基于核心素養(yǎng)背景下的教材處理—以《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》為例

福建省廈門市集美中學(xué)(361021) 許雅紅

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》(簡(jiǎn)稱《意見》)頒布后,“核心素養(yǎng)”這一概念成為我國教育科學(xué)領(lǐng)域新課程改革推進(jìn)的最新要求.數(shù)學(xué)是高中階段一門非常重要的課程,如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)培養(yǎng)好學(xué)生的核心素養(yǎng),成為高中數(shù)學(xué)教育工作者的重要工作.本文從對(duì)教材的理解和處理上,以《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》的例題1為例進(jìn)行了探索.

1 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概述

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組給出了數(shù)學(xué)抽像、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的積累與掌握、運(yùn)用與內(nèi)化,在實(shí)際情境中經(jīng)歷從數(shù)學(xué)的角度思考問題,用數(shù)學(xué)思想分析問題,用數(shù)學(xué)方法解決問題,從而形成的能力、習(xí)慣和品質(zhì)等.

2 教材處理

本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)I必修本(A版)》的第三章第一節(jié)3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的例題1“求函數(shù)f(x)=lnx+2x?6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?

2.1 尊重教材,體會(huì)核心素養(yǎng)

教材給出解法:函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)→函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

繪圖→觀察得出結(jié)論→證明結(jié)論.

繪圖:學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上借用計(jì)算器或計(jì)算機(jī),通過列表—描點(diǎn)—畫出大致圖像.

表1

由表1和圖1可知,f(2)＜0,f(3)＞0,則f(2)·f(3)＜0,且函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),這說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),且僅有一個(gè)零點(diǎn).(借助幾何畫板演示畫出該圖像以更精準(zhǔn)的方式呈現(xiàn)出來.圖像在后期學(xué)完函數(shù)導(dǎo)數(shù)后能更好處理.)

圖1

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念,核心的原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性,既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶.而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈接點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程聯(lián)系在一起.本段是在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì),具備初步數(shù)形結(jié)合的能力基礎(chǔ)之上,以及已掌握了零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)存在性定理,以及利用函數(shù)圖像和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù),從而要求掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法,并為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)的學(xué)習(xí)墊底基礎(chǔ).教材解法上通過繪圖→觀察得出結(jié)論→證明結(jié)論.在學(xué)習(xí)內(nèi)容及其順序符合學(xué)生的思維發(fā)展水平和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),先易后難.從學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知準(zhǔn)備出發(fā),能打動(dòng)學(xué)生,也能引起學(xué)生的注意,促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí).零點(diǎn)問題能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng),已然也是高考的熱點(diǎn).下面例題節(jié)選于2016年新課標(biāo)1卷文科21題:

已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2,求當(dāng)a＞0時(shí),f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)?

解f′(x)=(x?1)ex+2a(x?1)=(x?1)(ex+2a).由a＞0,當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)＞0.所以在(?∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.又f(1)=?e,f(2)=a,取b滿足b＜0且則所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

該題是常見的含參函數(shù)求零點(diǎn)個(gè)數(shù),通過借助函數(shù)圖像,應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解,還對(duì)數(shù)據(jù)處理能力做出要求,在(?∞,1)上取出b使得f(b)＞0.對(duì)核心素養(yǎng)的要求以高考為載體體現(xiàn)出來,要求我們老師在備課處理教材時(shí)要緊扣高考培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

2.2 拓展教材,彰顯核心素養(yǎng)

教材的解法對(duì)圖像的處理是通過描點(diǎn)做出圖像,在精確性上有點(diǎn)欠缺,用幾何畫板學(xué)生在操作上不夠便利,導(dǎo)數(shù)方法處理圖像高一學(xué)生還沒學(xué)習(xí).對(duì)于該函數(shù)圖像不易畫出,尋求解決方案.發(fā)現(xiàn)把該函數(shù)拆成我們常見的函數(shù),畫出它們圖像就不難了.根據(jù)該想法做出以下探究.

已有的知識(shí):方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.

函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程f(x)=0實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)(即函數(shù)y=f(x)與y=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)).

從教材解法得到啟示:把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)= lnx+2x?6與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),即,求的交點(diǎn)個(gè)數(shù).求函數(shù)f(x)=lnx+2x?6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?求方程lnx+2x?6=0實(shí)根個(gè)數(shù).進(jìn)而把lnx+2x?6=0化為lnx=?2x+6,最終把問題轉(zhuǎn)化為求的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

繪圖→觀察得出結(jié)論→證明結(jié)論.

圖2

由圖像知函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=?2x+6有一個(gè)交點(diǎn),這說明函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn),并且可知道交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(嚴(yán)格證明:函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),且f(2)＜0,f(3)＞0,則f(2)·f(3)＜0,這說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),且僅有一個(gè)零點(diǎn).)

歸納小結(jié):函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程f(x)=0實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)?f(x)=φ(x)?ψ(x)=0實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)?φ(x)=ψ(x)實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)?的交點(diǎn)個(gè)數(shù).為常見幾類基本函數(shù))

在教材解法上進(jìn)行拓展,對(duì)基本思想方法傳承的基礎(chǔ)上,還注重培養(yǎng)學(xué)生的類比歸納能力.史寧中教授:“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”數(shù)學(xué)的眼光指抽像、一般的看問題,數(shù)學(xué)抽像是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)像的思維過程,從事物的具體背景中抽像出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu).與數(shù)學(xué)抽像關(guān)系很密切的是直觀想像,直觀想像是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽像的思維基礎(chǔ).直觀想像是指借助幾何直觀和空間想像感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.直觀想像能力是高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一.想像力是現(xiàn)代科學(xué)進(jìn)步發(fā)展的核心引導(dǎo)力,培養(yǎng)學(xué)生的想像力是高中數(shù)學(xué)的重要目標(biāo),教材解法還是拓展的解法核心都是求函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像關(guān)系,通過轉(zhuǎn)換學(xué)生的思維方式,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和思考問題的意識(shí),提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),使學(xué)生的思維水平得到提升;數(shù)學(xué)的思維指邏輯推理,邏輯推理主要涉及歸納類比、演繹推理、聯(lián)系和交流,由此幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,形成有條理的數(shù)學(xué)觀.在拓展解法過程中去提高學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行推理演算、抽像概括能力,培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度多個(gè)層次多維度的去思考、解決問題的能力.數(shù)學(xué)育人主要是通過運(yùn)算、推理的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維,使學(xué)生得到邏輯思維方法的訓(xùn)練,形成思維能力.同時(shí)培養(yǎng)批判性思維,形成實(shí)事求是、不講假話空話的意識(shí)和習(xí)慣.這就是理性思維、科學(xué)精神.推理之成為論理的體系者,限于數(shù)學(xué)一科,這是數(shù)學(xué)的教育價(jià)值所在.

結(jié)語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想,是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的,具有綜合性、整體性和持久性,教師要具有引領(lǐng)性,對(duì)教材、教法的研究的勢(shì)在必行,學(xué)生的主體地位不可動(dòng)搖,教師的主導(dǎo)作用也無人可替.如何培養(yǎng)學(xué)生的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力等更好融入每堂課值得我們思考.