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(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

為了發(fā)現(xiàn)傳染病的傳染規(guī)律并有效地對(duì)傳染病進(jìn)行控制，許多學(xué)者致力于傳染病模型動(dòng)力學(xué)問題的研究?；驹偕鷶?shù)R0是傳染病模型中決定疾病是否消失的一個(gè)重要依據(jù)，R0>1意味著疾病持續(xù)，R0≤1表示疾病消失。在經(jīng)典傳染病模型中，從無病平衡點(diǎn)到地方病平衡點(diǎn)的分支是向前的。但當(dāng)后向分支發(fā)生時(shí)，即使R0<1，模型仍存在多個(gè)地方病平衡點(diǎn)，因此根據(jù)R0是否小于1不能判斷疾病是否滅絕。

1927年，Kermack等[1]研究了著名的SIRS傳染病模型，該模型包括易感者(Susceptible polulation,S)、感染者(Infected population,I)以及恢復(fù)者(Recovered population,R)。由于發(fā)生率函數(shù)和治療函數(shù)反映的分別是傳染病的傳染規(guī)律和治療規(guī)律，因此發(fā)生率函數(shù)和治療函數(shù)是影響傳染病模型動(dòng)力學(xué)行為的兩大重要因素。例如雙線性發(fā)生率函數(shù)[2-3]，當(dāng)治療率較小時(shí)，后向分支發(fā)生且存在穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)。隨著研究的深入，研究者們發(fā)現(xiàn)，這種發(fā)生率函數(shù)不能精確表達(dá)疾病的傳播特點(diǎn)。這是因?yàn)楫?dāng)感染者數(shù)量增大時(shí)發(fā)生率函數(shù)并不像雙線性發(fā)生率函數(shù)那樣呈線性增加，而是需要適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式和適當(dāng)?shù)膮?shù)限制感染者與易感者之間的無限接觸。由此，研究者們提出了飽和發(fā)生率函數(shù)[4-8]，飽和發(fā)生率函數(shù)顯然比雙線性發(fā)生率函數(shù)更合理。此后，大量非線性發(fā)生率函數(shù)和一般發(fā)生率函數(shù)[9-11]相繼提出。一般而言，非線性發(fā)生率函數(shù)比雙線性發(fā)生率函數(shù)更能反映傳染病的真實(shí)傳染規(guī)律，同時(shí)能夠產(chǎn)生更加豐富和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

對(duì)傳染病進(jìn)行有效控制進(jìn)而消滅的一種重要手段就是采取治療。最早，Wang等[12]提出常數(shù)治療，即對(duì)疾病存在固定的治療能力。Wang[13]和吳瓊等[5]進(jìn)一步改進(jìn)了常數(shù)治療函數(shù)，采取線性飽和治療函數(shù)，該治療函數(shù)在沒有達(dá)到最大值時(shí)，保持與感染者數(shù)量呈正比例關(guān)系，否則采取最大治療能力。周康等[6]推廣了該治療函數(shù)，研究了具有常態(tài)預(yù)防能力的線性飽和治療函數(shù)的SIR模型。此治療函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于提出了常態(tài)下的預(yù)防，即在沒有感染者被發(fā)現(xiàn)的情況下，醫(yī)院對(duì)疾病保持有一定的治療能力，這樣更有利于對(duì)疾病的預(yù)防。除線性飽和治療函數(shù)外，其他有關(guān)二次治療函數(shù)和飽和治療函數(shù)的相關(guān)研究參見文獻(xiàn)[14-15]。

本文研究帶有飽和發(fā)生率和線性飽和治療函數(shù)的SIS模型，借助微分方程定性穩(wěn)定性理論分析模型平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性，研究平衡點(diǎn)的共存性，進(jìn)而確定該模型是否發(fā)生后向分支現(xiàn)象以及后向分支何時(shí)發(fā)生。

1 模型的建立

本文建立并研究的傳染病模型為：

(1)

其中：

為治療函數(shù)；m指飽和治療率，m=kI0+β；β指常態(tài)下的正常預(yù)防能力，一般β>0；k為治愈率，一般k>0；A為人口補(bǔ)充率，一般A>0；λ為雙線性發(fā)生率，一般λ>0；α代表由大量感染者出現(xiàn)或易感者行為變化對(duì)疾病發(fā)生率產(chǎn)生的抑制作用，一般α>0；d為自然死亡率，一般d>0；r為自然恢復(fù)率，一般r>0；ε為疾病致死率，一般ε>0；I0代表采取最大治療能力時(shí)刻的感染者水平。文獻(xiàn)[5]采用了線性飽和治療函數(shù)h(I)=kI，也就是本文β=0的情況，該治療函數(shù)沒有常態(tài)預(yù)防能力。本文的工作將不具有常態(tài)下正常預(yù)防能力的治療函數(shù)推廣到了具有常態(tài)下正常預(yù)防能力的情形，研究結(jié)果更具一般性。

2 平衡點(diǎn)存在性

首先考慮模型(1)平衡點(diǎn)的存在性。顯然，當(dāng)感染者數(shù)量I=0時(shí)，模型(1)存在唯一的無病平衡點(diǎn)E0=(A/d,0)。地方病平衡點(diǎn)滿足：

(2)

本文模型的基本再生數(shù)R0的表達(dá)公式為：

情形1：當(dāng)0

(3)

將式(3)的兩個(gè)方程相加得

將其代入式(3)的第二個(gè)方程并化簡得：

aI2+bI+c=0

(4)

其中：

故此一元二次方程可能有正解I1,I2：

(5)

其中：

Δ=b2-4ac=[d(d+ε+r+k)-λA+dβα]2-4dβ[λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)]

(6)

從式(5)可以看出，當(dāng)b≥0時(shí)，I1,I2均小于零。故只需考慮b<0的情況，而b<0等價(jià)于：

(7)

又因?yàn)槭?4)有解必須有Δ≥0，而Δ≥0等價(jià)于：

(8)

或

先考慮I1>I0的情況，由于I1>I0等價(jià)于：

b+2[λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)]I0<0,

故由該不等式可得：

(9)

(10)

故I1>I0等價(jià)于式(9)—(10)同時(shí)成立。因此，當(dāng)R0≤P1或R0≥P2時(shí)，I1≤I0成立。

類似地，對(duì)I2>I0進(jìn)行討論，得到當(dāng)P2I0。因此當(dāng)R0≤min(P1,P2)時(shí)，I2≤I0。

由于

定理1當(dāng)R0≥P0時(shí)，對(duì)于模型(1)的兩個(gè)地方性平衡點(diǎn)E1,E2，

情形2：當(dāng)I>I0時(shí)，式(2)可化為：

(11)

以下討論式(11)的正的地方病平衡點(diǎn)，與討論式(3)同理，設(shè)式(11)的兩個(gè)正的地方病平衡點(diǎn)為E3,E4。

證明：由定理2的b)即可得到。

推論3模型(1)存在多個(gè)平衡點(diǎn)，但平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過4個(gè)。

推論4模型(1)同時(shí)存在4個(gè)平衡點(diǎn)是不可能出現(xiàn)的。

3 平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性

首先，討論E1和E2的穩(wěn)定性。令

可知式(2)的Jaccobi矩陣

定理3當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的。

定理4若模型(1)的地方病平衡點(diǎn)E1存在,則E1為一個(gè)鞍點(diǎn)。

定理5假設(shè)地方病平衡點(diǎn)E2存在，

a) 若有b[c(2αd+αr+αε+αk+λ)-β]≤2dac或

則E2是局部漸近穩(wěn)定的。

b)若有

則E2是不穩(wěn)定的。

記

4d2a2c2<2c(2αd+αr+αε+αk+λ)[βab2-4βa2b+βb2+2dacb-2ac2(2αd+αr+αε+λ)]+ββa2b2-4a3βc-b2β-4adcb。

證畢。

類似地，可以得到E3,E4的穩(wěn)定性：

定理6若E3存在，則E3為一個(gè)鞍點(diǎn)。

定理7若E4存在，

a) 若有b[c(2αd+αr+αε+λ)-m]≤2dac，或

則E4是局部漸近穩(wěn)定的。

b) 若有

則E4是不穩(wěn)定的。

4 平衡點(diǎn)全局性質(zhì)

定理8無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)下列兩個(gè)條件之一成立：

b) 由a)知當(dāng)R0<1時(shí)，E1,E2不存在。若

此時(shí)P3P3時(shí)，E3,E4存在，因?yàn)镻3≥1,則R0>P3不可能成立，故此時(shí)E3,E4不存在。

由此，在定理8的條件下，模型(1)不存在地方病平衡點(diǎn)。將模型(1)的兩個(gè)方程相加有

則

解得

故模型(1)的一切正解是最終有界的，并且非負(fù)半S軸和非負(fù)半I軸均不是模型(1)的正解的正不變集。由定理3可知，當(dāng)R0<1時(shí)，E0是局部漸近穩(wěn)定的。根據(jù)Bendixson定理可知，當(dāng)t→∞時(shí)，模型(1)的每個(gè)正解均趨向于E0。證畢。

以下利用Dulac函數(shù)來證明模型(1)的極限環(huán)的不存在性。由于Dulac函數(shù)是應(yīng)用于光滑的向量場，所以當(dāng)它應(yīng)用于模型(1)時(shí)，應(yīng)該注意由模型(1)所定義的向量場在I=I0上是不光滑的。

a)D是連續(xù)可微的,

則模型(1)不存在極限環(huán)。其中：

由引理9，可以得到：

定理10當(dāng)λA<2d+ε+rd時(shí)，模型(1)不存在極限環(huán)。

當(dāng)I>I0時(shí)，

(12)

由于-rI-m<0，當(dāng)λA<2d+ε+rd時(shí)，有

<0,

故可得：當(dāng)λA<2d+ε+rd時(shí)，式(12)為負(fù)，從而可知模型(1)無極限環(huán)。證畢。

5 數(shù)值模擬

圖1 后向分支數(shù)值模擬圖

例2取a=1,b=1,c=1,d=1,α=0.01,ε=0.01,r=0.01,λ=0.01,β=0.01,I0=6,故通過計(jì)算可以得到b[c(2αd+αr+αε+αk+λ)-β]=0.032,2dac=2。從而可得b[c(2αd+αr+αε+αk+λ)-β]≤2dac,因此由定理5可知，模型(1)存在局部穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)E2，其穩(wěn)定性數(shù)值模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 地方病平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性模擬結(jié)果

圖3 地方病平衡點(diǎn)E3的不穩(wěn)定性和E4的穩(wěn)定性模擬結(jié)果

6 結(jié) 論

本文主要研究了一類帶有飽和發(fā)生率和線性飽和治療函數(shù)的SIS傳染病模型。該模型中治療函數(shù)采用線性飽和治療函數(shù)，即：當(dāng)治療能力沒有達(dá)到最大時(shí)，治療率與感染者數(shù)量成正比；否則，采取最大治療率。研究發(fā)現(xiàn)該模型至多存在4個(gè)平衡點(diǎn)，并利用定性分析的方法得到了各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，若飽和治療率較小，常態(tài)預(yù)防能力過高或者采取最大治療能力的時(shí)機(jī)過早，模型發(fā)生后向分支。故應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)娘柡椭委熉省⒁欢ǖ某B(tài)預(yù)防能力以及選擇合適的時(shí)機(jī)采取最大治療能力，以避免后向分支的發(fā)生。