謝雪梅，宋迎春，肖兆兵

1. 中南大學(xué)有色金屬成礦預(yù)測與地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410083； 2. 中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083； 3. 中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410004

大地測量實(shí)際問題中，除了觀測信息，還有參數(shù)本身或者前期研究中得到一些附加的有用信息或者先驗(yàn)約束信息[1-3]。這些附加信息雖然沒有實(shí)際觀測值的絕對精度或可靠性，但可以降低模型的不適定性，選擇合適的解空間，保持參數(shù)先驗(yàn)值和驗(yàn)后估值的統(tǒng)計(jì)、幾何或物理意義，它們在平差模型中的重要體現(xiàn)就是約束條件[4-5]。通過附加約束條件，補(bǔ)充(先驗(yàn))信息，可以充分利用參數(shù)附加信息或先驗(yàn)信息(參數(shù)內(nèi)在的相關(guān)性、精度、幾何或物理信息)，對部分參數(shù)進(jìn)行約束，可以很好地保證參數(shù)解的唯一性和穩(wěn)定性。有許多的學(xué)者，對帶有等式或不等式約束的平差模型進(jìn)行了大量的研究，提出了許多有效的算法[6-11]。然而，在測繪數(shù)據(jù)處理中，還有一些復(fù)雜的先驗(yàn)信息用等式或不等式來表示比較困難，只能用參數(shù)的可行區(qū)間、噪聲范圍等來描述[12]。利用區(qū)間約束或集合方法來描述復(fù)雜先驗(yàn)信息，可以簡化平差模型。區(qū)間約束平差模型還很少在測量數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用，僅有少數(shù)數(shù)學(xué)研究學(xué)者對它們進(jìn)行了研究。他們給出的算法非常復(fù)雜，強(qiáng)調(diào)的是最優(yōu)解的解算方法[13-18]，并不關(guān)心解的精度評(píng)估，不適合測量工作中的應(yīng)用。在測量數(shù)據(jù)處理中，針對區(qū)間約束平差模型，常用的方法是將其轉(zhuǎn)化為不等式約束平差。但這種轉(zhuǎn)換增加了不等式約束的個(gè)數(shù)，而不等式約束的解算本身就是一件困難的事[8-11]。區(qū)間約束是一種簡單界約束，又稱為框約束或箱形約束[14-17]，在二次規(guī)劃理論中有大量的研究，如投影梯度方法[14]、分枝定界法[16]、內(nèi)點(diǎn)算法[18-19]、積極集法[20-21]等。但這些方法非常復(fù)雜，不能直接應(yīng)用于測量數(shù)據(jù)的處理，需要進(jìn)行改進(jìn)和簡化。本文將針對區(qū)間約束的特點(diǎn)，研究參數(shù)帶有區(qū)間約束的平差模型解算方法，利用矩陣正則分裂方法[22-23]，將平差問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡單的二次規(guī)劃問題，探索一種新的參數(shù)估計(jì)迭代算法，并針對病態(tài)問題，對算法進(jìn)行驗(yàn)證，證實(shí)了將區(qū)間約束加入到平差解算中，可以有效提高解的可靠性。本文利用最優(yōu)估計(jì)理論拓展了現(xiàn)有的誤差理論與測量平差方法。

1 參變量帶有區(qū)間約束的平差模型

當(dāng)參數(shù)向量的不確定性用一個(gè)區(qū)間來描述時(shí)，可以建立如下的平差模型

(1)

minF(X)=(L-AX)TP(L-AX)

(2a)

s.t.l≤X≤u

(2b)

由于目標(biāo)函數(shù)F(X)=(L-AX)TP(L-AX)=XT(ATPA)X-2LTPAX+LTPL中，LTPL為一個(gè)常量，若設(shè)N=ATPA、c=-ATPL，則二次規(guī)劃問題(2)，可以轉(zhuǎn)化為如下的二次規(guī)劃問題

s.t.l≤X≤u

(3b)

已有學(xué)者研究了帶有不等式約束的平差模型，提出了有效約束的思想[9]。利用這一思想，設(shè)L={i:xi=li}、U={i:xi=ui}、E={1,2,…,n}，可以找到E的子集S=L∪U，則區(qū)間約束平差模型(3)，等同于具有等式約束的平差模型

式中，BS為對角矩陣，當(dāng)i∈S時(shí)，對角元素bii=1，當(dāng)i?S時(shí)，對角元素bii=0；dS為向量，當(dāng)i∈S時(shí)，第i分量di=li，或di=ui。由文獻(xiàn)[24—25]可知，其參數(shù)估計(jì)

(6)

此處

σ2(ATPA)-1

因此有

故

由此可知，參數(shù)具有線性區(qū)間約束的平差模型的參數(shù)估計(jì)的精度評(píng)估可歸結(jié)為無約束或具有等式約束的平差模型參數(shù)估計(jì)問題來討論。尋找有效約束的方法非常復(fù)雜，在數(shù)據(jù)處理中直接利用式(5)來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)是不可行的,下面介紹一種利用矩陣正則分裂方法，把平差問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡單的二次規(guī)劃問題，建立一種新的參數(shù)估計(jì)迭代算法。

2 區(qū)間不確定性的平差模型的解算方法

這時(shí)

(8)

式中

為了求解二次規(guī)劃問題式(3)，可以先求解

minφ(X)

(9a)

s.t.l≤X≤u

(9b)

Φ(Xk+1+λ(X-Xk+1))-φ(Xk+1)=

Xk+1)+λ(Xk+1-Xk)TM(X-Xk+1)≥0

上式兩邊除以λ，并令λ→0，可以得到

由上式，顧及(M-H)的正定性，可知，f(Xk+1)

要解決帶有區(qū)間不確定性平差模型，只要解決二次規(guī)劃問題式(3)，現(xiàn)設(shè)X*是式(3)的最優(yōu)解，{Xk}是用上面方法得到的二次規(guī)劃問題式(9)的迭代最優(yōu)解序列，有f(Xk+1)-f(X*)>0，f(Xk)-f(X*)>0，由于f(Xk)是單調(diào)遞減，有

即有

f(Xk)-f(X*)=α[f(Xk-1)-f(X*)]=…=

αk[f(X0)-f(X*)]

(10)

這說明limk→∞f(Xk)=f(X*)，即，規(guī)劃問題(9)得到的迭代最優(yōu)解序列可以收斂到規(guī)劃問題(3)的最優(yōu)解。已有許多文獻(xiàn)給出了正則分裂的方法[22-23]。下面是本文給出的一個(gè)簡單的正則分裂方法：設(shè)N的特征值從小到大排列為：λ1、λ2、…、λn，如令M=dI，(M,H)是N的一個(gè)正則分裂，即N=H+M，因此，H=N-M，容易計(jì)算出M-H=2M-N的特征值為2d-λi，i=1,2,…,n。為了保證M-H的正定性，d只要滿足：2d-λn>0，即d>λn/2。

3 區(qū)間約束平差模型算法

式中，d為M的對角元素。

由φ(X)可知

4 算例及分析

表1 真實(shí)坐標(biāo)與近似坐標(biāo)

圖1 測邊三角網(wǎng)Fig.1 Distance-measuring triangulation network

邊號(hào)觀測邊長/m邊號(hào)觀測邊長/m15760.70665731.82727804.61175438.40935187.31487493.31947838.89098884.53955483.157107228.509

設(shè)τ=[1,1,1,1,1,1,1,1]T，約束區(qū)間D1={X:-3τ≤X≤3τ}、D2={X:-6τ≤X≤6τ}、D3={X:-9τ≤X≤9τ},目標(biāo)函數(shù)為F(X)=(L-AX)TP(L-AX),誤差平方和的計(jì)算公式為

算例1說明，算法收斂的速度與可行域的大小有關(guān)，對于系數(shù)矩陣列滿秩；因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，最優(yōu)解是唯一的。從表3可以看出針對不同的區(qū)間約束，本文算法與最小二乘算法一致，最優(yōu)解與真值非常接近，說明對于正常的法矩陣。因?yàn)橛^測信息充分，不需要補(bǔ)充先驗(yàn)信息。但是，最優(yōu)解是在可行域上求得的，當(dāng)最小二乘解的最優(yōu)解在可行域(約束區(qū)間)D上，由唯一性可知算法得到的解與最小二乘是一致的(先驗(yàn)信息沒有起作用)。當(dāng)最小二乘解的最優(yōu)解不在可行域D上，說明最小二乘解不符合先驗(yàn)信息，應(yīng)選擇符合先驗(yàn)約束的解。

算例2：修改算例1中已知點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(48 570.013,60 555.845)，讓它非?？拷黀1點(diǎn)，導(dǎo)致算法1中的系數(shù)矩陣病態(tài)，用來分析病態(tài)問題中算法的性能。此時(shí)相應(yīng)的邊長觀測也會(huì)發(fā)生變化，見表4，相應(yīng)的平差模型的系數(shù)矩陣和觀測向量為

表3 算法結(jié)果及收斂速度比較

表4 邊長觀測值

5 結(jié)束語

大地測量平差模型中的參數(shù)通常存在一些不確定的附加信息或先驗(yàn)信息(參數(shù)內(nèi)在的相關(guān)性、精度、幾何或物理信息)，充分利用它們可以對部分參數(shù)進(jìn)行約束，從而保證參數(shù)解的唯一性和穩(wěn)定性。這些附加信息雖然沒有實(shí)際觀測值的絕對精度或可靠性，但可以降低模型的不適定性，選擇合適的解空間，保持參數(shù)先驗(yàn)值和驗(yàn)后估值的統(tǒng)計(jì)、幾何或物理意義，有效提高參數(shù)估計(jì)的效率。本文針對參數(shù)的區(qū)間約束信息，提供了一種新的平差方法，其算法簡單，可以很好地應(yīng)用于測量數(shù)據(jù)處理，提供參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確率。

表5法矩陣病態(tài)時(shí)算法的結(jié)果比較

Tab.5Algorithmcomparisoninill-posednormalequationmatrix

真 值最小二乘算法本文算法2D1D2D3迭代7302次迭代155028次迭代391691次^X-0.5230-1.3473-0.5105-0.7005-0.8904-2.75806.1625-2.6305-0.63421.36200.902010.44391.08433.20925.3341-0.5360-0.3645-0.5357-0.4968-0.4580-1.56002.8692-1.4581-0.47570.50672.5030-5.90842.30790.4426-1.42282.3340-5.33192.12560.4326-1.2605-2.6650-16.2141-3.0000-6.0000-9.0000F(^X) 0.00431.6861×10-50.00127.4394×10-43.7956×10-4m0504.04410.253730.0253109.4951