時間尺度上二階Emden-Fowler型延遲動態(tài)方程的振動性

楊甲山

(1.梧州學院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學院, 廣西 梧州 543002;2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室, 廣西 梧州 543002)

振動作為一種物理現(xiàn)象,廣泛存在于自然科學和工程技術中,如控制系統(tǒng)中的自激振動,同步加速器中波束的振動,化學反應過程中的復雜振動等等,這些現(xiàn)象可以統(tǒng)一為方程的振動理論?；谶@些實際應用背景,本文討論時間尺度上一類二階非線性Emden-Fowler型延遲泛函動態(tài)方程

[A(t)φ1(y△(t))]△+b(t)φ1(y△(t))+
P(t)f(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T

(1)

的振動性,這里y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t))),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u,λ>0,β>0為實常數(shù);T為任意時間尺度,A(t),B(t),b(t),P(t)∈Crd(T,R),即A(t),B(t),b(t),P(t)均為定義在T到R上的實值rd-連續(xù)函數(shù),τ(t),δ(t)均為定義在T到T上的滯量函數(shù),g(u),f(u)∈C(R,R),且ug(u)>0(u≠0),uf(u)>0(u≠0)。為了方便,考慮如下假設:

(H2): 0≤B(t)<1;b(t)≥0;P(t)>0.

(H3): 存在常數(shù)0<η≤1和L>0,使得g(u)/u≤η(u≠0),f(u)/u≥L(u≠0)。

(H4):A(t)>且-b/A∈R+。

我們將考慮以下2種情形

(C1)

和

(C2)

關于時間尺度上中立型阻尼動態(tài)方程的振動性研究,目前已有一些成果,見文獻[1-18]。如Saker等[3]運用Riccati變換技術和時間尺度上的微積分理論,研究了二階非線性阻尼動態(tài)方程

(r(t)x△(t))△+p(t)(x△σ(t))γ+q(t)f(x(σ(t)))=0(t∈T)

的振動性并得到了該方程振動的幾個充分條件。Erbe等[4]研究了具阻尼項的二階非線性動態(tài)方程

[r(t)(x△(t))γ]△+p(t)(x△σ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0(t∈T)的振動性,得到了上述方程的一些振動準則,推廣并改進了已有的一些結果。Chen等[5]研究了時間尺度上二階動態(tài)方程

[(x△(t))γ]△+p(t)(x△(t))γ+q(t)f(xσ(t))=0(t∈T)

(這里γ是2個正奇數(shù)之比),給出了該方程振動的一些充分條件。

張全信等[6-9]利用時間尺度上的有關理論及Riccati變換技術,研究了二階半線性阻尼動態(tài)方程

(a(t)|x△(t)|γ-1x△(t))△+p(t)|x△(t)|γ-1x△(t)
+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t∈T)

(2)

的振動性(這里γ>0為常數(shù)),得到了該方程振動的一些非常有意義的結果。孫一冰等[10]借助時間尺度上的有關理論及Riccati變換技術,研究了二階半線性中立型阻尼動態(tài)方程

(a(t)|z△(t)|γ-1z△(t))△+p(t)|z△(t)|γ-1z△(t)
+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t∈T)

(3)

的振動性(其中z(t)=x(t)+r(t)x(τ(t))，γ>0為常數(shù)),得到了該方程的一些振動準則,改進并推廣了文獻[6-8]的結果。但有限制性較強的條件“τ=δ且τσ=στ”。

顯然,方程(1)更具有一般性。當g(u)=u,f(u)=u且λ=β時,方程(1)就簡化成(3);當r(t)≡0時,方程(3) 就簡化成(2)。因此,研究方程(1)的振動性是非常有意義的。本文將在條件較為寬松的情況下,利用時間尺度上的動態(tài)方程的基本理論和廣義的Riccati變換,并借助時間尺度上的H?lder不等式及其它不等式和分析技巧,研究方程(1)的振動性,得到了該方程幾個新的振動準則,改善了對方程的一些限制條件,推廣、改進并豐富了一些已知的結果。

由于我們感興趣的是方程解的振動性,所以本文假設時間尺度T是無界的,即supT=+∞。關于方程(1)的解及其振動性的定義可參考文獻[1，6]。本文僅關注方程(1)的不最終恒為零的解。

1 幾個基本引理

以下給出幾個引理。

引理1[2]若x(t)是△-可微的且最終為正或最終為負時,則

(4)

引理2[2]如果g∈R+,即g(t)∈Crd(T,R),并且對于任意的t∈[t0,+∞)T,滿足1+μ(t)g(t)>0。則初值問題y△(t)=g(t)y(t),y(t0)=y0∈R在[t0,+∞)T上有唯一的正解eg(t,t0),這個“指數(shù)函數(shù)”有時也記為eg(.,t0),它滿足半群性質eg(a,b)eg(b,c)=eg(a,c)。

引理5[12](時間尺度上的H?lder不等式) 設a,b∈T且a

引理6[13]設(H1)-(H4)及(C1)成立,若x(t)是方程(1)的一個最終正解,則存在t1∈[t0,+∞)T,使得當t∈[t1,+∞)T時,有y(t)>0,y△(t)>0,A(t)φ1(y△(t))>0,[A(t)φ1(y△(t))]△<0且x(t)≥[1-ηB(t)]y(t)。

2 方程的振動準則

定理1設(H1)-(H4)及(C1)成立,如果存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,+∞)),使得當λ≤β時,有

(5)

當λ>β時,有

(6)

證明不失一般性,設方程(1)在[t0,+∞)T上有一個最終正解x(t)(若x(t)為最終負解時類似可證),則存在t1∈[t0,+∞)T,當t∈[t1,+∞)T時,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0。從而y(t)>0。由方程(1)得

[A(t)φ1(y△(t))]△+b(t)φ1(y△(t))≤
LP(t)[x(δ(t))]β<0,t∈[t1,+∞)T，

(7)

根據(jù)引理1的結果,可得

(8)

事實上,由式(4)及引理6,當β>1時,有

βy△(δ(t))δ△(t)(y(δ(t)))β-1

當0<β≤1時,有

βy△(δ(t)δ△(t)(y(δ(σ(t)))β-1

這就證明了式(8)。

由引理6知,當t1∈[t0,+∞)T時,有

y(δ(t))≤y(δ(σ(t))),A(δ(t))(y△(δ(t)))λ≥A(t)(y△(t))λ≥A(σ(t))(y△(σ(t)))λ

由此得

(9)

定義廣義的Riccati變換

(10)

則w(t)>0(t∈[T0,+∞)T)。 下面分兩種情形λ≤β和λ>β來討論。

情形(a) 當λ≤β時， 一方面,如果β>1,注意到式(7)～式(9)及引理6, 則有

(11)

另一方面,如果0<β≤1,注意到式(8)中的第2個不等式,按相同的方法,可得到完全相同的上式。將式(10)應用于式(11)中,就有

w△(t)≤Lφ(t)P(t)[(1-ηB(δ(t)))]β+

(12)

又由于y(t)>0,y△(t)>0,所以存在常數(shù)a>0,使得y(δ(σ(t)))≥α,t∈[t,+∞)T,從而由式(12)得

(13)

將引理3中的不等式用于式(13),得

LP(t)[1-ηB(δ(t))]βφ(t)≤-w△(t)+

(14)

將式(14)兩邊積分,得

(15)

這與式(5)矛盾!

情形(b) 當λ>β時。與情形(a)一樣,無論β>1還是0<β≤1,式(11)總是成立的。注意到式(10),則有

由引理6知,當t∈[t1,+∞)T時,存在k>0使得A(σ(t))(y△(σ(t)))λ≤A(t1)(y△(t1))λ=kλ,由此得[y△(σ(t))](β-λ)/β≥k(β-λ)/β[A(σ(t))](λ-β)/βλ.從而

(16)

于是,將引理3中的不等式用于上式,得

LP(t)[1-ηB(δ(t))]βφ(t)≤w△(t)+

將式(17)兩邊積分,得

(17)

這與式(6)矛盾。定理證畢。

注1為了使得到的結論更加簡潔,可以將定理1中的條件式(5)和式(6)合成一個式子:

(18)

式中：常數(shù)γ1=min{1,β/λ},γ2=min{λ,β},α如定理1。

注2當方程(1)中λ=β=γ,B(t)≡0,f(u)=u時,條件式(18)(或條件式(5))即為文獻[6]中的條件(4.1),即定理1的結論包含了文獻[6]中的定理4.1此外,由定理1證明中所得的式(14)式(或者式(17))同樣可得到方程(1)的Kamenev型振動準則(如文獻[6]中的定理4.2),為節(jié)省篇幅,在此就不贅述了。若定理1中的條件式(5)或式(6)(即式(18))不成立時方程(1)就有如下的振動準則。

定理2設(H1)-(H4)及(C1)成立,如果存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,+∞),ξ1(t),ξ2(t)∈Crd(T,R)，使得對u≥t1≥t0,有

(19)

(20)

并且

(21)

證明不失一般性,設方程(1)在[t0,+∞)T上有一個最終正解x(t)(若x(t)為最終負解時類似可證),則存在t1∈[t0,+∞)T,當t∈[t1,+∞)T時,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0。

當λ≤β時。此時γ1=1,γ2=λ,同定理1的證明可得式(13)和式(15)兩式。于是由式(15),對t≥u≥t1,有

所以

ξ(u)-θξ2(u)≤L-1w(u),u≥t1≥t0

(22)

同時, 對式(13)兩邊積分,得

將式(19)用于上式,則有

(23)

式中：常數(shù)C1=w(t1)-Lξ1(t1)。于是,由式(23)我們斷定下式成立:

(24)

則由式(23)知,必有

(25)

這樣一來,對足夠大的正整數(shù)n,有

所以,由上式,對任意的正數(shù)ε∈(0,1)以及足夠大的正整數(shù)n,有

(26)

另一方面,利用引理5(即時間尺度上的H?lder不等式),可得

分別利用式(26)和(20),由上式則進一步可得

這與式(25)矛盾。所以式(24)成立。于是,分別利用式(22)和(24),可得

<+∞

這與式(21)矛盾。

當λ>β時。此時γ1=β/λ,γ2=β,由定理1證明所得到的式(16)和(17),完全類似于上面的證明,略。

定理證畢。

(27)

(a)y△(t)>0,t∈[t1,+∞); (b)y△(t)<0,t∈[t1,+∞)T

情形(a)：y△(t)>0,t∈[t1,+∞)T。同定理1的證明,可得到一個與式(18)矛盾的結果(即在λ≤β或λ>β時分別得到一個與式(5)或式(6)矛盾的結果)。

(28)

注意到0

(29)

因y△(t)<0,由式(4),容易得到

(30)

令

(31)

則ω(t)<0(t∈[t1,+∞)T)。注意到式(31),由式(29)可得

-1≤ω(t)θλ(t)≤0

(32)

當0<λ≤1時: 由式(31),并分別注意到式(30)的第2個式子及y△(t)<0,就有

(33)

當λ>1時: 注意到式(30)的第1個式子及y△(t)<0,容易推得式(33)仍然成立。

利用式(28),并注意到,得

x(t)=y(t)-B(t)g(x(τ(t)))≥y(t)-ηB(t)x(τ(t))≥

因此

(34)

若λ>β,則由y(t)>0,y△(t)<0(t∈[t1,+∞)T)知,y(t)≤y(t1),所以yβ-λ(t)≥yβ-λ(t1)=k。

若λ=β,則yβ-λ(t)=1。

yβ-λ(t)≥kθβ-λ(t)(k=M(β-λ)/λ>0是常數(shù))。

綜上所述,由式(34)及π(t)的定義,有

(35)

將式(35)式代入式(33),可得

(36)

利用式(32),就有

這與式(27)矛盾, 定理證畢。

結合定理2和定理3,則有

注3 文獻[6]中的定理4.3及定理4.4(其它文獻[9]中的定理4.3及定理4.4,文獻[10]中的定理3、5等)只能得到相應方程的“每一個解或者振動或者收斂于零”的結論,不能明確方程的振動性,而本文定理3和定理4得到了方程振動的確定性結論。

3 例子和應用

例1考慮時間尺度上的二階Emden-Fowler型動態(tài)方程:

從而

所以條件(H1)-(H4)及(C1)均滿足?？紤]到λ<β,并φ(t)=1,則

即條件式(5)滿足,因此定理1的條件全部滿足,于是由定理1知,方程(E1)是振動的。

注4由于方程(E1)是非線性的且α≠β,因此最近文獻[3-11,14-17]等中的結果都不能用于方程(E1)。

例2考慮二階Euler微分方程

(E2)

式中：常數(shù)q0>0。令A(t)=t2,b(t)=0,B(t)≡0,P(t)=q0,τ(t)=δ(t)=t,f(u)=u,λ=β=1,t0=1.顯然條件(H1)-(H4)和(C2)都滿足。取φ(t)=1,注意到T=R及e-b/A(t,t0)=1,我們有

當q0>1/4時,

且

所以定理3的條件全部滿足,于是當q0>1/4時Euler微分方程(E2)是振動的，這與眾所周知的結果完全一致。

4 結 論

本文討論了時間尺度T上一類二階非線性中立項阻尼動態(tài)方程的振動性,得到了方程解振動的幾個新的判別準則,這些結果反應了阻尼項和中立項及延遲項在振動中的影響作用,這些重要的結論為解決自動控制技術、生物種群動力學、伺服力學、物理學(如量子理論和核物理等方面)、神經(jīng)網(wǎng)絡以及經(jīng)濟學等領域的實際問題提供了數(shù)學理論依據(jù)和科學基礎。