,無(wú)法使路線在同一直線上,使其與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知——“將軍飲馬”問(wèn)題發(fā)生沖突,處理好這個(gè)沖突時(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵.繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),橋的位置并不會(huì)影響我們解決這個(gè)問(wèn)題的思路,因此可以假設(shè)這樣的特殊情況:假設(shè)橋就在單位甲或乙的位置,圖5中以橋在單位甲位置為例.這樣就把橋轉(zhuǎn)化到路線的第一段,將變化的兩條道平移到一起,就可以轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬問(wèn)題”了.顯然,當(dāng)平移后的兩條道AB、BC在同一直線上時(shí),三條線段長(zhǎng)度之和最短.

數(shù)學(xué)抽象引導(dǎo)學(xué)生將教材中過(guò)天橋的問(wèn)題抽象出其數(shù)學(xué)本質(zhì),即求兩個(gè)定點(diǎn)到一條可沿某一方向平移的定長(zhǎng)線段兩端距離之和最小問(wèn)題,解決該問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想是借助平移與軸對(duì)稱,把定點(diǎn)與線段端點(diǎn)的兩條連線平移在一起,將所求折線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題.如圖6所示:經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后,即可將M′G+GQ+QE長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)化為M′G+GR+RE的最小值,顯然,當(dāng)M′、G、R三點(diǎn)共線時(shí),M′G+GR+RE的值最小.

圖6

圖7

回到考題引導(dǎo)學(xué)生掌握以上思想后,上述中考試題的第(3)問(wèn),學(xué)生只需借助軸對(duì)稱,如圖7,將線段MG轉(zhuǎn)化為線段M′G,就成功地將四邊形MGQE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段M′G+GR+RE的長(zhǎng),再借助勾股定理,問(wèn)題的解決便顯得順理成章、水到渠成了.

3.歸納與拓展

在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自己數(shù)學(xué)認(rèn)知解決上述問(wèn)題后,該模型由新知轉(zhuǎn)化成了學(xué)生的已有數(shù)學(xué)認(rèn)知,此時(shí)可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將它與之前的認(rèn)知建立聯(lián)系,進(jìn)行歸納與拓展,以形成結(jié)構(gòu)化、體系化的數(shù)學(xué)思想方法.

歸納 (1)動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)多于一個(gè),且分別在兩條直線上,求三角形最小周長(zhǎng).以圖8為例,將定點(diǎn)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,將△ABC周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為折線段A′B+BC+CA′的長(zhǎng),即可求得.

圖8

圖9

圖10

(2)在(1)的情形下,若要求BC垂直某一條直線,求折線段AB+BC最小值時(shí),以圖9為例,將定點(diǎn)A進(jìn)行一次軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化后,將AB+BC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為A′B+BC,根據(jù)“垂線段最短”,即可求得.

拓展若將該考題進(jìn)行延伸,可以得到多條定長(zhǎng)線段在多條直線上運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題,為了便于凸多邊形的研究,在此僅推廣為兩條動(dòng)線段的問(wèn)題,如圖10所示,將六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)問(wèn)題通過(guò)平移和軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為折線段的長(zhǎng),顯然,當(dāng)線段B′′D、DE、E′A三條線段共線時(shí),六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)最小.

4.總結(jié)及復(fù)習(xí)建議

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的加工廠,既為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供生長(zhǎng)點(diǎn)或固著點(diǎn),又為新知識(shí)的研究提供工具或方法[1].在向?qū)W生講解上述壓軸題時(shí),筆者站在學(xué)生的認(rèn)知角度去思考:在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,有四邊形最小周長(zhǎng)問(wèn)題的解決方法嗎?如果沒有,就將問(wèn)題往學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化,采用這種不斷反思,逐步回歸學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的思想,最終從教材中找到命題背景,以學(xué)生相對(duì)熟悉的情境,喚起學(xué)生的記憶,并引導(dǎo)學(xué)生逐步解決問(wèn)題,再?gòu)闹刑崛?shù)學(xué)思想方法——平移和軸對(duì)稱的轉(zhuǎn)化法,讓學(xué)生由直觀到數(shù)學(xué)抽象,感悟問(wèn)題數(shù)學(xué)本質(zhì),并進(jìn)一步歸納和拓展,加深該模式在學(xué)生頭腦中的印象.

中考試題通常都具有規(guī)范性、導(dǎo)向性、科學(xué)性等性質(zhì),每一道試題都凝聚著出題人的汗水和心血,特別是承擔(dān)體現(xiàn)區(qū)分度的綜合性試題,更是要經(jīng)過(guò)命題人的千錘百煉[2],值得廣大一線教師深入探測(cè)和研究.縱觀各地歷年數(shù)學(xué)中考?jí)狠S部分題目,大多取材都是源于課本,但又高于課本.為此,以教材為根基,借中考為導(dǎo)向,是中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思想主線.下面,筆者從學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知角度,談?wù)剬?duì)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一些建議,供同行參考.

(1)每節(jié)課的復(fù)習(xí)程序應(yīng)注意立足學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知,面向全體學(xué)生.在復(fù)習(xí)過(guò)程中,應(yīng)注意從思想方法的重要程度和難易程度分層呈現(xiàn),讓所有學(xué)生有所收獲.優(yōu)秀的學(xué)生能力上得到提升,中等學(xué)生方法上有所啟發(fā),后進(jìn)生在知識(shí)方面有所收獲.

(2)知識(shí)回顧應(yīng)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.復(fù)習(xí)時(shí)要切實(shí)用好課本,對(duì)課本內(nèi)容必須做到全面復(fù)習(xí),注重引導(dǎo)學(xué)生歸納、整理所學(xué)的知識(shí)點(diǎn),建立合理的知識(shí)結(jié)構(gòu),挖掘知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系,以便學(xué)生更好地感知教材、記憶教材.

(3)注意體會(huì)教材習(xí)題呈現(xiàn)的層次性.教材對(duì)較難思想方法的習(xí)題處理,總是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,按照層層遞進(jìn),逐步上升的方法呈現(xiàn)給學(xué)生.教師要注意發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)把教材中一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題往認(rèn)知起點(diǎn)回歸,讓學(xué)生體會(huì)思想方法的來(lái)源.

(4)習(xí)題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有典型性和階梯性[3].習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)體現(xiàn)教材的重要數(shù)學(xué)知識(shí)或重要數(shù)學(xué)思想方法,以教材中的典型例題和具有可生長(zhǎng)性的習(xí)題為源,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸或變式.變式時(shí)應(yīng)注意對(duì)題目的生長(zhǎng)要自然,由易到難,由淺入深,如剝春筍,層層遞進(jìn).

總之,中考數(shù)學(xué)試題立足于數(shù)學(xué)基礎(chǔ),符合課標(biāo)要求,試題設(shè)計(jì)的本質(zhì)都是教材中出現(xiàn)的基本內(nèi)容、基本原理、基本方法和基本問(wèn)題[4].中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)便應(yīng)立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知,從學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知出發(fā),以教材為基礎(chǔ),以課標(biāo)為導(dǎo)向,設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知的復(fù)習(xí)方案.在綜合性較強(qiáng)的習(xí)題講解時(shí)必須貼近學(xué)生的思維水平,把握學(xué)生認(rèn)知水平的最近發(fā)展區(qū),安排好背景導(dǎo)入——最好是教材背景導(dǎo)入,把大題化小,難題化易,讓每一位學(xué)生在在應(yīng)對(duì)中考的同時(shí),亦能得到各自較好的數(shù)學(xué)發(fā)展.