劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

文獻(xiàn)[1]提出了磨光集的概念，從而得到了自動(dòng)加強(qiáng)不等式的一種新途徑.但文獻(xiàn)[1]中的算法要依賴于優(yōu)秀機(jī)器證明軟件Bottema[2]，而且當(dāng)最佳系數(shù)不可求時(shí)，磨光過程會(huì)遇到麻煩.本文以不等式的式商及標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)為切入點(diǎn)，對(duì)磨光集進(jìn)行了新探討，提出了穩(wěn)定集的概念，并編寫了應(yīng)用程序.大量實(shí)例表明，文中的算法和程序是實(shí)用而有效的.

以下設(shè)ΔABC的三邊為a，b，c，半周為s，內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，面積為 Δ，中線、角平分線、類似中線和高依次為 ma，mb，mc、wa，wb，wc、ka，kb，kc和 ha，hb，hc，旁切圓半徑為ra，rb，rc，用Σ表示循環(huán)和.

1 有關(guān)概念

1.1 式差，式商

設(shè)有不等式

稱（2）式為不等式（1）的式商形式.

1.2 參考數(shù)據(jù)集

不等式（1）是有強(qiáng)弱之分的，但這種強(qiáng)弱是相對(duì)的，要有個(gè)比較范圍.因此，需要定義一個(gè)參考數(shù)據(jù)集.

1.2.1 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)

如果一個(gè)表達(dá)式滿足：

i它是一個(gè)比值的形式，且量綱為零；

ii它關(guān)于它所含的變?cè)膶?duì)稱性相同；

iii當(dāng)它的變?cè)獫M足條件E時(shí)，取值為1；

iv它的值不小于1.

則稱這個(gè)表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，稱E為這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的取等號(hào)條件.

例1在ΔABC中，任何一個(gè)由三角形常見元素構(gòu)成的表達(dá)式均可用其邊長(zhǎng)表示出來.現(xiàn)取條件為E＝{b＝c}，則表達(dá)式就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，這是因?yàn)榈牧烤V為零，且關(guān)于邊長(zhǎng)b，c對(duì)稱，當(dāng)b＝c時(shí)

例3在ΔABC中，取條件為E＝{a＝b，或者b＝c，或者c＝a}，則表達(dá)式就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，這是因?yàn)榈牧烤V為零，且關(guān)于 a，b，c 對(duì)稱，由楊學(xué)枝、尹華焱的不等式[3]

例5在ΔABC中，取條件為E＝（2a＝b＋c），則表達(dá)式就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，這是因?yàn)榈牧烤V為零，且關(guān)于b，c對(duì)稱，當(dāng) 2a＝b＋c時(shí)

例2中標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的取等號(hào)條件包含了例1中標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的取等號(hào)條件，我們就說這兩個(gè)數(shù)據(jù)的取等號(hào)條件是兼容的，而例4中的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)則不能同它倆兼容，這是因?yàn)槿〉忍?hào)條件和a＝b＝c無法統(tǒng)一.

1.2.2 參考數(shù)據(jù)集

由取等號(hào)條件兼容的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為參考數(shù)據(jù)集.在一個(gè)確定的取等號(hào)條件E下，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的全體記為ΩE，或簡(jiǎn)寫為Ω.

由于構(gòu)造出全體是不可能的，在實(shí)際研究中，一般取由具體給出的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)構(gòu)成參考數(shù)據(jù)集.隨著研究的深入，可根據(jù)實(shí)際需要逐步擴(kuò)充.

1.2.3 參考數(shù)據(jù)集的性質(zhì)

i如果q1∈Ω，q2∈Ω 則

ii不等式的式商構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，其取等號(hào)條件與不等式相同.

1.3 加強(qiáng)集，磨光集

1.3.1 加強(qiáng)集

成立，則稱不等式

為不等式（1）對(duì)qi的加強(qiáng)不等式，稱集合為不等式（1）對(duì)集合S的加強(qiáng)集.

注意，對(duì)加強(qiáng)集中的元素，可在S中繼續(xù)進(jìn)行比較，從而得到更強(qiáng)的不等式集，而且這個(gè)過程可以一直進(jìn)行下去，直到在S中找不到一個(gè)元素q，使不等式成立，此時(shí)稱

為不等式（1）在參考數(shù)據(jù)集S下的最佳加強(qiáng)不等式.所有的最佳加強(qiáng)不等式的式商構(gòu)成不等式（1）的最佳加強(qiáng)集.

1.3.2 磨光集

可以看出，加強(qiáng)不等式就是以參考數(shù)據(jù)集中的元素（即標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)）為單位對(duì)不等式進(jìn)行切割的過程，而且每切割一次，如果剩余的部分還足夠，就可以繼續(xù)切割，直到不能切割為止，最后剩下的部分就是最佳不等式.如果一個(gè)參考數(shù)據(jù)集中的元素，均以其他元素為單位進(jìn)行切割，剩余的部分再構(gòu)成新的數(shù)據(jù)集，如此反復(fù)切割，這樣形成的數(shù)據(jù)碎片就會(huì)越來越小，直至達(dá)到一個(gè)不能切割的水平，從而使數(shù)據(jù)集趨于一個(gè)確定的集合.這個(gè)過程十分類似于文獻(xiàn)[1]定義的磨光集，只不過那里是以式差（橫向）的方式磨光的，而這里則是通過式商（縱向）的方式實(shí)現(xiàn)磨光的.

1.3.3 穩(wěn)定集

顯然，還可以對(duì)磨光集繼續(xù)進(jìn)行打磨，并反復(fù)進(jìn)行磨光.

設(shè)有參考數(shù)據(jù)集S，在對(duì)S的磨光過程中，如果某次磨光產(chǎn)生的磨光集T滿足M（T）＝T，則稱T為S的穩(wěn)定集，用符號(hào)W（S）表示，即

可以看出，穩(wěn)定集本質(zhì)上就是磨光集，只不過此時(shí)集合中的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)已經(jīng)被“磨平”了，無法再進(jìn)行切割，因此集合中元素的數(shù)目就不再變化了.但一個(gè)參考數(shù)據(jù)集是否總有穩(wěn)定集？這是需要進(jìn)一步探討的.

穩(wěn)定集是磨光過程趨于穩(wěn)定的產(chǎn)物，到底需要多少次打磨才能穩(wěn)定，這取決于參考數(shù)據(jù)集中元素的性狀.所以，穩(wěn)定集從一個(gè)側(cè)面反映了參考數(shù)據(jù)集中各元素之間的制約關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.穩(wěn)定集無疑是很重要的，但許多情況下求穩(wěn)定集是比較困難的，特別是參考數(shù)據(jù)集中有太大或太小的元素時(shí)，磨光過程中會(huì)切割出許多數(shù)據(jù)碎塊，往往會(huì)出現(xiàn)死機(jī)或運(yùn)算時(shí)間超長(zhǎng)的情況.此時(shí)可以選用部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行磨光，雖然這是無奈之舉，但仍然是很實(shí)用而有效的策略.

為了與文獻(xiàn)[1]中定義的磨光集相區(qū)別，可稱本文中的磨光集為商式磨光集，而稱文獻(xiàn)[1]中定義的磨光集為差式磨光集.

2 算法和程序

由于穩(wěn)定集是通過磨光集產(chǎn)生的，故磨光集的算法是關(guān)鍵.而磨光集的算法在文獻(xiàn)[1]的算法BOTKMGQ中已有詳述，所不同的是，在BOTKMGQ中，是通過調(diào)用Bottema軟件計(jì)算最佳系數(shù)得到的，而本文中，由于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)是以式商的形式出現(xiàn)，這樣磨光時(shí)，每次只要直接測(cè)試數(shù)據(jù)大小即可，而這可以調(diào)用隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序otf直接實(shí)現(xiàn)，故這里不再詳述算法.根據(jù)最佳加強(qiáng)集、磨光集和穩(wěn)定集的定義，再結(jié)合文獻(xiàn)[1]中的算法BOTKMGQ，不難編寫相應(yīng)的程序模塊，從而得到相應(yīng)的新命令，即最佳加強(qiáng)集命令bsset，磨光集命令mgyc以及穩(wěn)定集命令wdj.這些命令將作為agl2012程序的新功能，出現(xiàn)在以后的各種應(yīng)用場(chǎng)合.本文程序的運(yùn)行環(huán)境是Intel（R）Core（TM）i5-2450M CPU@2.50GHz，編程語言是Maple15.

3 應(yīng)用舉例

例6在ΔABC中，由數(shù)據(jù)a，ha，ra構(gòu)造對(duì)稱不等式，這些不等式的式商構(gòu)成一個(gè)數(shù)據(jù)集，試確定這個(gè)數(shù)據(jù)集的穩(wěn)定集.

解 鍵入命令：

從而得到一個(gè)數(shù)據(jù)集D，D中的數(shù)據(jù)滿足標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的條件，且取等號(hào)條件是a＝b＝c，故D構(gòu)成一個(gè)參考數(shù)據(jù)集，具體數(shù)據(jù)是：

現(xiàn)求D的穩(wěn)定集.鍵入命令：

則顯示

上述數(shù)字表明，對(duì)數(shù)據(jù)集D進(jìn)行了3次打磨，最后得到了穩(wěn)定集，且穩(wěn)定集中有8個(gè)元素，用時(shí)204.767s.穩(wěn)定集中的數(shù)據(jù)如下

W中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)8個(gè)不等式，且這些不等式對(duì)參考數(shù)據(jù)集D來說是最佳的.如有不等式

如果在數(shù)據(jù)a，ha，ra的基礎(chǔ)上再加入r，即將語句改為

則仿上述過程可產(chǎn)生一個(gè)有24個(gè)元素的數(shù)據(jù)集D.在執(zhí)行wdj（D）命令后，經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算，最后顯示出如下數(shù)字：

這些數(shù)字表明，對(duì)數(shù)據(jù)集D進(jìn)行了5次打磨最終得到了穩(wěn)定集，且穩(wěn)定集中有38個(gè)元素，用時(shí)約36619.862s.穩(wěn)定集中的數(shù)據(jù)此略.

例7為了建立關(guān)于ma－r的不等式，且不等式的取等號(hào)條件為b＝c，鍵入命令

可得到一個(gè)參考數(shù)據(jù)集：

在te中，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)取等號(hào)條件均是b＝c.現(xiàn)求te的穩(wěn)定集.鍵入命令：

經(jīng)過46.64s運(yùn)算后，輸出

out1就是te的穩(wěn)定集.在out1中，與ma－r有關(guān)的不等式有2個(gè)，為

上述得到不等式（10），（11）的過程可以描述為：我們對(duì)參考數(shù)據(jù)集te進(jìn)行了若干次打磨，最后穩(wěn)定于out1那種狀態(tài)——以后無論再打磨多少遍，其中的元素均保持不變.

陳計(jì)曾建立關(guān)于三角形中線的不等式

不等式（12）取等號(hào)的條件是b＝c.由（12）式得標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)由于不等式（12）較強(qiáng)，那么對(duì)于正在打磨的參考數(shù)據(jù)集te來說，就是一個(gè)更小的數(shù)據(jù)“刀片”.現(xiàn)設(shè)想一下，這樣的“刀片”放入te中去打磨，將會(huì)把參考數(shù)據(jù)集中的元素切割的更小，從而得到更強(qiáng)的不等式，事實(shí)會(huì)是如此嗎？現(xiàn)用wdj命令進(jìn)行驗(yàn)證：

加入新的更小的“刀片”后，參考數(shù)據(jù)集變成

鍵入命令：

則經(jīng)過2035.891s運(yùn)算后，輸出

即經(jīng)過一系列打磨后，得到了穩(wěn)定集out2.在out2中，有意義的不等式是

不等式（13）反向加強(qiáng)了式（12）.

此時(shí)參考數(shù)據(jù)集變?yōu)?/p>

鍵入命令：

則經(jīng)過16371.962s運(yùn)算后，輸出

注意ttte中只有9個(gè)元素，而此時(shí)out3中已經(jīng)有21個(gè)元素（限于篇幅，這里省略了部分結(jié)果），即當(dāng)加入“大塊頭的”標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)后，經(jīng)過一系列打磨過程，磨光穩(wěn)定于21個(gè)碎片的狀態(tài)，即得到穩(wěn)定集out3.

out3中的每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)一個(gè)最佳不等式，而且不少結(jié)果是很有意義的，因?yàn)樗鼈兪顷P(guān)于三角形中線的上界或下界型不等式，這里不再一一列出.

此例說明，在磨光集或穩(wěn)定集的背景下，不僅強(qiáng)的不等式很有用的，而且平凡的不等式同樣也有用，因?yàn)?，?dāng)它們被不同的“刀片”切割時(shí)，產(chǎn)生的碎片的價(jià)值是不可預(yù)料的.這暗示今后發(fā)現(xiàn)特殊取等號(hào)條件的不等式或更強(qiáng)的不等式的門檻和條件會(huì)更低，不等式的來源也更廣泛.

例8為了建立關(guān)于ΔABC類似中線ka的不等式，且不等式的取等號(hào)條件為b＝c或a2＝b2＋c2，鍵入命令

＞zjbj_otfqdcs（yc，yc，0，0，1，1，1，1，1）；

＞ls:＝glybzjsz（lbqc（gldj（dy），{1}））；#過濾直角三角形時(shí)取等號(hào)的結(jié)果#則可得參考數(shù)據(jù)集

在ineq中，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)取等號(hào)條件均是b＝c或a2＝b2＋c2，求ineq的穩(wěn)定集，易發(fā)現(xiàn)優(yōu)美不等式

一般來說，發(fā)現(xiàn)上述特殊取等號(hào)條件的不等式是十分困難的.

例9在ΔABC中，有Panaitopol不等式

試加強(qiáng)不等式（14）.

解 注意不等式（14）的取等號(hào)條件是{a＝b＝c}，這與條件{b＝c}有交集，故可以調(diào)用例7中的參考數(shù)據(jù)集進(jìn)行加強(qiáng).求不等式（14）的式商對(duì)參考數(shù)據(jù)集的最佳不等式集，即鍵入命令：

則輸出最佳不等式集

out中的4個(gè)數(shù)據(jù)元素對(duì)應(yīng)不等式（14）的4個(gè)加強(qiáng)不等式，這里不再細(xì)述.

例103元3次schur不等式是

試加強(qiáng)不等式（15）.

解 首先寫出不等式（15）的式商.為此，將不等式（15）變?yōu)椋?）的形式，得

對(duì)于不等式（16）的式商，構(gòu)造一個(gè)參考數(shù)據(jù)集（參考數(shù)據(jù)集可有多種方法預(yù)先給出），再計(jì)算穩(wěn)定集，得到一個(gè)由5個(gè)數(shù)據(jù)元素構(gòu)成的集合，其中第1個(gè)元素對(duì)應(yīng)的不等式鏈?zhǔn)?/p>

（17）式顯然是不等式（15）的加強(qiáng).其余加強(qiáng)結(jié)果限于篇幅，這里不再列出.

4 結(jié)語和問題

如果說文獻(xiàn)[1]是以式差的方式橫向磨光的話，那么本文中的磨光則是以式商的方式縱向磨光的.不論何種磨光方式，其結(jié)果都將會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)被切割成碎塊——發(fā)現(xiàn)更強(qiáng)的不等式，而且這兩種磨光方式是不可互相取代的.從這種意義上來說，本文是文獻(xiàn)[1]有益的補(bǔ)充和發(fā)展.事實(shí)證明，穩(wěn)定集將使agl2012程序由批量發(fā)現(xiàn)不等式上升為批量發(fā)現(xiàn)一些特殊取等號(hào)條件不等式，雖然目前的探索只是初步的，但這個(gè)途徑似乎已經(jīng)找到了.

穩(wěn)定集，秩序圖[4]和量級(jí)[5]，外加不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012，為系統(tǒng)研究和發(fā)現(xiàn)不等式尤其是三角形幾何不等式，搭建了基本的思路和框架，繪制了一個(gè)清晰的思路.如何補(bǔ)充和完善算法，擴(kuò)大應(yīng)用范圍，值得進(jìn)一步研究和探討.