魚(yú)則行， 徐 超

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)(Structural Health Monitoring, SHM)是指通過(guò)獲取響應(yīng)信號(hào)及系統(tǒng)特性等信息評(píng)估工程結(jié)構(gòu)受損情況、預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)壽命的一項(xiàng)智能技術(shù)。其中，基于彈性導(dǎo)波的健康監(jiān)測(cè)方法因其響應(yīng)速度快、對(duì)結(jié)構(gòu)影響小、對(duì)微小損傷敏感等特點(diǎn)，在實(shí)際工程中受到越來(lái)越多的關(guān)注[1]。彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播會(huì)發(fā)生反射、干涉、衍射、相速度頻散等現(xiàn)象，這給信號(hào)測(cè)量和信息提取帶來(lái)了困難與挑戰(zhàn)。因此，有效模擬彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播行為和數(shù)值研究損傷對(duì)波傳播的影響現(xiàn)象等對(duì)發(fā)展基于彈性導(dǎo)波的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)方法至關(guān)重要。

壓電片因?yàn)轶w積質(zhì)量小、頻率帶寬、易集成等特點(diǎn)，作為導(dǎo)波激發(fā)和敏感元件被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域。研究彈性波在含壓電元件的結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，須考慮壓電元件的耦合效應(yīng)對(duì)波傳播行為的影響。鄧慶田[2]采用有限元方法研究了在縱向載荷下層合壓電桿的頻域動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。李鵬[3]研究了界面、梯度功能材料等因素對(duì)波在壓電元件中傳播的影響，其對(duì)復(fù)合材料壓電設(shè)備的設(shè)計(jì)分析以及測(cè)量有重要意義。杜朝亮等[4]則采用回傳矩陣-射線(xiàn)方法對(duì)橫觀各向同性的壓電結(jié)構(gòu)進(jìn)行了頻域的波傳播分析。Wang[5]結(jié)合二維單層單元與三維多層壓電單元，建立了雙壓電晶片懸臂梁的有限元方法，研究了結(jié)構(gòu)在壓電效應(yīng)下的靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Ippolito等[6-9]基于經(jīng)典有限元數(shù)值模擬方法研究了壓電耦合結(jié)構(gòu)中的波傳播文獻(xiàn)，但需要注意的是傳統(tǒng)有限元方法在求解結(jié)構(gòu)彈性波傳播問(wèn)題時(shí)存在計(jì)算耗費(fèi)大、精度低等問(wèn)題，很難應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大規(guī)模波傳播模擬。

譜單元法最早應(yīng)用于求解計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[10]。這種方法結(jié)合了譜方法的快速收斂性與有限元法的復(fù)雜幾何適應(yīng)性，特別適合模擬高頻、瞬態(tài)的彈性波傳播行為。Kudela等[11]將時(shí)域譜單元推廣至波傳播問(wèn)題，并研究了一維結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播行為。Komatitsch等[12-13]將這種方法推廣至二維與三維結(jié)構(gòu)中波傳播行為的模擬。徐超等[14]推導(dǎo)了任意四邊形的譜單元用于功能梯度材料結(jié)構(gòu)中的波傳播問(wèn)題。馮朝輝等[15]將譜單元方法與壓電效應(yīng)相結(jié)合，研究了彈性波在壓電耦合結(jié)構(gòu)中的傳播。但該文章僅研究了二維結(jié)構(gòu)，忽略了導(dǎo)波在三維結(jié)構(gòu)中的反射與散射，也并未結(jié)合實(shí)驗(yàn)對(duì)所做的理論工作進(jìn)行驗(yàn)證。李富才等[16]進(jìn)一步研究了壓電耦合結(jié)構(gòu)波傳播分析的譜單元方法，并初步進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

近年來(lái)，宏纖維壓電復(fù)合材料(Macro Fiber Composite, MFC)作動(dòng)器和傳感器因其柔性好、易于黏接于曲面結(jié)構(gòu)上等優(yōu)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用日益增多[17]。實(shí)施結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)時(shí)，通常在結(jié)構(gòu)的離散位置布置若干MFC壓電作動(dòng)和傳感器。壓電器件激發(fā)的彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播本質(zhì)上是三維的。同時(shí)，即使對(duì)薄板類(lèi)結(jié)構(gòu)，其裂紋、腐蝕等損傷也多發(fā)生在沿板厚度方向的局部位置，必須要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維建模和分析才能有效地模擬彈性導(dǎo)波在結(jié)構(gòu)中的傳播行為及其與損傷的相互作用關(guān)系。最后，針對(duì)同時(shí)考慮壓電元件和待測(cè)結(jié)構(gòu)的耦合問(wèn)題，對(duì)壓電、黏接層和結(jié)構(gòu)組合體采用統(tǒng)一的三維單元來(lái)描述具有形式簡(jiǎn)單、易于建模等優(yōu)點(diǎn)。

因此，本文針對(duì)MFC壓電耦合結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)了一種三維時(shí)域壓電譜單元，并將其用于模擬彈性波在壓電耦合結(jié)構(gòu)中的傳播行為。首先給出了三維壓電耦合譜單元的推導(dǎo)過(guò)程；然后將譜單元計(jì)算結(jié)果與有限元解進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證單元的可靠性與快速收斂性；最后結(jié)合實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了譜單元方法對(duì)模擬彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播行為的有效性，并研究了導(dǎo)波在多壓電耦合結(jié)構(gòu)中的傳播特性。

1 三維壓電耦合譜單元推導(dǎo)

含壓電元件的結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)平衡方程可寫(xiě)為

(1)

D=0 inΩp

(2)

對(duì)于壓電材料，其物理方程表示為

σ=Cε-eTE

(3)

D=eε+gE

(4)

式中： 上標(biāo)h和p分別表示主結(jié)構(gòu)區(qū)域和壓電結(jié)構(gòu)區(qū)域。σ，f，ρ，q和D分別表示應(yīng)力、體積力、密度、位移場(chǎng)和電位移矩陣。ε，e，g，E和C分別表示應(yīng)變、耦合系數(shù)、介電常數(shù)、電場(chǎng)強(qiáng)度和彈性矩陣。

如圖1所示，與傳統(tǒng)有限元方法不同，譜單元采用非等距內(nèi)插節(jié)點(diǎn)以減少龍格效應(yīng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)高階插值。單元內(nèi)各方向的插節(jié)點(diǎn)由Gauss-Lobatto-Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)確定，稱(chēng)為GLL點(diǎn)。例如，在x方向，該多項(xiàng)式為

(5)

ξ1=-1
ξ2=-0.654 653 670 707 978
ξ3=0
ξ4=0.654 653 670 707 978
ξ5=1

各GLL插值點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下插值函數(shù)如圖2所示。

圖1 3維單元對(duì)比Fig.1 Comparison of 3D elements between

圖2 GLL節(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下插值函數(shù)Fig.2 Interpolation function of GLL points atlocal coordinates system

若將所得節(jié)點(diǎn)進(jìn)行拉格朗日多項(xiàng)式插值，則位移場(chǎng)可表示為

(6)

根據(jù)小變形假設(shè)可知，應(yīng)變-位移關(guān)系可表示為

ε=Buq=[B1B2…Bn]q

(7)

在電場(chǎng)內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系可表示為

E=-Bφφ

(8)

式中： 下標(biāo)u和φ分別表示位移場(chǎng)和電場(chǎng)物理量，φ表示電勢(shì)場(chǎng)。

結(jié)合上述公式，根據(jù)Hamilton原理，可得到三維壓電耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的譜單元運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

(10)

其中，

式中：Je為Jacobi矩陣表示單元從局部坐標(biāo)系到整體坐標(biāo)系的映射。ωi,ωj,ωk表示GLL積分法則在坐標(biāo)方向的權(quán)重系數(shù)，由下式確定

(11)

可知，ωi>0獨(dú)立于單元，并有如下正交性質(zhì)

(12)

同樣的性質(zhì)也存在于另外兩個(gè)方向。因此，譜單元的質(zhì)量矩陣為對(duì)角線(xiàn)形式，這對(duì)降低計(jì)算耗費(fèi)，提高計(jì)算速度有重要的意義。

對(duì)于典型壓電材料，Kuu數(shù)量級(jí)約為108， 而Kφφ數(shù)量級(jí)約為10-11。 由式(9)～式(10)可知，若直接求解系統(tǒng)的控制方程，會(huì)由于兩者參數(shù)差異巨大導(dǎo)致與Kφφ有關(guān)的項(xiàng)在計(jì)算過(guò)程中由于太小而被湮沒(méi)。這會(huì)引起計(jì)算上不可忽略的誤差。為克服這種缺點(diǎn)，本文引入靜力凝聚法，將Kφφ有關(guān)的項(xiàng)凝聚掉以位移場(chǎng)向量表示。因此，與式(9)～式(10)可寫(xiě)為

(13)

(14)

式中：KI和fA分別表示由壓電耦合引起的誘導(dǎo)剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)力。

KI誘導(dǎo)剛度矩陣的計(jì)算中，Kφφ矩陣由定義可知為非正定矩陣。因此，KI矩陣的計(jì)算則與壓電材料的電學(xué)邊界條件相關(guān)。

(1) 壓電元件作為傳感器處于電學(xué)閉路：壓電元件上下表面接地，電勢(shì)為0，元件內(nèi)不含有自由電子?？芍?，式(10)在電學(xué)閉路條件下可寫(xiě)為

(15)

式中： 各矩陣上標(biāo)為：0表示壓電元件下表面；i表示壓電元件中間層；n表示壓電元件上表面。則壓電結(jié)構(gòu)中未知電勢(shì)可以表示為

(16)

則可知， 誘導(dǎo)剛度矩陣KI可表示為

(17)

(2) 壓電元件作為傳感器處于電學(xué)開(kāi)路：壓電元件下表面接地，電勢(shì)為0，可知此時(shí)式(10)可寫(xiě)為

(18)

壓電結(jié)構(gòu)中未知電勢(shì)表示為

(19)

此時(shí)，誘導(dǎo)剛度矩陣KI可表示為

(20)

(3) 壓電元件作為驅(qū)動(dòng)器：壓電元件下表面接地，上表面施加電壓V，式(10)可寫(xiě)為

(21)

未知電勢(shì)可表示為

(22)

誘導(dǎo)剛度矩陣可表示為

(23)

其中，由上表面電壓引起的等效節(jié)點(diǎn)力可以表示為

fA=Kuφφ

(24)

根據(jù)線(xiàn)性假設(shè)，忽略由于形變帶來(lái)壓電單元上各節(jié)點(diǎn)的電勢(shì)變化。因此，φ矩陣中各節(jié)點(diǎn)的電勢(shì)由上下表面電勢(shì)場(chǎng)線(xiàn)性插值而來(lái)。Ke=Kuu+KI,Fe=f+fA分別稱(chēng)為三維壓電單元的廣義剛度矩陣與廣義力矩陣。

通過(guò)組裝各單元矩陣，三維壓電耦合結(jié)構(gòu)總體平衡方程可表示為

(25)

(26)

其中Δt表示積分時(shí)間步長(zhǎng)，該算法穩(wěn)定的條件為

(27)

式中：Tn表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基本固有周期。

2 數(shù)值驗(yàn)證

2.1 單片壓電耦合結(jié)構(gòu)

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)的三維壓電譜單元能有效地模擬彈性波在壓電耦合結(jié)構(gòu)中傳播行為，考慮貼壓電片的薄板結(jié)構(gòu)，其幾何尺寸如圖3所示。薄板為鋁制品，壓電片采用MFC材料，長(zhǎng)25 mm，寬10 mm，厚0.3 mm。各材料屬性如表1所示。

圖3 單片壓電耦合結(jié)構(gòu)Fig.3 Thin palte with one MFC piezoeletric transducers

薄板結(jié)構(gòu)Eνρ70 GPa0.332 700 kg/m3壓電材料C11=3.94×1010 PaC22=2.03×1010 PaC33=3.25×1010 PaC12=1.29×1010 PaC13=0.83×1010 PaC23=0.53×1010 PaC44=0.55×1010 PaC55=0.55×1010 PaC66=1.31×1010 Pae31=13.62 cm-2e33=-4.1 cm-2e32=0.55 cm-2e24=-17.03 cm-2e15=-17.03 cm-2g11=141.2g0g11=141.2g0g11=141.2g0ρ=7 000 kg/m3g0=8.854 19×10-12CV-1m-1

針對(duì)壓電元件作為驅(qū)動(dòng)器與傳感器兩種情況分別分析：

(1) 工況一：壓電元件作為驅(qū)動(dòng)器，將其下表面接地，上表面接入如圖4所示的電壓，激勵(lì)波形為頻率100 kHz的5周期的漢寧窗調(diào)制正弦波。采用譜單元將結(jié)構(gòu)全局劃分為612個(gè)單元，單元內(nèi)插節(jié)點(diǎn)數(shù)為4×4×4，積分時(shí)間步長(zhǎng)選取0.01 μs。輸出監(jiān)測(cè)點(diǎn)R(0.15,0.015,0.002)處位移-時(shí)間歷程曲線(xiàn)，并與傳統(tǒng)有限元方法對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。

圖4 激勵(lì)波形Fig.4 The exciting waveform

圖5(a)給出了監(jiān)測(cè)點(diǎn)R處的x方向的位移響應(yīng)，圖5(b)和圖5(c)分別給出了監(jiān)測(cè)點(diǎn)y方向和z方向的位移響應(yīng)。由圖可知，在各個(gè)方向上，譜單元求得位移-時(shí)間歷程曲線(xiàn)與傳統(tǒng)有限元解能夠較好吻合，驗(yàn)證了本文所建立單元的有效性，但是需要說(shuō)明的是使用兩種方法所采用的網(wǎng)格數(shù)量有很大差別。表2給出了兩種方法在相同精度結(jié)果下所采用的計(jì)算規(guī)模。通過(guò)對(duì)比可知，譜單元方法能以極小的計(jì)算代價(jià)獲得相當(dāng)高精度的解。

圖5 R點(diǎn)處位移-時(shí)間歷程曲線(xiàn)Fig.5 Time histories of displacement at point R

SEMFEM總單元數(shù) 612241 200總自由度數(shù)68 529910 515

在模擬高頻導(dǎo)波在結(jié)構(gòu)中的傳播行為時(shí)，有限元方法對(duì)網(wǎng)格密度有很高的要求。通過(guò)對(duì)比可知，在相同精度的結(jié)果下，譜單元方法將結(jié)構(gòu)全局劃分的網(wǎng)格數(shù)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)有限元,兩種方法對(duì)應(yīng)的總自由度數(shù)也相差較大。因此，譜單元在研究彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播規(guī)律時(shí)，能夠大大降低計(jì)算耗費(fèi)與必要的存儲(chǔ)空間。

(2) 工況二：壓電元件用作傳感器，將其下表面接地，在薄板末端的中點(diǎn)(0.3,0.025,0.002)施加一垂直沖擊載荷，激勵(lì)波形仍如圖4所示的100 kHz調(diào)制正弦波。網(wǎng)格劃分與積分步長(zhǎng)的選擇與工況一保持一致。輸出壓電片上表面平均電勢(shì)，并與傳統(tǒng)有限元方法對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。

圖6 壓電片上表面平均電勢(shì)Fig.6 The average voltage of the top surface ofpiezoelectric sensor

由圖6可知，當(dāng)壓電元件作為傳感器時(shí)，譜單元解與傳統(tǒng)有限元解能夠較好地吻合，說(shuō)明了所建立譜單元的有效性。但兩種方法所得結(jié)果在A0模式存在微小的相位偏差，且譜單元解波速略快于有限元解。這是由于在求解高頻響應(yīng)的A0波時(shí)，有限元方法對(duì)厚度方向的網(wǎng)格尺寸提出了更高的要求，即在每個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，傳統(tǒng)有限元法需要更多的節(jié)點(diǎn)數(shù)才能使結(jié)果趨近于解析解，而譜單元法則可以較少的節(jié)點(diǎn)快速收斂于精確解。如在Kin等對(duì)這一現(xiàn)象也有所提及，根據(jù)Richardson外插公式與有限元理論方法，在每個(gè)A0波長(zhǎng)內(nèi)，有限元方法需至少80個(gè)節(jié)點(diǎn)才能近似于解析解，但譜單元法僅需10個(gè)節(jié)點(diǎn)即可收斂于精確解。

綜上所述，本文所建立的三維時(shí)域譜單元能夠有效地模擬彈性波在壓電耦合結(jié)構(gòu)中的傳播行為，且相較于傳統(tǒng)有限元方法，譜單元法在計(jì)算規(guī)模上具有顯著的優(yōu)勢(shì)，并且精度更高。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 壓電耦合實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)

在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中，通常采用一個(gè)壓電片作驅(qū)動(dòng)器，激勵(lì)起彈性波在主結(jié)構(gòu)中傳播，另一個(gè)壓電片作傳感器，檢測(cè)彈性波的傳播并生成相關(guān)的響應(yīng)信號(hào)。這種“一收一發(fā)”的壓電耦合結(jié)構(gòu)通常稱(chēng)為pitch-catch結(jié)構(gòu)。為了研究彈性波在pitch-catch結(jié)構(gòu)中的傳播，考慮一黏有兩壓電片的鋁制方板，其幾何尺寸如圖7所示。

圖7 pitch-catch結(jié)構(gòu)幾何尺寸(m)Fig.7 Geometry of the pitch-catch structure (m)

兩個(gè)壓電元件均為宏壓電纖維復(fù)合材料傳感器(MFC, SMART MATERIAL 公司)，壓電片長(zhǎng)28 mm，寬14 mm，高0.3 mm。各結(jié)構(gòu)材料屬性與2.1節(jié)一致。實(shí)驗(yàn)裝置平臺(tái)及試件如圖8所示。鋁板處于自由-自由狀態(tài)，采樣頻率為2 MHz，其輸入信號(hào)如圖4所示，為峰值50 V、頻率100 kHz的漢寧窗調(diào)制正弦波。在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下對(duì)該pitch-catch結(jié)構(gòu)在同樣工況進(jìn)行32次重復(fù)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果重復(fù)性較好，之間差異很小。并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行平均，將其與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖8 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)示意圖Fig.8 Experiment platform

在內(nèi)插節(jié)點(diǎn)數(shù)為5×5×5情況下，計(jì)算不同網(wǎng)格規(guī)模的波傳播結(jié)果并進(jìn)行收斂性分析，結(jié)果如圖9所示?？芍?，采用譜單元方法將結(jié)構(gòu)全局離散為3 265個(gè)單元時(shí)，響應(yīng)趨于收斂，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)記錄結(jié)果的對(duì)比如圖10所示。

圖9 譜單元收斂性分析結(jié)果Fig.9 The convergence study of SEM

圖10 pitch-catch結(jié)構(gòu)傳感器上表面平均電勢(shì)Fig.10 The average voltage of the top surface of sensor

由圖10可知，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，譜單元所得結(jié)果與實(shí)際情況符合較好。譜單元在模擬高頻導(dǎo)波傳播時(shí)，對(duì)于波速的計(jì)算尤為準(zhǔn)確。由于在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，采用柔性支撐來(lái)模擬試件自由-自由的邊界條件以及試件之間的膠層等因素可能造成了兩種方法的響應(yīng)幅值上的差異。相較于有限元方法，本文所推導(dǎo)的譜單元能夠更高效、準(zhǔn)確地模擬彈性波在壓電耦合結(jié)構(gòu)中的傳播情況，對(duì)于損傷監(jiān)測(cè)、沖擊識(shí)別等結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)具有重要意義。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)壓電元件在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，推導(dǎo)建立了一種三維實(shí)體壓電耦合譜單元，分別研究了壓電元件用作激勵(lì)器與傳感器兩種不同工況下，結(jié)構(gòu)中的波傳播行為。并結(jié)合有限元解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，研究譜單元方法在研究波傳播問(wèn)題的應(yīng)用。主要結(jié)論如下：

(1) 通過(guò)與有限元解結(jié)果的比較，說(shuō)明了譜單元方法能夠有效地模擬壓電元件在單獨(dú)作動(dòng)荷單獨(dú)傳感兩類(lèi)功能下的力學(xué)行為。通過(guò)對(duì)比兩種方法的計(jì)算規(guī)模，譜單元方法能夠大大降低計(jì)算規(guī)模，提高運(yùn)算速度。相較于傳統(tǒng)有限元方法，譜單元法在模型彈性導(dǎo)波的A0模式時(shí)，能夠快速收斂到精確解。

(2) 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，說(shuō)明了譜單元方法在模擬多壓電元件結(jié)構(gòu)中波傳播的有效性，驗(yàn)證了其用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的潛力與優(yōu)勢(shì)。