XY模型幾何量子關(guān)聯(lián)臨界行為與路徑關(guān)系研究

張修興,郭 慶

(1.渭南師范學(xué)院物理系，陜西渭南714099；2.國網(wǎng)山西電力調(diào)度控制中心，山西太原030020)

多體系統(tǒng)的量子相變一直是人們研究的熱點(diǎn)問題[1]，有關(guān)糾纏度的臨界行為和系統(tǒng)相變點(diǎn)的關(guān)系引起人們的廣泛關(guān)注[2-5]。Osborne等通過研究XY模型中兩自旋間的糾纏，發(fā)現(xiàn)在臨界點(diǎn)附近量子糾纏出現(xiàn)尖峰[2]。Vidal等研究了由L個(gè)自旋組成的自旋團(tuán)簇（spin block）間的糾纏，結(jié)果表明L非常大的情況下，在相變點(diǎn)附近糾纏熵成對數(shù)發(fā)散[5]。

除了糾纏度，人們還利用其它形式的量子關(guān)聯(lián)來表征系統(tǒng)發(fā)生的量子相變，比如：量子失協(xié)[6-7]、保真度[8]、糾纏熵[9]等。其中，量子失協(xié)因?yàn)榭梢悦枋鱿到y(tǒng)所包含的所有非經(jīng)典關(guān)聯(lián)，所以它和量子相變的關(guān)系引起了人們的特別關(guān)注[10]。Werlang等人研究表明：即使在有限溫度下量子失協(xié)也可以用來探測系統(tǒng)的相變點(diǎn)[11]。雖然量子失協(xié)有很多超越其他量子關(guān)聯(lián)的優(yōu)點(diǎn)，但是它的求解比較復(fù)雜，而且很多系統(tǒng)中無法給出其解析表達(dá)式，這給研究帶來很多不便。后來，Dakic等引入幾何量子關(guān)聯(lián)（Geomet?ric Measure of Quantum Discord-GMQD）的概念[12]。GMQD不但可以描述系統(tǒng)中包含的所有量子關(guān)聯(lián)，而且可以求出其解析表達(dá)式。這為人們提供了一個(gè)研究量子關(guān)聯(lián)和量子相變關(guān)系的有效工具[13-17]。Shan等的研究結(jié)果證明GMQD可以刻畫系統(tǒng)中發(fā)生的拓?fù)湎嘧僛16]。Fan等研究了阻錯(cuò)海森堡鏈（Frustrated Heisenberg Chain）的GMQD，結(jié)果表明對于有限大小的量子系統(tǒng)，GMQD也可以有效的探測其相變點(diǎn)[17]。

目前，物理量在量子多臨界點(diǎn)附近的行為也是研究的熱點(diǎn)。Patra等研究了三相點(diǎn)附近幾何相位的標(biāo)度行為[18]，結(jié)果表明：幾何相位的標(biāo)度行為和趨于臨界點(diǎn)的路徑存在密切的關(guān)系。Dutta等在XY模型中，研究了保真度在量子多臨界點(diǎn)的行為[19]。據(jù)我們所知，GMQD在量子多臨界點(diǎn)附近的行為還沒有被研究。特別地，臨界點(diǎn)附近GMQD的行為和趨于該臨界點(diǎn)的路徑關(guān)系仍然是一個(gè)開放問題。受這些工作的啟發(fā)，我們研究以不同路徑趨于臨界點(diǎn)時(shí)，GMQD的臨界行為。結(jié)果表明，GMQD及其一階導(dǎo)數(shù)在多臨界點(diǎn)附近的行為和趨于該點(diǎn)的路徑參數(shù)α有關(guān)；它們在Ising臨界點(diǎn)附近的行為與趨于該臨界點(diǎn)的路徑參數(shù)無關(guān)。

1 模型和主方程

圖1為XY模型的基態(tài)相圖。其中,A、B為系統(tǒng)的三相點(diǎn)。通過A、B兩點(diǎn)的垂線為順磁相和鐵磁相的分界線。通過A、B兩點(diǎn)的實(shí)線為各向異性臨界線。

圖1 模型的基態(tài)相圖

XY模型的哈密頓量可以寫為:

沿如下路徑趨于系統(tǒng)的臨界點(diǎn)：其中，γ=0，h=1對應(yīng)于系統(tǒng)的三臨界點(diǎn)；γ=21α，h=-1為系統(tǒng)的Ising臨界點(diǎn)。

在具體研究幾何量子失協(xié)臨界行為之前，我們先把系統(tǒng)哈密頓量完全對角化。首先對(1)進(jìn)行Jor?dan-Wigner變換[1]可得：

對(3)中算符進(jìn)行傅里葉變換和波戈留波夫變換，系統(tǒng)的哈密頓量可以寫成完全對角化的形式：

2 最近鄰自旋間的量子關(guān)聯(lián)

最近鄰自旋間的約化密度矩陣為：

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，密度矩陣(6)的矩陣元可以用自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)表示：

自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)的解析表達(dá)式：

接下來，我們主要計(jì)算兩自旋間的關(guān)聯(lián)函數(shù)。在布洛赫表象下，密度矩陣(6)可以表示為：

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，幾何量子關(guān)聯(lián)利用下式計(jì)算

可得基態(tài)GMQD：

3 幾何量子關(guān)聯(lián)的臨界行為

我們主要研究以不同路徑趨近于臨界點(diǎn)時(shí)，GMQD的臨界行為。圖2給出的是以不同路徑α趨于臨界點(diǎn)時(shí)，GMQD在多臨界點(diǎn)附近的行為。系統(tǒng)的大小為N=1001。從圖中可以看出，路徑參數(shù)α不同，GMQD的行為也不同。當(dāng)α比較小時(shí)，GMQD在多臨界點(diǎn)隨各向異性參數(shù)的增大成振蕩行為，并且α越小，振蕩現(xiàn)象越明顯。隨著α增大，振蕩行為逐漸減弱；當(dāng)路徑參數(shù)超過臨界值α=2后，幾何量子失協(xié)隨γ單調(diào)增加。

圖2 GMQD在多臨界點(diǎn)附近的行為

圖3給出的是以不同方式趨于Ising臨界點(diǎn)時(shí)GMQD的行為。系統(tǒng)的大小為N=1001。從圖中可以看出對于任意的α，GMQD在隨各向異性參數(shù)γ變化的過程中出現(xiàn)兩個(gè)極大值，一個(gè)極小值。結(jié)合等式(1)和(2)可以看出：第二個(gè)峰準(zhǔn)確地對應(yīng)于h=-1的Ising臨界點(diǎn)；極小值對應(yīng)于(γ =1,h=0),即：XX模型。由此，我們推斷利用GMQD可以表征XY模型的Ising臨界點(diǎn)。

圖3 GMQD趨于Ising臨界點(diǎn)時(shí)GMQD的行為

為了更加清楚地理解GMQD的臨界行為，我們研究GMQD的一階導(dǎo)數(shù)dG/dγ隨各向異性參數(shù)γ的變化。圖4給出的是對于確定的路徑參數(shù)α＜2(α=0.5,1.5)，系統(tǒng)大小 N改變時(shí) (N=1001,2001,3001,4001），dG/dγ在多臨界點(diǎn)（γ=0,h=1）附近隨各向異性參數(shù)γ的變化。從圖中可以看出，dG/dγ隨著γ的增大表現(xiàn)出振蕩行為,并且隨著α的增大峰值呈現(xiàn)出一定的周期性（α=1.5）。對于確定的α（α=1.5），N越大相鄰峰之間的間隔越小，最高峰越靠近多臨界點(diǎn)。實(shí)際上GMQD一階導(dǎo)數(shù)的振蕩行為說明：GMQD不能完全準(zhǔn)確地表征系統(tǒng)的多臨界點(diǎn)，它所刻畫的是系統(tǒng)的準(zhǔn)臨界點(diǎn)[18]。

圖4 α＜2時(shí)dG/dγ在多臨界點(diǎn)附近的行為

圖5 α≥2時(shí)dG/dγ在多臨界點(diǎn)附近的行為

圖5給出的是對于確定的路徑參數(shù)α≥2（α=2,2.5），系統(tǒng)大小 N改變時(shí)（N=1001,2001,3001,4001），dG/dγ在多臨界點(diǎn)（γ=0,h=1）附近隨各向異性參數(shù)γ的變化。從圖中可以看出，隨著γ的增大dG/dγ先增大到一個(gè)最大值，然后隨著γ的增大而單調(diào)減小。N越大峰值越大，并且最高峰離量子多臨界點(diǎn)的距離也越近。

圖6 在Ising臨界點(diǎn)時(shí)GMQD的行為

圖6給出的是對于確定的路徑參數(shù)α（α=0.5,1.5,2,2.5），系統(tǒng)大小N改變時(shí)(N=1001,2001,3001,4001)，dG/dγ在Ising臨界點(diǎn)附近隨各向異性參數(shù)γ的變化。從圖中可以看出，不論α取什么值，dG/dγ在隨γ變化的過程中只出現(xiàn)一個(gè)最小值?？梢宰C明該最小值的位置是Ising臨界點(diǎn)。

4 結(jié)論

GMQD在三臨界點(diǎn)附近的行為和趨于該點(diǎn)的路徑參數(shù)α有關(guān)。當(dāng)α＜2時(shí)，GMQD及其一階導(dǎo)數(shù)在三臨界點(diǎn)附近呈現(xiàn)振蕩行為，而且振蕩的最高峰值隨著系統(tǒng)中自旋數(shù)目的增大而靠近多臨界點(diǎn)。這說明GMQD不能準(zhǔn)確表征系統(tǒng)的多臨界點(diǎn)，它所表征的是系統(tǒng)的準(zhǔn)臨界點(diǎn)；當(dāng)α≥2時(shí)，振蕩行為消失，GMQD的一階導(dǎo)數(shù)在多臨界點(diǎn)附近只出現(xiàn)一個(gè)極大值。在Ising臨界點(diǎn)，GMQD及其一階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)極值，且和路徑參數(shù)α無關(guān)，這說明GMQD可以準(zhǔn)確表征系統(tǒng)的Ising臨界點(diǎn)。研究結(jié)果對利用幾何量子關(guān)聯(lián)刻畫量子相變現(xiàn)象提供一定的理論參考。