林馨

摘要：對任意的簡單圖G，若其存在兩條邊，滿足，E（G），令，該變換稱為圖G上的開關變換。若圖G經(jīng)過有限次開關變換后，得到圖G，則稱G和G在開關變換下是連通的。本文將三正則二部網(wǎng)絡抽象為三正則二部平面圖，討論此類圖的結構，并用算法驗證此圖類在開關變換下是連通的。

關鍵詞：三正則；二部；開關變換

中圖分類號：O157.5 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）04-0227-01

1 引言

在圖論中，圖是由若干給定的頂點以及頂點之間的邊所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，用頂點代表事物，用連接兩點的邊表示相應兩個事物間具有的關系。

在組合網(wǎng)絡理論中，我們可將網(wǎng)絡拓撲結構可抽象為圖。其中，網(wǎng)絡中的節(jié)點對應著圖中的頂點，而網(wǎng)絡中的連線則對應著圖中的邊。

圖中，集合V的元素稱為圖G的頂點，而集合E的元素稱為圖G的邊。

若圖的各邊都沒有方向，稱為無向圖。

若圖若無重邊（即任意兩個頂點間至多只有一條邊），則稱為簡單圖。

若圖的每個頂點的度數(shù)（即其鄰接的邊數(shù)）皆為n，那么我們稱其為n-正則圖。

設G是無向圖，如果頂點集V可分割成兩個互不相交的子集，并且圖中的每條邊所關聯(lián)的兩個頂點分別屬于這兩個不同的頂點集，則稱G是一個二部圖。

本文將借助三正則二部圖，研究三正則二部網(wǎng)絡的結構。而文中所涉及的而以上未提及的圖論中常用符號和概念參見[1]。

2 主要結論

對任意的簡單圖G，若其存在兩條邊，滿足，E（G），令，那么該變換稱為圖G上的一次開關變換。

若圖G經(jīng)過有限次開關變換后，得到圖G，我們就稱G和G在開關變換下是連通的。顯然，開關變換具有可逆性，圖G通過有限次開關變換后，也能得到圖G。因此，在開關變換的意義下，兩個圖連通具有對稱性。

對任意2n階三正則二部網(wǎng)絡G，G的頂點按次序編號并分為兩部分以及。我們將圖G的頂點集記為V（G），邊集記為。

定義1.記Jn為2n階三正則二部圖集合。

定義2. 我們定義2n階三正則二部圖的標準圖滿足：

定理2.若，則對G施加有限次的開關變換后可得到標準圖，且每次變換得到的圖仍屬于圖類Jn。

證. 由算法1可知，若，我們將G的頂點編號為兩部分以及，之后逐個考察其是否含有標準圖中的各邊，若沒有，則進行適當?shù)拈_關變換，得到該邊，直到得到標準圖中的所有邊。則對G進行有限次開關變換之后可得到。又由于每次開關變換所產(chǎn)生的新邊仍然連接兩部的頂點，因此每次變換所得到的圖仍屬于圖類Jn。

3 結語

本文將三正則二部網(wǎng)絡抽象為三正則二部圖，驗證了任意一個三正則二部圖經(jīng)過有限次開關變換都可以轉化為我們所定義的同階標準圖。又根據(jù)開關變換具有可逆性，我們知道整個三正則二部圖類在此開關變換下是連通的。此結論探索了三正則二部網(wǎng)絡的結構特征，并為進一步研究其他各類網(wǎng)絡結構打下了基礎。

參考文獻

[1]J.A Bondy and U.S.R Murty，“graph theory with applications”， 1st Edition，The MacMillan Press，1976.