俞成濤，宋 威，劉 聰 ，朱益利

1 引言

相比于傳統(tǒng)的保護軸承[1-3]，自消除間隙保護軸承[4-5]由于能夠在磁懸浮轉子跌落后立即消除滾動軸承外圈與保護軸承系統(tǒng)中支座之間的間隙，從而延長了保護軸承的壽命，提高了磁懸浮軸承的可靠性。文獻[4-5]給出了自消除間隙保護軸承的結構、工作原理；對機構的進行了運動學和靜力學分析；建立了轉子跌落至自消除間隙保護軸承的動力學模型，并對轉子跌落后的碰撞力大小進行深入的研究。然而相關研究并沒有考慮滾動軸承運行的實際工況。在滾動軸承正常應用場合，其內(nèi)圈與轉子之間需要采用過盈配合方式安裝。一方面是防止高速轉動時轉子與內(nèi)圈之間發(fā)生蠕變；另一方面滾動軸承在出廠時都會存在一定量的游隙，在某些高精度應用場合，也需要消除滾動軸承游隙對旋轉精度的影響[6-7]。然而，將滾動軸承應用于自消除間隙機構作為磁懸浮軸承的保護軸承時，整個滾動軸承包括外圈也都以相同的速度隨著轉子一起高速轉動[4-5]。對于這種情況下，除了需要考慮高速旋轉產(chǎn)生的離心力對轉子與內(nèi)圈產(chǎn)生的應力與變形，還需考慮離心力對外圈作用產(chǎn)生的變形對軸承游隙的影響；由于游隙的存在會使得外圈在高速旋轉時在徑向相對于內(nèi)圈可能產(chǎn)生位移和振動，所以在計算軸承內(nèi)圈與轉子之間的過盈量的時候，除了要考慮內(nèi)圈與轉子之間不會產(chǎn)生蠕變外，還需考慮能在正常的工作轉速時將滾動軸承的游隙消除。

為了提高自消除間隙機構中滾動軸承的可靠性，結合自消除間隙機構中滾動軸承的運動特點，對轉子與滾動軸承內(nèi)圈配合過盈量進行了研究，通過建立轉子與內(nèi)圈之間過盈配合的靜態(tài)和高速旋轉時的動態(tài)力學模型，詳細分析了轉子、滾動軸承內(nèi)圈以及外圈各處的位移。對比分析了兩組不同游隙值的滾動軸承在不同轉速下所需過盈配合量的大小并進行了強度校核。

2 力學模型的建立

在建立轉子與滾動軸承內(nèi)圈過盈配合力學模型時若忽略端部效應，則過盈配合處內(nèi)圈的靜態(tài)和動態(tài)求解可分別簡化為力學上的厚壁圓筒及等速旋轉圓盤問題[7]。由于軸對稱性，分析時采用極坐標（r，θ）；此外，無論是裝配壓力還是離心力，也都是軸對稱的，故徑向應力σr、切向應力σθ及徑向位移u都僅是半徑r的函數(shù)，即σr（r）、σθ（r）與u（r），而剪切應力τr，θ=0。

2.1 過盈裝配的靜態(tài)力學模型

轉子與軸承內(nèi)圈過盈的配合方式會使轉子和內(nèi)圈由于裝配而產(chǎn)生應力，即裝配應力。為了對轉子以及內(nèi)圈的靜態(tài)強度進行校核，建立軸承內(nèi)圈與轉子過盈配合處的力學模型，如圖1所示。

圖1 轉子與內(nèi)圈過盈裝配的靜態(tài)力學模型Fig.1 Static Mechanical Model of Interference Fit Between the Rotor and the Inner Ring

圖中：Ri—軸承內(nèi)圈的內(nèi)圓半徑；RF—軸承內(nèi)圈的當量溝道半徑；RE—外圈的當量溝道半徑；Ro—外圈的外圓半徑；Δf—軸承與轉子之間的裝配過盈量；cr—軸承的初始游隙；轉子與內(nèi)圈配合面處產(chǎn)生的裝配壓力為Pf；E、ν、ρ—材料的彈性模量、泊松比和密度；下標s—轉子；下標b—軸承。

在極坐標下，分別列寫平衡方程、幾何方程及物理方程[7-8]：

式中：εr、εθ—徑向應變與切向應變。

對于軸承內(nèi)圈，假設其當量溝道處表面不受應力，內(nèi)圓表面過盈安裝于轉子上，承受均勻壓力Pf，如圖1所示。對式（1）～式（3）求解，結合邊界條件，可以分別得到軸承內(nèi)圈靜態(tài)時的應力、位移分量分別為：

靜態(tài)時滾動軸承的外圈并不受到轉子與內(nèi)圈之間過盈配合的影響，故滾動軸承外圈靜態(tài)應力和位移都為零。

轉子與內(nèi)圈之間的裝配過盈量與轉子和內(nèi)圈的徑向位移之間有以下關系：

將式（6）和式（8）代入上式，可以得到轉子與內(nèi)圈之間的靜態(tài)裝配壓力Pf為：

2.2 高速旋轉時的動態(tài)力學模型

轉子高速旋轉時，由于離心力的緣故，轉子與軸承內(nèi)圈各處會產(chǎn)生相應的應力和位移，同時在這里的方案中，由于外圈也是隨著轉子一起轉動，所以外圈也會在離心力作用下產(chǎn)生相應的應力和位移。轉子和滾動軸承在離心力作用的變形，如圖2所示。

圖2 高速旋轉時轉子與軸承的變形Fig.2 Deformation of the Rotor and the Ball Bearing at High Speed Rotation

設轉子的旋轉角速度為ω，材料的密度為ρ，此時的基本方程為[7-8]：

轉子與內(nèi)圈高速旋轉受到離心力作用后，轉子與內(nèi)圈之間的初始裝配過盈量會由于轉子外圓表面與內(nèi)圈內(nèi)圓表面產(chǎn)生不同的位移大小而發(fā)生變化，導致轉子與內(nèi)圈之間的配合壓力隨之發(fā)生變化。設轉子與內(nèi)圈之間動態(tài)配合壓力為Pn，如圖2所示。與靜態(tài)力學模型同理，求解得到此時轉子的應力、位移分量分別為：

得到內(nèi)圈的動態(tài)應力、位移分量分別為：

對式（14）～式（19）分析可以看出，轉子和內(nèi)圈產(chǎn)生的動態(tài)應力和位移都包含Pn項和ω項。其中Pn項為裝配產(chǎn)生，而ω項為離心力產(chǎn)生。由于外圈不受過盈配合力的作用，把內(nèi)圈中含有Pn項去掉，并用外圈的結構參數(shù)替換，即得到外圈產(chǎn)生的動態(tài)應力和位移量分別為：

滾動軸承內(nèi)、外圈當量溝底半徑可以根據(jù)軸承的內(nèi)、外徑計算得到：

其中，ηi，ηo的實用值可查表得到。

3 轉子計算結果分析

這里所用轉子和滾動軸承的結構及材料參數(shù)，如表1、表2所示。對式（16）、式（19）和式（22）中的離心力項計算，可以分別得到轉子外圓表面、內(nèi)圈內(nèi)圓表面、內(nèi)圈溝道處以及外圈溝道處的位移隨轉速的關系，如圖3所示。從圖3可以看出，同一轉速下，外圈溝道處位移＞內(nèi)圈內(nèi)表面位移＞內(nèi)圈溝道處位移＞轉子外表面位移；隨著轉速的增加，轉子外表面、內(nèi)圈內(nèi)表面和內(nèi)圈溝道處的位移增加較為緩慢，而外圈溝道處的位移增加較為迅速，并且轉速越大，其增加的速度越快；通過對比可以發(fā)現(xiàn)內(nèi)、外圈溝道位移差明顯大于轉子、內(nèi)圈配合面位移差，并且轉速越高越明顯。圖3的結果說明，離心力作用下內(nèi)、外圈的變形位移使得軸承的游隙增加，并且轉速越高，軸承的游隙增加的越大。所以在實際應用時，為了保證滾動軸承中的滾珠和外圈隨內(nèi)圈一同旋轉時的穩(wěn)定性，需要通過轉子與內(nèi)圈之間的過盈裝配消除軸承高速轉動時的游隙。

表1 轉子的材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters of the Rotor

表2 滾動軸承的結構及材料參數(shù)Tab.2 Structural and Material Parameters of the Ball Bearing

圖3 各部分由于離心力作用的位移量與轉速的關系Fig.3 Relationship Between the Displacement of Each Part and the Rotational Speed Due to Centrifugal Force

根據(jù)式（19）和式（22）可以得到不同轉速下軸承的內(nèi)部游隙為：

根據(jù)圖2的變形幾何關系，軸承內(nèi)、外圈的位移需要滿足：

將式（19）和式（22）代入上式可以得到在不同的工作轉速下動態(tài)配合壓力Pn，再將得到的Pn代入式（16）和式（19）得到轉子與內(nèi)圈分別在接觸面處的位移量；根據(jù)其位移量就可以得到各個轉速下轉子與軸承內(nèi)圈之間所需的裝配過盈量為：

對上式分析可以得到Δf（ω）實際上包含三個部分，即：

式中：Δf1—消除離心力對內(nèi)、外圈溝道產(chǎn)生的位移量所需的裝配過盈量；Δf2—消除軸承初始游隙所需的裝配過盈量；Δf3—抵消轉子、內(nèi)圈的配合面處在離心力作用下的位移所需的裝配過盈量。

圖4 轉子與內(nèi)圈裝配過盈量計算流程圖Fig.4 Flow Diagram of Calculation of Interference Fit Between the Rotor and Inner Ring

根據(jù)轉子與內(nèi)圈位移量得到裝配過盈量Δf后，還需要對Δf分別進行轉子、內(nèi)圈和外圈的動、靜態(tài)強度驗證。轉子與內(nèi)圈裝配過盈量計算流程圖，如圖4所示。

針對這里的滾動軸承，選取了兩組游隙值進行分析：C2組，游隙值為（0～9）μm和C0組（標準組），游隙值為（3～18）μm。分別取其平均值進行計算，即C2組取4.5μm；C0組取10.5μm。根據(jù)式（27）得到裝配過盈量Δf與轉速的關系，如圖5所示。

圖5 轉子與內(nèi)圈所需的裝配過盈量與轉速的關系Fig.5 Relationship Between the Interference Fit Between the Rotor and the Inner and Rotational Speed

從圖5中可以看出，相對于軸承游隙和內(nèi)、外圈溝道位移，內(nèi)圈與轉子變形所需的裝配過盈量（Δf3）很小；消除內(nèi)、外圈溝道位移所需的裝配過盈量（Δf1）只與轉速有關，并隨著轉速的增加而增加，在轉速為7000rad/s時達到9.3μm；而消除軸承初始游隙所需的裝配過盈量（Δf2）經(jīng)計算約為軸承游隙的1.33倍，并且不同組游隙對Δf3和Δf1無影響，只是相應的Δf2項增加或減小1.33倍的游隙增加或減小值。圖5表明轉子與內(nèi)圈之間裝配過盈量主要用于消除軸承初始游隙以及高速旋轉時內(nèi)、外圈溝道處位移產(chǎn)生的游隙增加量，并且軸承初始游隙和轉速的增加都會使得轉子與內(nèi)圈的裝配過盈量顯著增加。

考慮到裝配工藝，對于大過盈量的滾動軸承，常用的裝配方法是熱套裝配法，將軸承放入礦物油中加熱，一般加熱溫度在（80～100）℃，為了防止發(fā)生回火效應，滾動軸承的加熱溫度不能超過120℃。軸承內(nèi)圈受熱膨脹量可由下式計算得到：

式中：a—軸承受熱線膨脹系數(shù)，大約為12.6×10-6（1/℃）。

以加熱最高溫度120℃，環(huán)境溫度20℃計算，熱套裝配的最大過盈量為：Δlim=12×100×12.5×10-6=15μm （30）

從圖5可以看出，若選擇C0組游隙的滾動軸承，其僅僅用于消除軸承初始游隙所需的裝配過盈量就已經(jīng)達到14μm，基本達到熱套裝配的最大過盈量了；而選擇C2組游隙的滾動軸承，在轉速為6500rad/s時達到熱套裝配的最大過盈量。所以，為了方便滾動軸承的正常裝配，應該選擇小游隙（C2組）的滾動軸承，并且當工作轉速所需的裝配過盈量大于熱套裝配最大過盈量時，在轉子與內(nèi)圈裝配過程中可能需要采取熱套和其他方式共同裝配方式。

當采用C2組游隙的滾動軸承時，轉子、軸承內(nèi)圈和外圈徑向各處在各個轉速下的應力情況，如圖6～圖8所示。

圖6 不同轉速下轉子的動態(tài)應力情況Fig.6 Dynamic Stress of the Rotor with Different Rotational Speeds

圖7 不同轉速下內(nèi)圈的動態(tài)應力情況Fig.7 Dynamic Stress of the Inner Ring Under Different Rotational Speeds

圖8 不同轉速下外圈的動態(tài)應力情況Fig.8 Dynamic Stress of the Outer Ring Under Different Rotational Speeds

從圖6可以看出，轉子徑向各處受到的徑向、切向應力均為壓應力且數(shù)值上基本相等，切向應力數(shù)值上略小于徑向應力，徑向、切向壓應力均隨著轉速的增加而增大，從軸心到外圓逐漸增大。圖7表明內(nèi)圈徑向各處受到的徑向應力為壓應力，數(shù)值上隨著轉速的增加而增大，同一轉速下，最大徑向應力出現(xiàn)在內(nèi)圈內(nèi)表面處；而其受到的切向應力為拉應力，隨著轉速的增加而增大，同一轉速下，從內(nèi)表面到外溝道處的切向應力逐漸減小。從圖8可以看出，各個轉速下，外圈受到的最大徑向應力出現(xiàn)在中間部位，最大徑向應力隨著轉速的增加而增大，外圈的內(nèi)溝道以及外圓表面處的徑向應力均為零，且不隨著轉速的變化而變化；而外圈徑向各處的切向應力隨著轉速的增加而增加，且同一轉速下，從內(nèi)溝道處到外圓表面的切向應力逐漸減小。對圖6，圖7和圖8各個應力數(shù)值上對比可以發(fā)現(xiàn)，各個轉速下以內(nèi)圈內(nèi)表面處受到的切向應力為最大，其次為外圈受到的切向應力。這是因為過盈裝配和離心力作用均對內(nèi)圈產(chǎn)生切向拉應力效果，而外圈則是由于較大的半徑使得高速下離心力作用產(chǎn)生較大的切向應力。

4 靜態(tài)強度驗證

圖9 靜態(tài)裝配壓力隨轉速的變化關系Fig.9 Relationship Between the Static Fit Pressure and Rotational Speed

圖10 內(nèi)圈的靜態(tài)應力分布情況Fig.10 Static Stress Distribution of Inner Ring

對轉子和內(nèi)圈進行靜態(tài)強度驗證，由式（7）可以得到，轉子徑向各處的徑向和切向應力與位置無關，故其靜態(tài)的徑向和切向應力相等都為-Pf，且只與轉速相關，Pf與轉速的關系，如圖9所示。而內(nèi)圈的靜態(tài)應力分布情況，如圖10所示。

將圖9與圖6對比可以發(fā)現(xiàn)，轉子靜態(tài)時受到的壓應力略大于轉子轉動后受到的動態(tài)壓應力，這是因為轉子轉動后轉子與內(nèi)圈配合面處的徑向位移使得其之間的過盈量略微減小，從而導致轉子受到的動態(tài)應力略為減小。將圖10和圖7對比發(fā)現(xiàn)，內(nèi)圈徑向各處受到的靜態(tài)徑向壓應力和切向拉應力在數(shù)值上也都略大于轉子轉動后內(nèi)圈受到的應力大小，也是受到其配合面處的過盈量在轉動后略微減小的影響。

考慮到磁懸浮軸承失效后自消除間隙保護軸承中滾動軸承工作時，其外圈的轉速減小為零，此時外圈由于離心力作用發(fā)生的變形量也減小為零。則圖5中用于消除內(nèi)、外圈溝道位移所需的裝配過盈量Δf1，會導致滾動軸承處于負間隙的狀態(tài)下工作。從圖3中可以得到當轉速為3140rad/s（500Hz）時，滾珠與內(nèi)、外圈之間的預緊量約為0.6μm；但是當轉子轉速達到7000rad/s時，滾珠與內(nèi)、外圈之間的預緊量則達到了3.5μm。少量的預緊有利于增加滾動軸承的剛度、承載力以及平穩(wěn)運行[6]，但預緊量過大可能會導致滾珠與內(nèi)、外圈之間的阻力增大并加速滾動軸承的磨損甚至卡死。

5 結論

（1）磁懸浮軸承轉子正常運行時，自消除間隙機構中的滾動軸承的內(nèi)部游隙隨著轉速的增加而增大。（2）在選取自消除間隙機構中的滾動軸承時，應該盡量選擇小游隙的滾動軸承，并且需要結合磁軸承轉子的工作轉速計算出滾動軸承安裝所需的過盈量，從而選取合適的裝配方式。（3）當自消除間隙機構工作時，滾珠與內(nèi)、外圈之間的間隙為小于零，并且磁懸浮轉子的轉速越高，其數(shù)值越大，可能會導致滾動軸承失效。